高三数学二轮专题复习课后强化作业 7-4随机变量及其分布列(理)含详解

基本素能训练
一、解答题
1．(2013·江西理,18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点,再从A1，A2,A3，A4,A5，A6,A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队．
（1)求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C
错误!＝28种．
X＝0时,两向量夹角为直角，共有8种情形，
所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0）＝错误!＝错误!.
(2）两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，
X＝－2时，有2种情形；X＝1时,有8种情形；X＝－1时，有10种情形．
所以X的分布列为:
X－2－101
P错误!错误!错误!错误!
E（X)＝(－2)×错误!＋（－1)×错误!＋0×错误!＋1×错误!
＝－错误!.
2．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X（单位：mm)对工期的影响如下表:
降水量X X<30
300≤X
〈700
700≤X<9
00
X≥90
工期延误天
数Y
02610
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：
(1）工期延误天数Y的均值与方差；
（2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
［分析］（1）利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2）利用条件概率公式求解．
[解析] (1）由已知条件和概率的加法公式有：
P（X<300）＝0.3，P（300≤X<700)＝P（X〈700）－P（X<300)＝0.7－0.3＝0。

4,
P(700≤X〈900）＝P（X〈900)－P(X〈700)＝0.9－0。

7＝0。

2.
P(X≥900)＝1－P(X〈900)＝1－0。

9＝0.1.
所以Y的分布列为:
于是，E1＝3；
D（Y）＝(0－3）2×0.3＋（2－3)2×0。

4＋（6－3)2
×0。

2＋(10－3)2×0。

1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9。

8.
(2)由概率的加法公式,P（X≥300)＝1－P(X〈300）＝0.7，
又P（300≤X〈900)＝P（X<900）－P（X<300)＝0.9－0。

3＝0。

6.
由条件概率，得P（Y≤6|X≥300）＝P（X<900｜X≥300）＝错误!＝错误!＝错误!。

故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是错误!。

［点评］本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力．
3．(2012·皖南八校联考)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
(1)若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
(2）若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．
［解析] (1)设事件A为“两手所取的球不同色"，
则P（A)＝1－错误!＝错误!.
(2)依题意，X的可能取值为0，1，2。

左手所取的两球颜色相同的概率为
错误!＝错误!.
右手所取的两球颜色相同的概率为
错误!＝错误!。

P(X＝0）＝（1－错误!）(1－错误!)
＝错误!×错误!＝错误!,
P(X＝1)＝错误!×(1－错误!)＋（1－错误!)×错误!＝错误!，
P(X＝2)＝错误!×错误!＝错误!。

所以X的分布列为
E(X)错误!错误!错误!错误!
4．（2013·大连沈阳联考)一个口袋内有n（n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和（n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p。

（1）当p＝错误!时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取
到白球的个数ξ的期望E(ξ）；
（2)若6p∈N，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于错误!，求p和n.
[解析］（1)p＝3
5⇒错误!＝错误!⇒
n＝5，所以5个球中有2个白球，从中取出3个球，白球的个数ξ可取0，1,2.
P(ξ＝0）＝错误!＝错误!,P（ξ＝1)＝错误!＝错误!，P（ξ＝2）＝错误!＝错误!。

E(ξ）＝1
10
×0＋错误!×1＋错误!×2＝错误!。

(另解：依题意ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，所以E（ξ）＝错误!×3＝错误!。

（2）由题设知，C错误!p2(1－p)2>错误!，
因为p(1－p）>0，所以不等式可化为p(1－p)〉错误!，
解不等式得，错误!<p<错误!，故2<6p〈4。

又因为6p∈N，所以6p＝3，即p＝错误!，
所以p＝错误!，所以错误!＝错误!,所以n＝6.
能力提高训练
一、解答题
1．(2013·山东理,19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3
局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是
错误!外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是错误!.假设各局比赛结果相互独立．
（1)分别求甲队以3：0,3:1,3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3:1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．
［解析］（1）依次将事件“甲队以3：0胜利”、“甲队以3：1胜利”、“甲队以3:2胜利"记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，
故P(A1）＝（错误!）3＝错误!，
P（A2）＝C错误!·(错误!)2·（1－错误!）×错误!＝错误!，
P(A3)＝C错误!（错误!）2·（1－错误!）2×错误!＝错误!。

所以甲队以3:0胜利、以3：1胜利的概率都为错误!,以3:2胜利的概率为错误!.
（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A4,则由题意知
P（A4)＝C错误!(1－错误!）2·（错误!)2×(1－错误!)＝错误!。

由题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2，3，
由事件的互斥性得,
P（X＝0）＝P（A1＋A2）＝P(A1)＋P（A2)＝错误!，
P(X＝1)＝P(A3)＝错误!,
P（X＝2）＝P(A4）＝错误!，
P（X＝3）＝1－P（X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝错误!，
或P（X＝3）＝（1－错误!)3＋C错误!（1－错误!)2×错误!×错误!＝错误!.
∴X的分布列为
∴E（X)错误!错误!错误!错误!错误!.
2．（2012·日照市模拟)日照市区有万平口世帆赛基地、国家森林公园、刘家湾赶海园、灯塔广场4个旅游景点,游客浏览这四个景点的概率分别是0.3、0.4、0。

5、0。

6,且是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示某游客离开日照市区时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值．
(1)求ξ＝0对应的事件的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．
［解析］（1)分别记游客“浏览万平口世帆赛基地”、“浏览国家森林公园”、“浏览刘加湾赶海园”、“浏览灯塔广场”为
事件A1、A2、A3、A4.
由已知A1、A2、A3、A4相互独立,且
P(A1）＝0。

3，P（A2）＝0。

4,P（A3)＝0.5，P（A4)＝0.6。

游客浏览景点数的可能取值为0，1,2,3，4.
相应地，客人没有浏览的景点数的可能取值为4,3,2,1，0，所以
ξ的可能取值为0,2，4。

故P(ξ＝0)＝P(错误!1错误!2A3A4)＋P（错误!1A2错误!3A4)＋P（错误!1A2A3错误!
）＋P（A1错误!2错误!3A4)＋P（A1错误!A3错误!4)＋P(A1A2错误!3错误!4）＝0.38. 4
（2）P（ξ＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(错误!1错误!2错误!3错误!4）＝0.12，
P(ξ＝0）＝0.38，
P(ξ＝2)＝1－P（ξ＝0）－P(ξ＝4）＝0.5,
所以ξ的分布列
则E(ξ)
3．(2012·河南豫北六校精英联考）当前人们普遍认为拓展训
练是一种挑战极限、完善人格的训练,某大学生拓展训练中心着眼于
大学生的实际情况,精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目,并
设置如下计分办法:
，挑战乙项目的成功据调查,大学生挑战甲项目的成功概率为
5
概率为错误!,挑战丙项目的成功概率为错误!。

(1）求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率,
（2)记该同学挑战三个项目后所得分数为X,求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．
［解析］(1）甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率
P＝1－（1－错误!）(1－错误!）(1－错误!)＝1－错误!＝错误!;
(2)由题意,X的可能取值为0,10,30,40，60，70，90,100。

P（X＝0)＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P(X＝10)＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P (X＝30）＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P（X＝40）＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P(X＝60）＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P(X＝70)＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P（X＝90)＝错误!·错误!·错误!＝错误!，
P(X＝100)＝错误!·错误!·错误!＝错误!,
所以X的分布列为
X0103040607090100
P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!
E(X）＝0×错误!＋10×错误!＋30×错误!＋40×错误!＋60×错误!＋70×
错误!＋90×错误!＋100×错误!＝60。

5（分）．
所以该同学所得分的数学期望为60。

5分．
4．(2013·唐山模拟)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：
（1）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；
15分的频率作为概
(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过
．．
率,假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过
15分的次数X的
．．．
分布列和均值．
［解析] (1）错误!甲＝错误!（7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x－乙＝错误!(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s错误!＝错误![(－8）2＋（－6)2＋(－4）2＋（－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132］＝44。

75,
s2，乙＝错误!［(－8）2＋(－7）2＋（－5）2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32。

25。

甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大(乙的方差较小）．
（2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝错误!,p2＝错误!，
则两人得分均超过15分的概率为p1p2＝3 16，
依题意，X~B(2,错误!），P（X＝k)＝C错误!(错误!）k（1－错误!）2－k，k＝0，1，2，
X的分布列为
X的均值E(错误!错误!
5．（2012·辽宁，19）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40min的观众称为“体育迷"．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女1055
合计
（2
视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。

若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列,期望E(X)和方差D（X)．
附：χ2＝错误!
（即K2＝错误!)
[分析] (1)根据频率分布直方图及条件超过40min的观众称为“体育迷”则可求出体育迷人数，即可完成2×2列联表，再求出K2(χ2)即可．
(2)由（1)知体育迷有25人,则被抽到的概率为错误!，从观众中随机抽出3名是3次独立重复试验，X服从二项分布,则可以求出分布列，期望，方差．
[解析］(1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷"有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
合计7525100
将
K2＝错误!
＝错误!
＝错误!≈3.030。

因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷"的频率为0。

25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷"的概率错误!.
由题意知X～B（3，错误!），从而X的分布列
E（X)错误!错误!
D(X)＝np(1－p)＝3×错误!×错误!＝错误!。