2022年高考数学(理)冲刺卷 09(四川卷)(解析版)

2022年高考冲刺卷（9）【四川卷】
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{}
2|A x y x x ==-，集合{}|sin B y y x ==，则A B =( )
A. [1,0]-
B.
[]1,1- C. []0,1 D. {}0,1
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，正弦函数的值域，交集的概念及其运算，考查同学的运算求解力量. 【答案】C
【解析】由题意，知{
}[]2
01|0,A x x x =-=，[]1,1B =-，所以[]0,1A B =，故选C.
2．已知复数cos isin 1212
z ππ
=+(i 是虚数单位)， 复数2z 的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是（ ）
A.0ab <
B.2
2
1a b +≠ C.
3a
b
= D.3b a =
【命题意图】本题考查复数及其相关概念，复数的四则运算以及运算求解力量．
3．已知向量(sin(),2)x ϕ=+a ，(1,cos())x ϕ=+b ，
函数()()()f x =+⋅-a b a b ，则()f x 的最小正周期是（ ） A ．1 B ．2 C ．π D ．2π 【命题意图】本题考查向量数量积的概念与性质，三角函数的周期，考查基本运算力量. 【答案】C
【解析】由于2
2
2
2
()()()[sin ()4][cos ()1]cos(22)3f x x x x ϕϕϕ=+⋅-=-=++-++=-++a b a b a b ， 所以()f x 的最小正周期是π，选C.
4．如图是一个封闭几何体的三视图，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ） A.
π
32
+
B.3+π
C.
3π3+
2
D.5π32+
【命题意图】本题考查三视图与原几何体的相互关系，考查基本运算求解力量和空间想象力量.
5．已知圆O ：22
4x y +=上到直线l ：x y a +=的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围是（） A.(32,32)- B.(,32)(32,)-∞-+∞
C.(2,22)-
D.[32,32]-
【命题意图】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，考查基本运算求解力量. 【答案】A
【解析】易知圆心为()0,0，半径为2．由于圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离021d r d <+=+，即22
32
11d =
=
<+，解得(32,32)a ∈-．故A 正确． 6．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别争辩四个不同课题，且每组 只争辩一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的安排方案的种数为（ ）
A.
333
4
1296
4
3
3
C C C
A
A
B.3334
1296
C C C
3
C.
333
3
1296
4
4
C C C
4
A
D.3333
1296
C C C4
【命题意图】本题考查排列与组合的基础学问，考查同学规律推理力量和基本运算力量．
【答案】B
【解析】将12名同学平均分成四组，共有
333
1296
4
4
C C C
A
种，分别争辩四个不同课题，共有
333
4
1296
4
4
4
C C C
A
A
⨯种，从
四组中每组选出一名组长，共有43种，由乘法计数原理，不同的安排方案的种数共计
333
443334
1296
41296
4
4
C C C
A3C C C3
A
⨯⨯=种，故选B.
7．已知不等式组
220
22
22
x y
x
y
⎧+-≥
⎪⎪
≤
⎨
⎪
≤
⎪⎩
表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆221
x y
+=的两条
切线，切点分别为A，B.当PAB
△的面积最小时，cos APB
∠的值为（）
A.
7
8
B.
1
2
C.
3
4
D.
3
2
【命题意图】本题考查线性规划的简洁应用，意在考查同学的基本运算力量.
【答案】B
8．如图，在单位正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=
2
2
，则下列结
论中错误的是（）
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A BEF
-的体积为定值
D.异面直线AE，BF所成的角为定值
【命题意图】本题考查直线与平面平行的判定及性质，考查同学的空间想象力量和计算力量．
【答案】D
9．如图，已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一
点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是
A ． 3
B ．2
C ．3
D ．2
【命题意图】本题考查直线，圆，双曲线三者间的位置关系，考查同学数形结合思想和计算力量． 【答案】B
10．已知函数2
()f x ax bx a b =--+（0a >，0b >）.当[0,]x m ∈时，对于任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，则实数m 的最大值为（ ）
A .1
3 B.1
2
C.1
D.32
【命题意图】本题考查二次函数的图象与性质，不等式恒成立，分类争辩的数学思想方法. 【答案】C
【解析】由于2
(1)|2|ax bx a b x b a --+≤+-，所以不等式两边同除以b ，并整理得
2(1)(1)(1)|2|a a
x x x b b
---≤+-．
由正实数a ，b 的任意性，设(0,)a
t b =∈+∞，于是原不等式转化为关于t 的不等式
2(1)(1)(1)|2|x t x x t ---≤+-恒成立问题．
在同一坐标系中作出关于t 的函数2
1(1)(1)y x t x =---和2(1)|2|y x t =+-的图像（如图），
由题知当0t > 时，12y y ≤恒成立，故1021110x x ⎧<<⎪+⎨
⎪-≤-≤⎩，或1
21011
x x ⎧≥⎪
+⎨⎪≤-≤⎩，解得01x ≤≤． 由此，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，则01x ≤≤，因此01m ≤≤，所以m 的最大值为1，选C.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．(
)
4
2
2x x --的开放式中，3x 的系数为 ． (用数字填写答案) 【命题意图】本题主要考查二项式定理的性质等基础学问，考查同学的计算力量． 【答案】40-
【解析】应为()
42
2x x -- ()4
2
2x x ⎡⎤=-+⎣⎦开放后只有()4
2x +与()
3
32
4C 2x
x -+中含3
x 项，所以其系数
和为13312
443C 2C C 240⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.
12．已知抛物线2
3x y =上两点A ，B 的横坐标恰好是方程2
510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程
是 ．
【命题意图】本题主要考查直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查同学数形结合思想和计算力量． 【答案】5310x y ++=
【解析】设2(,)3a A a ，2
(,)3
b B b （a b ≠），由直线的两点式方程，得AB 的方程为()30a b x y ab +--=.
又a ，b 是2
510x x ++=的两个实根，得5a b +=-，1ab =.所以AB 的方程是5310x y ++=.
13．为促进资源节省型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节省用电，北京居民生活用电试行阶梯电价. 其标准如下表：
用户
类别
分档电量
（千瓦时/户·月） 电价标准
（元/千瓦时）
试行阶梯电
价的用户
一档
1-240（含） 0.4883 二档
241-400（含）
0.5383
三档
400以上
0.7883
北京市某户居民2022年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为__________千瓦时.
【命题意图】本题主要考查分段函数的应用，函数与方程思想，考查同学的计算力量． 【答案】300
14．如右的程序框图，若e
a =π ，e
b π
=，3
c =π（其中 3.1415π=为圆周率，e 2.7182
=为自然对
数的底数），则输出的值等于__________．
【命题意图】本题主要考查程序框图功能，构造函数比较实数的大小，考查同学的计算力量． 【答案】c
【解析】由程序框图知，输出的值是a ，b ，c 中的最大值.由函数x
y =π在定义域上单调递增，得e
3
π<π，
即a c <.令x x x f ln )(=
，则2ln 1)(x
x
x f -='.当0)(>'x f ，即e x <<0时，函数)(x f 单调递增； 当0)(<'x f ，即e x >时，函数)(x f 单调递减，所以e x =时，)(x f 取得最大值1e ，于是ln 1
e
x x .
在上式中，令2e x =π，又2
e e <π，则2e e ln <ππ，即得ππe ->2ln ，所以3e 3ln 66e π>->->ππ
，即
3ln π>π，所以3e ππ<，即b c <，所以a ，b ，c 中的最大者是c ，输出的值是c .
15．假如对于任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有 ()f a ，()f b ，
()f c 也是某个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”. 现给出下列4个命题：
①()f x x =
()sin g x x =（(0,)x π∈）都是“保三角形函数”
②假如()f x 是定义在R 上的周期函数，且值域为(0,)+∞，则()f x 不是“保三角形函数”；③若函数
()ln h x x =（[,)x M ∈+∞）是保三角形函数，则M 的最小值为2；
④函数()e x
f x t =+（[0,1]x ∈，t R ∈ ）是“保三角形函数”的充要条件是1t >. 其中正确的命题是 ．（写出全部正确命题的序号）
【命题意图】本题以函数、不等式、集合为载体，考查同学对新信息的分析理解、对问题的探究和富有数学特点的思考，考查创新力量.
【答案】②③
对于③，（i ）首先证明当2M ≥时，函数()h x 是保三角形函数．对任意一个三角形三边长a ，b ，[,)c M ∈+∞，且a b c +>，b c a +>，c a b +>，由于2a ≥，2b ≥，所以(1)(1)1a b --≥，所以ab a b c ≥+>，取对数得ln ln ab c >，即ln ln ln a b c +>.
同理可证明ln ln ln b c a +>，ln ln ln c a b +>．所以ln a ，ln b ，ln c 是一个三角形的三边长．故函数
()ln h x x =（[,)x M ∈+∞，2M ≥）是保三角形函数.
（ii ）其次证明当02M <<时，()h x 不是保三角形函数.由于02M <<，所以2
2M M M M +=>，所
以M ，M ，2M 是某个三角形的三条边长，但是2ln ln 2ln ln M M M M +==，所以ln M ，ln M ，2
ln M 不能为某个三角形的三边长，
所以，当02M <<时，()h x 不是保三角形函数，所以M 的最小值为2，③正确；
对于④，()e x
f x t =+（[0,1]x ∈）是“保三角形函数”的的充要条件是min max 2()()f x f x >.t R ∀∈，()f x 在[0,1]上单调递增，所以min ()(0)1f x f t ==+，max ()(1)e f x f t ==+.于是2(1)e t t +>+，解得e 2t >-，所以()f x 是“保三角形函数”的充要条件是e 2t >-，故④错误，综上答案为②③.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.
（1）若
3
3
2tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.
【命题意图】本题主要考查正弦定理，同角三角函数基本关系，诱导公式，正弦的和角与差角公式等基础学问，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算力量．
（2）∵ABC ∆外接圆的面积为π4，∴ABC ∆的外接圆的半径2=R ，
（7分）
由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=，得ac
b c a B 2cos 222-+=，又ac b =2
，
∴21cos ≥
B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为AB
C ∆的内角，∴30π
≤<B ，（9分） 由正弦定理R B
b
2sin =，得B b sin 4=.
（10分） ∴ABC ∆的面积B B b B ac S ABC 3
2sin 8sin 2
1sin 21===∆，（11分）
∵3
0π
≤<B ，∴23sin 0≤<B ，∴]33,0(∈∆ABC S . （12分）
17．（本小题满分12分）
在2021-2022赛季CBA 联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场竞赛中投篮命中状况统计如下表（注：表中分数
n
N
，N 表示投篮次数，n 表示命中次数）,假设各场竞赛相互独立. 场次 球员
1 2
3
4
5 6 7 8 9 10
甲
513 412 1430 59 1419 1016 1223 48 613 1019 乙
1326
918
914
816
615
1014
721
916
1022
1220
依据统计表的信息:
（1）从上述竞赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场竞赛中投篮命中率大于0.5的概率； （2）试估量甲、乙两名运动员在下一场竞赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
（3）在接下来的3场竞赛中，用X 表示这3场竞赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.
【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础学问，考查同学转化力量、计算力量以及分析问题和解决问题的力量.
（2）设在一场竞赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为大事A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为大事1B ，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为大事2B .
则1213121
()()()25252
P A P B P B =+=⨯+⨯=.------------------------------------------------7分 （3）X 的可能取值为0,1,2,3.
0033
2327
(0)()()55125
P X C ===
； 112
32354(1)()()55125P X C ===
； 22132336
(2)()()55125P X C ===
； 333
28
(3)()5125
P X C ===
； X 的分布列如下表：
X 0
1
2
3
P
27125 54125 36125 8125
26
355
EX np ==⨯=. --------------------------------------------------------13分
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，22PA =，120PDC ∠=， 点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上．
（1）若1
2
AF =
，求证：CD EF ⊥； （2）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ，
试确定点F 的位置，使得3cos θ=
【命题意图】本小题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系，二面角等基础学问，考查空间想象力量、
推理论证力量、运算求解力量.
【解析】（1）在PCD ∆中，2PD CD ==，
∵E 为PC 的中点，
∴DE 平分PDC ∠，60PDE ︒∠=,
∴在Rt PDE ∆中，cos601DE PD ︒
=⋅=，…………2分
过E 作EH CD ⊥于H ，则1
2
DH =，连结FH ，
∵12
AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ………………4分
∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =，∴CD ⊥平面EFH ，
又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥． ………………5分 （2）∵2AD PD ==，22PA =，∴AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，
又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ． ………………6分 过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ， 故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空
间直角坐标系O xyz -， ………………7分
则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,3)P -，又知E 为PC 的中点，E 13
(0,
2，设(2,,0)F t ，H
P
A B
C
D
E
F
则13
(0,,
)22
DE =，(2,,0)DF t =， (0,1,3)DP =-，(2,0,0)DA =．…………8分
设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，
则0,0,DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴1111
130,2220,
y z x ty ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量
(3,23,2)t =--n ， ………………9分
19. （本小题满分12分）数列{}n x 的前n 项和为n S ，且满足3122
n n S x =-（n *
∈N ）．
（1）求数列
{}n x 的通项公式；
（2）设数列
{}n a 的各项为正，且满足11a =，11
n n n
n n x a a x a --+（n *
∈N ，且2n ），
求证：1122
3398
n n a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+<
． 【命题意图】本小题考查等比数列的相关学问，错位相减求和的方法，放缩法证明不等式，考查运算求解力量．
【解析】（1）当1n =时，1131
22
S x =-，所以110x =≠
当2n
时，由31
22
n n S x =
-……①， 得1131
22
n n S x --=
-……②，
①-②可得，11
3
n
n x x -=（2n ）
， 所以1
111
33
n n n x --⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
………………………4分 （2）由1
1
n n n
n n x a a x a --+，及0n a >，0n x >得，
∴
1111n n n a x a -
+，即1
11
1n n n
a a x --
，
∴1
2311
111
n n
a a x x x -++⋅⋅⋅+，
11a =，
∴21
23111131113332
n n n n a x x x --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+= ∴2
31
n
n
a -………………………8分 设112233n
n n T a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，
1122331212121
1183269313n n n n n T a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-
当1n =时，19
18
T =<
当2n =时，21139112128
T ≤+
=<， 当3n
时，()21122221221
2221
3323333
313n n
n n n n n n n n a x -------<=<-⋅+-- z
y
x
P
A B
C
D
E
F
∴23111111791799
112999729728
n n n T --⎛⎫<++++⋅⋅⋅+=-<< ⎪⎝⎭………………………12分
20．（本小题满分13分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点构成一个面积为23的四边形，该四边形的一个内角为
60°．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若△OAB 面积为3
2
，求||||AB OC ⋅的最大值．
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础学问，考查推理论证力量、运算求解力量，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．
(2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，
联立方程组22
,1,3
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，得()
222316330k x kmx m +++-=， 由2212(31)0k m ∆=-+>，得2231m k <+，
则122631
km
x x k -+=+，21223331m x x k -=+，（*） ··················································· 6分
222
2
2
12122331
||1()41k m AB k x x x x k -+=+⋅+-=+⋅， 原点O 到直线l 的距离2
1d k
=
+，
所以△OAB 的面积22
221123313||1221k m S AB d k k
-+=⋅=+⋅⋅=+， ··· 7分
整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=
所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>， ········ 8分 结合（*）得123k
x x m -+=，2212123(21)1()222k m y y k x x m m m m m m ---+=++=+=+=，
则C 31(,)22k m m
-，所以222
222913(21)131||4422k m OC m m m +-+=
==-， 222222
2
22
2222222
3121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m -+-+=+⋅=+⋅=+==++，
········································································································ 10分
所以2222222
11
[(3)(1)]11
||||(3)(1)44
m m AB OC m m -
++⋅=-+=，
当且仅当22
11
31m m -
=+
，即1m =±时，等号成立， 故||||2AB OC ⋅≤，综上||||AB OC ⋅的最大值为2． ····································· 13分 21．（本小题满分14分）
已知函数x m x x x f ln 12)(2++-=（R m ∈）.
（1）当1=m 时，求过点(0,1)P -且与曲线2)1()(--=x x f y 相切的切线方程； （2）求函数()f x 的单调递增区间；
（3）若函数()f x 的两个极值点为a ，b ，且b a <，记][x 表示不大于x 的最大整数，试比较)]
([)]
([sin
b f a f 与)])()][(cos([b f a f 的大小.
【命题意图】本题主要重点考查导数的几何意义，利用导数求参数取值范围，第三问是不等式与导数的综合应用问题，体现出试题命制梯度.考查推论证力量、运算求解力量、创新意识、考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想．
（2）函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，x
m
x x x f +-=22)('2，令0)('>x f ，
︒1当2
1
≥
m 时，0)(
'≥x f 恒成立，函数)(x f 的单调递增区间为0(，)∞+； ︒2当2
10<<m 时，函数)(x f 的单调递增区间为0(，
)2211m --，2211(m
-+，)∞+； ︒3当0≤m 时，函数)(x f 的单调递增区间为2
211(
m
-+，)∞+. ……7分
当21(∈b ，)1时，0)('>b f ，即函数)(b f 是21(，)1上的增函数，
所以0)(42ln 21<<-b f ，故)(b f 的取值范围是4
2ln 21(
-，)0， ……11分
则1)]([-=b f ，
同理可求12)(2+-=a a a f a a a ln )22(2+-+，0(∈a ，)21
，0ln )2
1(4)('<--=a a a f ， 即函数)(a f 是1(0,)2
上的减函数， 所以
1)(4
2ln 21<<-a f ，故)(a f 的取值范围是42
ln 21(-，)1， …………12分
则1)]([-=a f 或0)]([=a f ， 当1)]([-=a f 时，)]
([)]
([sin
b f a f )])()][(cos([b f a f >；
当0)]([=a f 时，)]
([)]
([sin b f a f )])()][(cos([b f a f <.
…………14分。