成都树德实验中学东区八年级数学上册第十一章《三角形》经典测试题(答案解析)

一、选择题
1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）
A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性
C．三角形的内角和是180D．直角三角形两个锐角互余B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性可以解决．
【详解】
因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
2．下列命题中，是假命题的是（）
A．直角三角形的两个锐角互余B．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．三角形的一个外角大于任何一个内角D 解析：D
【分析】
利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
3．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°B
解析：B
【分析】
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，
∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
4．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．
A ．
B D ∠=∠
B ．1A D ∠=∠+∠
C ．2
D ∠>∠
D ．C D ∠=∠ D
解析：D
【分析】 利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】
∵∠1=∠2，∠A=∠C ，∠1=∠A+∠D ，∠2=∠B+∠C ，
∴∠B=∠D ，
∴选项A 、B 正确；
∵∠2=∠A+∠D ，
∴2D ∠>∠，
∴选项C 正确；
没有条件说明C D ∠=∠
故选：D.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键. 5．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．25°
C ．30°
D ．35°C
解析：C
【分析】 根据三角形内角和求出∠ABC 的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角．
【详解】
解：在ABC 中，
∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，
∵BD 平分ABC ∠，
∴∠ABD=∠CBD=
12∠ABC=30°， ∵//DE BC ，
∴BDE ∠=∠CBD=30°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题关键．
6．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）
A ．20°
B ．15°
C ．10°
D ．30°A
解析：A
【分析】 先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD ，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE
∵∠AED 是△CDE 的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC ，
∵∠ADE=∠AED ，
∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ，
∵∠B=∠C ，
∴∠BAD=2∠EDC ，
∵10CDE ∠=︒
∴∠BAD=20°；
故选：A
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A ．1，2，3
B ．1，3，5
C ．2，3，4
D ．2，6，10C
解析：C
【分析】
根据三角形三边关系逐一进行判断即可．
【详解】
A 、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
B 、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；
C 、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；
D 、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 8．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A ．8
B ．5
C ．6
D ．7C
解析：C
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】
解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；
③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；
④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；
⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；
⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为6．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
9．如图，为估计池塘岸边A 、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB=10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）
A ．20米
B ．15米
C ．10米
D ．5米D
解析：D
【分析】 连接AB ，根据三角形三边的数量关系得到AB 长的范围，即可得出结果．
【详解】
解：如图，连接AB ，
∵15AO m =，10OB m =，
∴15101510AB -<<+，即525AB <<．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质．
∠=，则x的度数可10．如图，在ABC中，70
B
∠=，D为BC上的一点，若ADC x
能为（）
A．30°B．60°C．70°D．80°D
解析：D
【分析】
根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，得到x＞70°，根据平角的概念得到x＜180°，计算后进行判断得到答案．
【详解】
解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴x＞70°，
又x＜180°，
∴x的度数可能为80°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
二、填空题
11．已知ABC的三边长分别为a，b，c，则
--+--+-+=______．【分析】三角形三边满足的条件是：两a b c b c a c a b
边和大于第三边两边的差小于第三边根据此条件来确定绝对值内的式子的正负从而化简计算即可【详解】解：∵△ABC的三边长分别是abc∴必须满足两边之和大于第三边两边的差小
+-
解析：3c b a
【分析】
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，
∴0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∴a b c b c a c a b --+--+-+
=()()()a b c b c a c a b ------+-+
=++++a b c b c a c a b --+-+
=3c b a +-
故答案为：3c b a +-．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
12．如图，已知//,
AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的
数量关系为___________． 【分析】延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的
平行线GN 交CE 于点N 根据平行的性质得由得再根据三角形的外角的性质得即可求出和的数量关系【详解】解：如图延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN
解析：1483E G ∠=︒-∠
【分析】
延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，根据平行的性质得G BAG GCD ∠=∠+∠，由3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，得
333G BAG DCG ∠=∠+∠，再根据三角形的外角的性质得
E EMA EA
F BAF ∠+∠=∠-∠，即可求出E ∠和
G ∠的数量关系．
【详解】
解：如图，延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，
∵//AB CD ，
∴////BH GN CD ，
∴BAG AGN ∠=∠，NGC GCD ∠=∠，EMA ECD ∠=∠，
∵G AGN NGC ∠=∠+∠，
∴G BAG GCD ∠=∠+∠，
∵3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，
∴333G BAG DCG ∠=∠+∠，
∵EAB E EMA ∠=∠+∠，EAB EAF BAF ∠=∠-∠，
∴E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，
∴E ECD EAF BAF ∠+∠=∠-∠，
∴31483E DCG BAG ∠+∠=︒-∠，
∴()14833E BAG DCG ∠=︒-∠+∠，
∴1483E G ∠=︒-∠．
故答案是：1483E G ∠=︒-∠．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是通过平行线的性质和三角形外角的性质找到角与角之间的数量关系．
13．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．
12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个
面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用
了三角形的中线
解析：12
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵ F 是CE 的中点，23AEF S cm ∆=
∴ 226ACE AEF S S cm ∆∆== ，
∵ E 是BD 的中点，
∴ ADE ABE S S ∆∆= ，CDE BCE S S ∆∆= ， ∴12ACE ABC S S ∆∆= ， ∴△ABC 的面积=212cm ．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
14．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．
18【分析】连接BG 根据重心
的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △
解析：18
【分析】
连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．
【详解】
连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，
∴S △BGC =
13
S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）
∴S△DGC=3
4
S△BGC=6
∴剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18
故答案为：18．
【点睛】
此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．
15．如图，点D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则ABC的面积是________．
8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部
分S△ABD=S△ACD=S△ABCS△BDE=S△ABDS△ADF=S△ADC再得到
S△BDE=S△ABCS△DEF=S△ABC所以S△ABC=
解析：8
【分析】
利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=1
2
S△ABC，
S△BDE=1
2
S△ABD，S△ADF=
1
2
S△ADC，再得到S△BDE=
1
4
S△ABC，S△DEF=
1
8
S△ABC，所以S△ABC=
8
3
S阴
影部分
．【详解】
解：∵D为BC的中点，∴
1
2
ABD ACD ABC
S S S
==
△△△，
∵E，F分别是边,
AD AC上的中点，
∴
111
,,
222 BDE ABD ADF ADC DEF ADF
S S S S S S
===，
∴
111
,
448 BDE ABC DEF ADC ABC
S S S S S
===，
∵
113
488
BDE DEF ABC ABC ABC
S S S S S S
=+=+=
阴影部分
，
∴888333
ABC S
S ⨯===阴影部分， 故答案为：8．
【点睛】 本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多
解析：11
【分析】
先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．
【详解】
设多边形的边数为n ，则有
(n -2)•180＋360=2520，
解得：n =14，
14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，
故答案为11．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．
17．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对
解析：（38，76），（33，81） 060x ︒<<︒
【分析】
根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ︒<<︒时，当60120x ︒<︒时，当120180x ︒<︒时，三种情况讨论，从而得出结论．
【详解】
解：当66x =时，
180-66=114，
则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），
或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），
若对应的和谐数对(,)y z 有三个，
当060x ︒<<︒时，它的和谐数对有(1803,2)x x ︒-，3(,180)22x x ︒-，180(3
x ︒-，2(180))3
x ︒-； 当60120x ︒<︒时，它的和谐数对有3(,180)22x x ︒-，180(3
x ︒-，2(180))3x ︒-， 当120180x ︒<︒时，它的和谐数对有180(3
x ︒-，2(180))3x ︒-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ︒<<︒，
故答案为：（38，76），（33，81）；060x ︒<<︒．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
18．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．
5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠
的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛
解析：5°．
【分析】
根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯
=． 【详解】
解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，
∴
1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称， ∴1MBF FBE ∠=∠=∠，
∵BN 与BD 关于BF 对称，
∴NBF FBD ∠=∠
FBE EBD =∠+∠
11=∠+∠
21=∠，
又∵BN 平分CBM ∠，
∴CBN NBM ∠=∠，
又∵BC 为折痕，
∴CBA CBF ∠=∠
CBN NBF =∠+∠
21NBM =∠+∠，
∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠
211=∠=∠
1=∠，
∴31CBA ∠=∠，
又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，
∴3112121180∠+∠+∠+∠=，
∴81180∠=，
又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58
ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．
【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到
31808
ABC ∠=⨯． 19．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．
75°【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA然
后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA最后根据三角的内角和定理求解即可【详解】解：∵在四边形ABCD中∠ABC=80°∠BCD=70°
解析：75°．
【分析】
先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA，然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA,最后根据三角的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠BCD=70°
∴∠BAD+∠CDA=360°-80°-70°=210°
∵∠EAD=1
2∠BAD，∠EDA=1
2
∠CAD
∴∠EAD+∠EDA=1
2
（∠BAD+∠CDA）=105°
∴∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA）=180°-105°=75°．
故答案为75°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和以及角平分线的相关知识，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若
150,222
∠=︒∠=︒，则3
∠=_______．
30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角
的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10
解析：30°
【分析】
通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：1 5
（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°．
故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．
三、解答题
21．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积
的1
4
．
（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是
△ABC的1
8
．
解析：（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图
【分析】
（1）根据三角形中线的性质可知，当CD为△ABC在AB边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB的中点，连接AE即可；
（2）可按照△BCE 与△ABC 都以BC 为底边进行分析，当都以BC 为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE 的高为1即可；
（3）延续（2）的解题思路，都以BC 为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC 的18，则让构成的三角形的高为12即可，则在BC 下方12个单位处作平行于BC 的直线即为所求．
【详解】 如图所示：
（1）D 在格点上，也为AB 的中点，故CD 即为所求；
（2）当点E 在直线m 上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE ，此时答案不唯一，符合要求即可；
（3）如图，直线l 即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．
22．如图，在平面内有三个点、、A B C
（1）根据下列语句画图：
①连接AB ；
②作直线BC ；
③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；
（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．
解析：（1）见解析；（2）AB BC CD AB BD AD ++>+>
【分析】
（1）①按要求作图；
②按要求作图；
③按要求作出射线AC ，然后以点C 为圆心，BC 为半径画弧，交射线AC 于点D ，连接BD ；
（2）结合图形，根据三角形两边之和大于第三边进行分析比较．
【详解】
解：（1）①如图，线段AB 即为所求；
②如图，直线BC 即为所求；
③如图，射线AC ，点D ，线段BD 即为所求
（2）如图，在△BCD 中，BC+CD ＞BD
∴AB BC CD AB BD ++>+
在△ABD 中，AB+BD ＞AD
∴AB BC CD AB BD AD ++>+>
【点睛】
本题考查基本作图及三角形三边关系，正确理解几何语言并掌握三角形三边关系是解题关键．
23．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒
（1）求BCE ∠的度数；
（2）求B 的度数．
解析：（1）40∠=︒ECB ；（2）52B ︒∠=
【分析】
（1）根据同位角相等，两直线平行判定//DF CE ，然后再根据平行线的性质求解； （2）根据角平分线的定义求得80ACB ︒∠=，然后利用三角形内角和求解．
【详解】
解：（1）
BEC BFD ∠=∠，
//DF CE ∴，
ECB D ∴∠=∠． 40D ︒∠=，
40ECB ∴∠=︒．
（2）CE 是ACB ∠的平分线．
40ECB ACE ︒∴∠=∠=，
80ACB ︒∴∠=．
180A B ACB ︒∠+∠+∠=，
180180488052B A ACB ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
24．已知：如图90MON ∠=︒，与点O 不重合的两点A 、B 分别在OM 、ON 上，BE 平分ABN ∠，BE 所在的直线与OAB ∠的平分线所在的直线相交于点C ．
（1）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，且45BAO ∠=︒时，求ACB ∠的度数； （2）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动时，ACB ∠的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出ACB ∠的范围．
解析：（1）45°；（2）不变，45°
【分析】
（1）由题意，先求出135ABN ∠=︒，由角平分线的定义，求出67.5ABE ∠=︒，22.5∠︒=BAC ，由三角形外角的性质，即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得ACB ABE BAC ∠=∠-∠，再根据角平分线的定义即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵90MON ∠=︒，即90AOB ∠=︒，45BAO ∠=︒，
∴135ABN AOB BAO ∠=∠+∠=︒，
∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴167.52
ABE ABN ∠=∠=︒，122.52BAC BAO ∠=∠=︒， ∴67.522.545ACB ABE BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
（2）ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下：
∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠，
∴12ABE ABN ∠=∠，12BAC BAO ∠=∠， ∴ACB ABE BAC ∠=∠-∠1122ABN BAO =
∠-∠ ()12ABN BAO =
∠-∠12
AOB =∠190452=⨯︒=︒． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．
25．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|． 解析：3c+a ﹣b ．
【分析】
根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a ﹣b ﹣c ＜0，b ﹣c ﹣a ＜0，c+a ﹣b ＞0．
∴|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|
＝b+c ﹣a+c+a ﹣b+c+a ﹣b
＝3c+a ﹣b ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
26．如图，在ABC 中，AD 为高，AE 为BAC ∠的平分线，若28B ∠=︒，52ACD ∠=°，求EAD ∠的度数．
解析：50°
【分析】
由AD 为高，28B ∠=︒，求出52ACD ∠=°，利用外角性质求出
24BAC ACD B ∠∠∠=-=︒，根据AE 是角平分线，求出1122
BAE BAC ∠∠=
=︒，即可求出EAD ∠的度数.
【详解】
解：∵AD 为高，28B ∠=︒，
∴62BAD ∠=︒．
∵52ACD ∠=°，
∴24BAC ACD B ∠∠∠=-=︒．
∵AE 是角平分线， ∴1122BAE BAC ∠∠=
=︒， ∴50EAD BAD BAE ∠=∠-∠=︒.
【点睛】
此题考查三角形的角平分线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
27．如图ABC 中，45B ∠=︒，70ACB ∠=︒，AD 是ABC 的角平分线，F 是AD 上一点EF AD ⊥，交AC 于E ，交BC 的延长线于G ．求G ∠的度数．
解析：12.5︒
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得出∠ADC 的度数，再根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出∠G 的度数．
【详解】
解：∵∠B ＝45°，∠ACB ＝70°，AD 是ABC 的角平分线，
∴∠BAC ＝2∠CAD ＝65°，
∴∠ADC ＝180°﹣70°﹣32.5°＝77.5°，
∵EF ⊥AD ，
∴∠G ＝180°﹣90°﹣77.5°＝12.5°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中．
28．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．
解析：10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12
∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=
12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=
12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°． 【详解】
解：∠B AC =60°，∠C =70°
∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，
∵AE 是角平分线，
∴∠EAC =12∠BAC =12
×60°=30°， ∵AD 是高，
∴∠ADC =90°，
∴∠CAD =90°−∠C =90°−70°=20°，
∴∠DAE =∠EAC −∠CAD =30°−20°=10°；
∵AE ，BF 是角平分线，
∴∠OAB =12∠BAC ,∠OBA =12
∠ABC ， ∴∠BOE =∠OAB +∠OBA =
12(∠BAC +∠ABC )=12(180°−∠C )=12×(180°−70°) =55°． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。