高三数学复习第一轮教案 2.4 函数的奇偶性 教案

2．4 函数的奇偶性
【知识网络】
1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】
例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ）
①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
提示：①不对，如函数
21
()f x x =
是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不
包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A ．
（2）已知函数
2
()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．
31
=
a ，
b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0
提示：由2
()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0．
又定义域为［1,2a a -］，∴ (1)20a a -+=，∴
31
=
a ．故答案为A ．
（3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
2
()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的 表达式是（ ）
A ．(2)y x x =-
B ．(||2)y x x =+
C ．||(2)y x x =-
D ．(||2)y x x =-
提示：由0x ≥时，2
()2f x x x =-，()f x 是定义在R 上的奇函数得： 当x ＜0时，0x ->，
2
()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=-- ∴
(2)
(0)
()(2)(0)
x x x f x x x x ≥⎧⎨
<⎩-=--，即()(||2)f x x x =-，答案为D ．
（4）已知
53
()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于26- 提示：
53
()8f x x ax bx +=++为奇函数，(2)818f -+=，∴(2)818f +=-，∴(2)26f =-． （5）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若
11
)()(-=
+x x g x f ，则()f x 的解析式为
提示：由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，可得
11
)()(--=
-x x g x f ，联立
11)()(-=
+x x g x f ，得：21111()()1211f x x x x +==----， ∴11
)(2
-=x x f
例2．判断下列函数的奇偶性：
（1）
1()(1x
f x x x +=--(2)22()11f x x x --；
（3）22
lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）2
2(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．
解：（1）由10
1x
x +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．
(2) 2
22
10
1110x x x x ⎧-≥⎪⇒=⇒=±⎨-≥⎪⎩，∴ ()0f x = ∴()f x 既是奇函数又是偶函数．
（3）由2
210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，
∵
2222
lg[1()]lg(1)
()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （4）当0x <时，0x ->，则22
()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-， 当0x >时，0x -<，则
22
()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，
综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．
例3．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：
2(2)(4)0f a f a -+-<．
解：由已知得
2
(2)(4)f a f a -<-- 因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是
2
(2)(4)f a f a -<-．
又()
f x是定义在（-1，1）上的增函数，从而
2
2
32
24
121132
141
a
a a
a a a
a a a
⎧
⎧-<<
-<-
⎪
⎪
-<-<⇒<<⇒<<
⎨⎨
⎪⎪
-<-<<<
⎩⎩
即不等式的解集是2)．
例4．已知定义在R上的函数
()
f x对任意实数x、y，恒有()()()
f x f y f x y
+=+，且当0
x>时，()0
f x<，
又
2
(1)
3
f=-
．
（1）求证：()
f x为奇函数；（2）求证：()
f x在R上是减函数；（3）求()
f x在[3-，6]上的最大值与最小
值．
（1）证明：令
x y
==，可得(0)(0)(00)(0)
f f f f
+=+=，从而，f(0) = 0．
令
y x
=-，可得()()()(0)0
f x f x f x x f
+-=-==，即()()
f x f x
-=-，故()
f x为奇函数．
（2）证明：设12
,x x∈R，且
12
x x
>，则
12
x x
->，于是
12
()0
f x x
-<．从而
121222122212
()()[()]()()()()()0
f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x
-=-+-=-+-=-<
所以，()
f x为减函数．
（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为
(3)
f-，最小值为(6)
f．
(3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1)2
f f f f f f f
-=-=-+=-+=-=
(6)(6)[(3)(3)]4
f f f f
=--=--+-=-
于是，
()
f x在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．
【课内练习】
1．下列命题中，真命题是（C ）
A．函数
1
y
x
=
是奇函数，且在定义域内为减函数
B．函数
30
(1)
y x x
=-是奇函数，且在定义域内为增函数
C．函数
2
y x
=是偶函数，且在（-3，0）上为减函数
D．函数
2(0)
y ax c ac
=+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数
提示：A中，
1
y
x
=
在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当0
a<时，
2(0)
y ax c ac
=+≠在（0，2）上为减函数，答案为C．
2．若
)
(x
ϕ，()
g x都是奇函数，()()()2
f x a x b
g x
ϕ
=++
在（0，＋∞）上有最大值5，则
()
f x在（－∞，
0）上有（）
A．最小值－5B．最大值－5 C．最小值－1D．最大值－3
提示：
)
(x
ϕ、()
g x为奇函数，∴)
(
)
(
2
)
(x
bg
x
a
x
f+
=
-ϕ
为奇函数．
又
()
f x有最大值5，∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴
()
f x－2在(,0)
-∞上有最小值－3，∴()
f x在(,0)
-∞上有最小值－1．答案为C．
3．定义在R上的奇函数()
f x在（0，+∞）上是增函数，又(3)0
f-=，则不等式()0
xf x<的解集为（A）
A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞）
C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）
提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．
4.已知函数()
y f x
=是偶函数，(2)
y f x
=-在［0，2］上是单调减函数，则（A）
A.(0)(1)(2)
f f f
<-< B. (1)(0)(2)
f f f
-<<
C. (1)(2)(0)
f f f
-<< D. (2)(1)(0)
f f f
<-<
提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴
()
f x在［－2，0］上单调递减.
∵
()
y f x
=是偶函数，∴()
f x在［0，2］上单调递增. 又(1)(1)
f f
-=，故应选A.
5．已知()
f x奇函数，当x∈（0，1）时，()
f x=l
g x
+
1
1
，那么当x∈（－1，0）时，()
f x的表达式是lg(1)x
-．
提示：当x∈（－1，0）时，x
-∈（0，1），∴
1
()()lg lg(1)
1
f x f x x
x
=--=-=-
-．
6．已知x
a
x
a
x
f
-
+
-
=
2
log
)
(3
是奇函数，则2007
a＋2007a= 2008．
提示：
3
2(0)log 0a f a -==，21a
a -=，解得：1a =，经检验适合，
200720072008a a +=．
7．若()f x 是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，()1f x x =-，则(1)0f x -<的
解集是
{|02}x x <<
提示：偶函数的图象关于y 轴对称，先作出()f x 的图象，由图可知()0f x <的解集为{|11}x x -<<，∴
(1)0f x -<的解集为{|02}x x <<.
8．试判断下列函数的奇偶性：
（1）()|2||2|f x x x =++-； （2）
3
31)(2
-+-=
x x x f ；
（3）
0)1(|
|)(-=
x x x x f ．
解：（1）函数的定义域为R ，()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=， 故()f x 为偶函数．
（2）由210
|3|30
x x ⎧-≥⎨
+-≠⎩得：110x x -≤≤≠且，定义域为[1,0)(0,1]-，关于原点对称， 2211()33x x f x x x
--==
+-，2
1()()
x f x f x x --==--，故()f x 为奇函数．
（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数． 9．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，
令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，
令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．
∵(3)f a -=， ∴(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．
10．已知函数21
()(,,)
ax f x a b c Z bx c +=∈+是奇函数，又，(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值.
解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+ ∴c=0. 又(1)2f =，得12a b +=，
而(2)3f <，得41
3
1a a +<+，解得12a -<<.
又a Z ∈，∴0a =或1a =.
若0a =，则b=1
2Z
=∉，应舍去； 若1a =，则b=1∈Z.
∴1,1,0a b c ===.。