专题04 三视图与几何体的面积与体积 -2020年浙江省高考数学命题规律大揭秘 (1)

专题04 三视图与几何体的面积与体积
【真题感悟】
1.（2019年浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A. 158
B. 162
C. 182
D. 324
【★答案★】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为26
4633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=
⎪⎝⎭
.
2.（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【★答案★】C
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
3. （2017年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（）
A． B． C． D．
【★答案★】A
【解析】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，
∴=,故选A.
4. （2015年浙江文理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A ．8 3cm
B ．12 3cm
C ．323 3cm
D ．403
3cm 【★答案★】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为323
1
3222233
V cm =+⨯⨯=
.故选C. 5. （2016年浙江理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2
，体积是 cm 3
.
【★答案★】72 ，32
【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4,2,2，所以体积为32(224)32cm ⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠的部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为
2(222⨯⨯⨯+244)2(22)72⨯⨯-⨯=2cm .
【考纲要求】
1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征.
2．理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义， 掌握平行投影的含义.
3．理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画 出它们的直观图.
4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积
【考向分析】
1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主；
2.考查视图与用图能力、运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力.
【高考预测】
三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，多是选择题，基本都是中低档 题．从近5年命题看，其在试卷中的位置基本稳定.
【迎考策略】
1.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.
2.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
3.在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
4.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5.计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
6. (1)已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7.常用公式：圆柱的侧面积 rl S π2=；圆柱的表面积 )(2l r r S +=π ；圆锥的侧面积 rl S π=； 圆锥的表面积 )(l r r S +=π ；圆台的侧面积 l r r S )(+'=π；圆台的表面积 )(2
2
rl l r r r S +'++'=π 球体的表面积 2
4R S π=.
圆柱的体积 h r V 2
π=；圆锥的体积 h r V 231π=；圆台的体积 )(3
1
22r r r r h V '++'=π； 球体的体积 3
3
4R V π=
；正方体的体积 3a V =；正方体的体积 abc V =. 8. 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【强化演练】
1. （浙江省嘉兴市2019 届高三上期末）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单
位：
）是（ ）
A ．
B ．54
C ．
D ．108
【★答案★】A 【解析】
根据三视图得到原图是如上图的一个四棱锥反转之后的图，正确的图应是三角形VAD 为底面，是底边为6，高为
的等腰三角形，点V 朝外，底面ABCD 是竖直的，位于里面边长为6的正方形，且垂直于底面VAD.
该几何体是四棱锥，体积为
故★答案★为：A.
2.（浙北四校2019届高三12月模拟）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A． 8 B． C． 16 D． 16
【★答案★】B
【解析】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，
所求几何体的体积为：=8π．
故选B．
3.（浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【★答案★】C
【解析】根据三视图可知，几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为，高为，棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高也为，则该几何体的体积为
，故选C.
4.（浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考）某几何体的三视图如图所示（图中单位：），则该几何体的表面积为（）
A． B． C． D．
【★答案★】B
【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为
，选B.
5.（浙江省镇海中学2019届高三上学期期中）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
【★答案★】D
【解析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，
如图所示：
所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．
故选：D．
6.（浙江省温州九校2019届高三第一次联考）如图，某几何体三视图（单位：）为三个直角三角形，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【★答案★】B
【解析】根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为直角三角形，高为1的三棱锥，
∴该几何体的体积为
故选：B．
7.（2018年11月浙江省学考）某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为（）
A． 18 B． C． D．
【★答案★】C
【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3，所以几何体的体积为
，故选C．
8.（安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考）某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【★答案★】A
【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面
的直线上，又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是
直线与直线的交点,（分别是左侧正方体对棱的中点）,∴，
，故三棱锥外接球的半径，表面积为.故选A.
9.（福建省厦门市2018届二模）已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）
A. B. 2 C. 4 D. 6
【★答案★】D
【解析】设正三棱锥外接球的半径为，则，由三视图可得底面边长为，底面正三角形的高为，底面三角形外接圆半径为，由勾股定理得，得，侧视图面积为，故选D.
10.（2016年浙江文）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3.
【★答案★】80，40
【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，
222
S=⨯+⨯+⨯⨯-⨯=
62244242280
V=+⨯⨯=．
表，3244240
11.（浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___；表面积是____
【★答案★】
【解析】根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥,
由三视图可得：,，
.
12.（山东省威海市2018届二模）已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______.
【★答案★】.
【解析】设BC=a,,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以
,所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为
故★答案★为：
13．（浙江省台州市2019届高三上期末）已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为
_______，其体积为____．
【★答案★】
【解析】三视图对应的几何体如图所示：
该几何体是正方体中挖掉如图所示的棱台， 各棱长之和为
， 其体积为
， 故填，． 14．（2019年高考北京卷文理）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【★答案★】40
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B 之后余下的几何体，
则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 15．（2019年高考天津卷文理）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
【★答案★】π4
【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为512-=.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12
， 故圆柱的体积为2
1ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 16.（2019年高考江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .
【★答案★】10
【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112
CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，
所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =
⨯⋅⋅=111111201032212
AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
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