人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43

2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
2
2
2
2sin A B 2cos A cos B
2
22
2cos C 2cos A cos B
2
22
4 cos A cos B cos C 222
三、课堂练习
1．求sin20·cos70°+sin10°·sin50°的值；
2．求cos37.5°·cos22.5°的值.
解：1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
222 证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 A B
2
2
sinA+sinB+sinC
2sin A B cos A B sin(A B)
2
2
2sin A B cos A B 2sin A B cos A B
2
2
2
2
2sin A B (cos A B cos A B)
2
cos sin 1 [sin( ) sin( )]
2 cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2
sin sin 1 [cos( ) cos( )]
2
设 x, y 则 x y , x y
2
2
这样 sin( ) sin( ) 2sin cos
以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻 灯片上，适时安排学生板演，习题课的情势是讲讲、 议议、练练． (四)练习题
3．tg10°+sec50° 课堂练习题分析及解法：
2．类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将 两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到 的是cos(α-β)的值，但采用这样的办法于事无补．另 一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化 积可得到如下关系：
2． cos37.5°·cos22.5°
3、 求sin42°-cos12°+sin54°的值．
解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =sin54°- sin18° =2cos36°sin18°
4.
解：
另：
四、小结
和差化积公式的左边全是同名函数的和或 差，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先 用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差 公式化成积的情势．
可以写成
sin x sin y 2sin x y cos x y
2
2
同样可以得到其余三个式子
和差化积公式ຫໍສະໝຸດ sin x sin y 2sin x y cos x y
2
2
sin x sin y 2cos x y sin x y
2
2
cos x cos y 2 cos x y cos x y
（2）sin84 cos132
cos132 sin 84
1 (sin 226 sin 48 ) 2
（3）
cos
6
cos
6
1 (cos cos 0)
23
3 4
（4）sin 2sin1.2
1 (cos3.2 cos 0.8) 2
例2. 把 下列各式化为积的情势.
（1） cos3 cos
当然，也可以这样配方 原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°
例题2 求ctg70°+4cos70°的值． 分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴第 一应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考 虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同， 一拆为二就是必然的了．
习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应 注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及 学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若 方法不当也应帮助分析原因．
3.3.3 三角函数的积化和差 与和差化积
一、公式推证 考察公式：
cos( ) cos cos sin sin (1)
cos( ) cos cos sin sin (2)
sin( ) sin cos cos sin (3)
sin( ) sin cos cos sin (4)
无论是和差化积还是积化和差中的“和差” 与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不 是角的关系，这是必须十分清楚的．
三角函数的和差化积所要求的最后结果， 只要是三角函数的积的情势就可以了，不求情 势上的一致．
作业： 1．求cos20°+cos100°+cos140°．
2．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C =-1-4cosAcosBcosC．
3. 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值． 分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方 式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公 式作降次处理．
若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的． 原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50° =[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°
将(1)、(2)两个式子相加减得到
cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2
sin sin 1 [cos( ) cos( )]
2
将(3)、(4)两个式子相加减得到
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2 cos sin 1 [sin( ) sin( )]
2
2
cos x cos y 2sin x y sin x y
2
2
二、应用举例 例1 把下列各积化成和差的情势。
（1） 2sin 64 cos10
（2） sin84 cos132
（3） cos cos
66
（4） sin 2sin1.2
解：（1）2sin 64 cos10
sin 74 sin54
证明：∵A、B、C为△ABC的三内角． ∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)． ∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC．