湖南省衡阳市高三上学期期末——数学(理)数学(理)

2．【答案】A
【解析】根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.
3．【答案】B
【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此想必要条件，故选B 。

6．【答案】A ．
【解析】首先求第一象限内阴影部分的面积，)
31
231200211()|333x dx x x =-=⎰，根据几何概型的相关内容可知，所求概率为1
13412
P ==． 7．【答案】B 【解析】因为25252sin 0,cos cos 0,tan tan 77777
πππππ>=-<=-<0， 而函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，所以a>0,b<0,c<0，又因为
22cos tan 77
ππ⇒->-，所以b>c ，所以a >b >c ，故选B. 8．【答案】B ．
【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，
A(0,1),B(1,2),C(0,3),M(0,-1)
2,4AM BM CM ===,AM<2<BM<CM
当k>0时，点C 到直线直线y =k x -1的距离为2，∴k=-1
当k<0时，点B 、C 到直线直线y =k x -1的距离为2，∴ k=-1。

故答案为：{x|x ＞0}．
10．【答案】B ．
【解析】由题意，设，，∴2222OA OB a b ab ab ⋅=+=⇒=-， 又∵为抛物线的焦点，∴，∴11||24AFO BFO S S b a ∆∆+=
⨯⨯-， ∵222||22248b a a b ab ab ab ab -=+-≥--=-=，当且仅当时，等号成立，
∴，
∴min ()4
AFO BFO S S ∆∆+=． 二、填空题：（本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分）
（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
13.（不等式选讲）
（二）必做题（14-16题）
14．【答案】．
【解析】依次执行程序框图中的语句：①：
6(1)213
S =⨯-++=-，；②：3(1)115
S =-⨯-++=，；③：5(1)S =⨯-++=-
，，跳出循环语句，∴输出． 15．【答案】．
【解析】设到各个平面的距离为，而
11113326
R AQP AQP V S AR AQ AP AR AQ AP AR -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅， 又∵111333
R AQP O AQP O ARP O AQR AQP ARP AQR V V V V S d S d S d ----∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅
1()6AQ AP AR AP AQ AR d =⋅+⋅+⋅，∴11()66
AQ AP AR AQ AP AR AP AQ AR d ⋅⋅=⋅+⋅+⋅，
即，而1112336A BDC BDC V S h -∆=
⋅==，∴11318O ABD A BDC V V --==， 即1
111333218
ABD S d d d ∆⋅⋅=⋅⋅=⇒=，∴． 16．【答案】22 ；4n ＋23
【解析】解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n －1)＝2n －1.又S(1)＝N(1)＋N(2) ＝2.
S(3)＝[N (1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]
＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋2＝22. 3分
S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n )]
＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n-1)]，
∴S(n)＝4n-1＋S(n －1)(n ≥2)，
∴S(n)＝4n-1＋4n-2＋…＋41＋2＝4n ＋23
. 5分 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
此时自变量的集合为{|,}8x x k k Z ππ=+
∈． 12分
18【解析】（1）证明:∵EF⊥AE, EF⊥DE
∴EF⊥面ADE
又∵AD面ADE
∴EF⊥AD 4分
（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以的中点坐标为因为，所以
易知是平面的一个法向量， \
设平面的一个法向量为
由2233(,,)(02222
(,,)(1,20
n BC x y z x z n BD x y z x y ⎧
⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩
令则，，
121212cos ,n n n n n n ⋅===
所以面与面所成角的余弦值为. ……12分
19．【解析】
（1）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元/kg ”， 由题设知，， 2分
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴所有可能的取值为：
5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，
3001010002000⨯-=，， 4分
(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，
(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=， (800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，
7分
（2）设表示事件“第季利润不少于元”，
由题意知，，相互独立，由（1）知，
()(4000)(2000)0.30.50.8(1,2,3)i P C P X P X i ==+==+==， ∴这季中至少有季的利润不少于元的概率为
32
230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=． 12分
21．【解析】
⑴由已知，得，解得：，
∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．
故椭圆Γ的方程为； 5分⑵假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，①
∵，
∴x1x2+y1y2=0，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，
∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②
将①代入②，得
，
即t2=（1+k2）．
∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，
∴r==∈（0，1），
∴存在圆x2+y2=满足条件．
当直线PQ的斜率不存在时，易得=，
代入椭圆Γ的方程，得=，满足．
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件． 13分
（3）由条件，，
假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧， 9分不妨设，则，且．
是以为直角顶点的直角三角形，，
232
()()0
∴-++=（*），
t F t t t
是否存在，等价于方程在且时是否有解．。