2024年中考第二次模拟数学真题重组卷(徐州专用)(含解析)

2024年中考第二次模拟考试（徐州卷）
数学
注意事项：
1．本试卷满分140分，试题共27题，选择8道、填空10道、解答9道
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定性事件2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列图形中，属于中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点A，B，C，D分别对应实数a，b，c，d，下列各式的值最小的是（）
A．|a|B．|b|C．|c|D．|d|
4．（2023·江苏·统考中考真题）2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B运载火箭可提供1078t起飞推力．已知1t起飞推力约等于10000N，则长征五号B运载火箭可提供的起飞推力约为（）
A．1.078×105N B．1.078×106N C．1.078×107N D．1.078×108N 5．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x +2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）
A．线段上B．线段上
AB BC
7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）函数
A．①④
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在横线上9．（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式
11．（2023·江苏镇江是，第二次的拐角
12．（2023·江苏·统考中考真题）若等腰三角形的周长是是．
15．（2023·江苏盐城·统考中考真题）绕点逆时针旋转到的位置，点
16．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系的图象上，延长点，连接.若140︒cm 3
BD C EDC △()0k y x x
=>E CE 2AB BC =
17
．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，是正三角形，点A 在第一象限，点、．将线段　绕点C 按顺时针方向旋转至；将线段绕点B 按顺时针方向旋转至；将线段绕点A 按顺时针方向旋转至；将线段绕点C 按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是．
18．（2023·江苏镇江·统考中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O 为圆心、r 为半径作．若对于符合条件的任意实数k ，一次函数的图像与总有两个公共点，则r 的最小值为．
三、解答题:本大题有10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
ABC ()0,0B ()1,0C CA 120︒1CP 1BP 120︒2BP 2AP 120︒3AP 3CP 120︒4CP 99P 2y kx =+O 2y kx =+O
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为4，求 求出古塔的高度．AMCN AMCN ABCD Y sin320.530,cos320.848,︒≈︒≈
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形ABCD E ABCD AB CE AGHE
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
<<0y 5x x y t >t b m y n <<m n 、m n <x 12x <<n b m
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件．
【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件，故选：C ．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．2．B
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
由定义可判定A 、C 、D 选项的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B 选项的图形是中心对称图形，符合题意．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C 离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C ．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
4．C
【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．
【详解】解：，
则，
故选：C ．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题时注意用科学记数法表示较大的数时，中的范围是，是正整数．
a b c d c 1078t 10780000N =710780000N 1.07810N =⨯10n a ⨯a 110a ≤<n
5．A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A ．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．6．C
判断即可．
【详解】，
，由于数轴上，，，
，五个点分别表示数1，2，3，4，5
，的点应在线段上，
故选：C
．【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．7．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A 、若直线过点，则，解得，所以，
当时，，故不在直线上，故A 不合题意；B 、由表格可知，y 与x 的每一组对应值的积是定值为4，所以y
是x 的反比例函数，，不合2x 2y 29-22)x y +(29222292x x y y +--=-(292)y -52+2252x y y x +-=+(52)x +29+29+5=63633=21÷52=21x +292=21y -216x =28y =222168128x y x y +=⋅=⨯=<< <34∴<<A B C D E CD y ax b =+()()1422，
，，422a b a b +=⎧⎨+=⎩26a b =-⎧⎨=⎩
26y x =-+4x ==2y -()41，
y ax b =+40a =>
题意；
C 、把表格中的函数y 与自变量x 的对应值代入得
，解得
，符合题意；D 、由C 可知，不合题意．
故选：C ．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得
，
，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；
①正确
②当，如图时最大，，
，
，
2y ax bx c =++
44221641a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12727a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
ABD △60α=︒BD BC ⊥AD AD 60α=︒C ABC BD ∽△△CD =GE DF ==32CF =OD 214
CD BC =Rt ABC △2216BC x =-AC CD +2x =1BC OD E 2ABDC F AD E 3F AD E 60α=︒4AD 4AB =∴2AC BE ==BC AE ==6BD ==
，
②错误；
③如图5，若，，
∴，，，，
，
∴
，
，∴，，∴，
∴③错误；
④如图6，，
∴，即，在中，，∴，∴，当时，最大为5，
∴④正确．
故选：A ．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
∴8DE =∴AD =≠∴60α=︒C ABC BD ∽△△60BCD ∠=︒90CDB ∠=︒4AB =2AC =BC =OE =1CE =CD =GE DF ==
32CF =52EF DG ==OG =OD =≠ABC BCD ∽△△CD BC BC AB
=214CD BC =
Rt ABC △2216BC x =-()
221116444CD x x =-=-+22114(2)544
AC CD x x x +=-+=--+2x =AC CD +
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在横线上
9．【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
10．6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．11．【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键．
12．【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：三角形的底边长为故答案为：【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．
13．/【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．
【详解】解：关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，5
x ≠50x -≠5x ≠5x ≠17=8151732
r +-=
=Rt ABC △a b c 3a b c r ++=
140
AB CD 140BCD ABC ∠=∠=︒AB CD 140BCD ABC ∠=∠=︒140AB CD 6
20726cm
-⨯=6
1m <1m
>0∆> 220x x m -+=
，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14
【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．
【详解】解：
，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，
【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．
15
【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
由旋转的性质得
，
，
∴是等边三角形，
∴，
∴点
．
．
【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
16．6
【分析】过点B 作于点F ，连接，设点A 的坐标为，点B 的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进∴()2240m ∆=-->440m ->1m <1m <0∆>AD x =3CD x =4AB x =Rt ADC AC =Rt ABC △BD CD = 13
AD BD =AD x =3BD CD x ==4AB x =Rt ADC AC =Rt ABC △tan AC B AB ===BCD △Rt ABC △90ACB ∠=︒=60B ∠︒3BC =26AB BC ==CE CA ===90ACE BCD ACD ∠=∠=︒-∠CB CD =BCD △60BCD ACE ∠=︒=∠A =30︒BCD △BF AD ⊥AE ,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,k b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,AD a =,k k AF a b BF b a =-=-∽ ABF ACD AB AF AC AD =3a b =29ABE S BCE ==
一步列式即可求出k的值.
【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则
，
∵，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积是，
∴，
∴，
∴，
则，
即，
解得，
故答案为：6
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键.
BF AD
⊥AE,
k
a
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
k
b
b
⎛⎫
⎪
⎝⎭,
AD a
=,
k k
AF a b BF
b a
=-=-
2
AB BC
=
2
3
AB
AC
=
AD y
⊥D
CD BF
∽
ABF ACD
AB AF
AC AD
=
2
3
AB a b
AC a
-
==
3
a b
=
2
AB BC
=BCE
4.5
29
ABE
S BCE
==
11
9
22
AD BF AD OD
⋅+⋅=
11
9
22
k k k
a a
b a a
⎛⎫
-+⋅=
⎪
⎝⎭
11
339
2323
k k k
b b
b b b
⎛⎫
-+⋅=
⎪
⎝⎭
311
9
222
k k k
-+=
6
k=
3
a b
=
17．【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x 轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，点，在x 轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵∴点在射线的延长线上，
∴点在x 轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
(-99P CA 100P 99100CP =30︒1P 4P 99333
÷=99P CA 100P ()1,0C ABC 11AC CP ==112BP OC CP =+=()12,0P 212BP BP ==3223AP AP OP AO ==+=433314CP CP CA AP ==+=+=445BP BC CP =+=
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E ，
∵，
∴，
∴，∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
18．2【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r
的最小值是2．【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，
∴，随的增大而减小，
∵
过定点，()45,0P ()78,0P ()1011,0P ()100101,0P 100101BP =1001011100CP =-=99100CP =99P 99P E x ⊥60ACB ∠=︒9930EP C ∠=︒991502
EC P C ==49EO EC OC =-=99P E ==99P (-(-2y kx =+0k <2y kx =+()02，
()02，
2y kx =+0k <y x 2y kx =+()02，
∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，∴r 的临界点是2，
∴r 的最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题:本大题有10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（1）；（2）【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）；（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．20．，【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式()02，
25
x x -+25x -<<2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭
()()()
2
52412222x x x x x x x ++-⎛⎫=-÷ ⎪+++-⎝⎭()()()222525x x x x x +-+=⋅++25
x x -=+2731132x x x +>⎧⎪⎨+->⎪⎩
①②2x >-5x <25
x -<<ab a b
+61a b +=-6ab =-()()211a a b a b a b a ab
⎡⎤=-÷⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦
∵，是方程的两个根
∴
∴原式.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21．（1）4，7.7；（2）12
（3）7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励
【分析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解；
（2）根据频数分布表求解；
（3）利用中位数进行决策．
【详解】（1）解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，
将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，故答案为：4，7.7；
（2）解：月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12；
（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．
22．（1）；（2）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；故答案为：．（2）解：据题意，可以画出如下的树状图：
()()
()b
a a
b a b a b =⋅-+-ab a b =
+a b 260x x +-=1a b +=-6ab =-661
ab a b -===+-4a =7.67.87.72
b +=
=44412++=13()1=3P M c 13
13
由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁（记为事件）的结果有种．
∴．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）12
【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；
（2）连接
，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，
∴，∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，6M 2()2163
P M ==AECG AFCH ,AM CN AN CM ∥∥,,HG AC EF 12ANH ANC S HN S CN == 12FMC AMC S S = ()11222
ANH FMC ANC AMC AMCN S S S S S +=+== 246AFCH ANH FMC AMCN S S S S =++=+= 2ABCD AFCH S S = ABCD Y ,,,AB CD AD BC AB CD AD BC ==∥∥ABCD Y 11,22
AE AB CD CG AE CG ===∥AECG AFCH ,AM CN AN CM ∥∥AMCN ,,HG AC EF
∵为的中点，
∴，∴，
∴，∴，同理可得：∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．24．（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．
【分析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，
∴，
,H G ,AD CD 1,2
HG AC HG AC =∥HNG CNA ∽12
HN HG CN AC ==12ANH ANC S HN S CN == 12
FMC AMC S S = ()11222
ANH FMC ANC AMC AMCN S S S S S +=+== 246AFCH ANH FMC AMCN S S S S =++=+= 12
AH AD =212ABCD AFCH S S == 16.5m 2.1m AC PQ E CDQE PE x =m m CE x =tan tan 320.6259
PE x PAE AE x ∠===︒≈+15DQ CE ==m 12.9m DG =AC PQ E CDQE QE CD =
依题意，，，
设，则，在中，，解得：，
∴古塔的高度为．
（2），，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．25．（1）（2）6元
（3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y 与x 的函数关系式为，将代入，求出k 和b 的值，即可得出y 与x 的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w ，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w 关于x 的函数表达式，再根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解∶根据题意可得，该函数经过点，
设y 与x 的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，∴y 与x 的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
4532PCE PAE ∠=︒∠=︒， 1.5m AB CD QE ===PE x =m tan PE CE x PCE
==∠Rt PAE tan tan 320.6259PE x PAE AE x ∠=
==︒≈+15x =15 1.516.5(m)PE QE +=+=15DQ CE ==m 12.9m DG =1512.9 2.1(m)GQ =-=16.5m 2.1m 501200
y x =-+()()5,950,6,900y kx b =+()()5,950,6,900()()5,950,6,900y kx b =+()()5,950,6,90095059006k b k b =+⎧⎨=+⎩501200k b =-⎧⎨=⎩
501200y x =-+()41800x y -=()()45012001800x x --+=2281320x x -+=126,22x x ==
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w ，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w 随x 的增大而增大，
∵，
∴当时，w 有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
26．（1
；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）将
（2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当
，
．（2）如图（2），连接，
()()
4501200w x x =--+25014004800
x x =-+-()2
50145000x =--+500-<14x <47x ≤≤7x =()2max 5071450002550w =--+=121n =21AE EB ==DG x =2AG x =-Rt ,Rt AEG GHE AGHE GDCK 1n ==EG
设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得设，则根据折叠，可得，，
在中，
∴，
在中，
∴解得：
∴∴矩形是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．矩形是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，
设，则根据折叠，可得，，
21
AE EB ==DG x =2AG x
=-GH GD x ==2CH CD ==Rt BEC △EC ===2EH =Rt ,Rt AEG GHE 222222
,AG AE GE GH EH GE +=+=())2
22212x x 2-+=-+1
x =-GD DC GDCK ABCD MN EF CE CD CE D H CG G A
B 、AD B
C 、GK GDCK GE 41EB =413AE =-=DG x =4AG x
=-GH GD x ==4CH CD ==
在中，，
∴，
在中，
∴解得：
∴当
∴矩形是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，
设，则根据折叠，可得，，
在中，
∴，
在中，
∴整理得，∴四边形的边长为矩形的周长为，
Rt BEC
△EC ==4EH =Rt
,Rt AEG GHE 222222
,AG AE GE GH EH GE +=+=(
))2
22434x x
2-+=-
+1
x =GD DC =2n ==GDCK GE EB m =1AE m =-DG x =1AG x
=-GH GD x ==1CH CD ==Rt BEC △EC ==1EH =Rt ,Rt AEG GHE 222222
,AG AE GE GH EH GE +=+=()())2
22111x m x 2-+-=-+x m
=AGHE 1111x x m m -+-+-=+1
x =+GDCK ()()221GD DC x +=+
∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
27．（1）①②或（2）（3）【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；②，
列表如下：
1345005画出函数图像如下：
AGHE GDCK 1
2
()2,1,0--2<<1x --34x <<2
34
b t <--21
3,5,4
b n m =-=-<-0y =B x m y n <<m n 、m n <x 12x <<1x =2x =b n 1x =n y m =x A
B 、A ()3,020333b =+-2b =-2=23y x x --0y =2230x x --=121,3x x =-=B ()1,0-()21,0--，
2=23y x x --x L
2-1-L y L 4
-L
由图可知：当时，或；
（2）∵
，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，∴，
<<0y 52<<1x --34x <<2
223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭2b x =-y 234
b --x y t >2
34
b t <--2
223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭2
b x =-m y n <<m n 、m n <x 12x <<y n =()()1,,2,n n y m =()()1,,2,n n 1222
b +-=3b =-
∴
，∴，当时，有最小值，∴． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题。

22
3932132424y x x ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭23211524n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭32x =y 214
-214m <-。