中职数学教案：抛物线的几何性质

中等专业学校2023-2024-1教案
教学内容
1.范围
在方程y²=2px中，由p>0，y
²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线
在y轴的右侧，如图所示. 当x
的值增大时，y²的值也随着增大，
即|y|的值增大. 这说明，抛物线
向右上方和右下方无限延伸.这说
明,抛物线向右上方和右下方无限
延伸.
2.对称性
在方程中，将y换成-y，方程不改变.这说明抛物线关于x轴对称.一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.
3.顶点
在方程中，令y=0，得x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.
4.离心率
抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e. 由抛物线的定义知，e=1.
探究与发现
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
典型例题
例3 根据条件，求抛物线的标准方程.
(1)关于y轴对称，且过点P(4,-2) ；
(2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).
解(1)由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.
设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4,-2)代人方程，得42=-2p·(-2)，解得p=4.
因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；
(2)设所求抛物线的标准方程为：
y²=2p
1
x或x2=-2p
2
y，
将点P的坐标(10,5)分别代人上述两个方程，得5²=2p1×10或102=-2p2×5，解得
1
5
4
p=或p2=10.
故抛物线的标准方程为
2
5
2
y x
=或x2=20 y.
教学内容
温馨提示
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.
例4 用“描点法”画出抛物线y²=4x的图形.
分析抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.
解当y≥0时,抛物线的方程可以变形为y²=2x(x≥0).
在[0,+∞)上，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表
以表中的x值为横坐
标，对应的y值为纵坐标，
在直角坐标系中依次描出
相应的点(x,y)，用光滑的
曲线顺次链接各点得到抛
物线在第一象限内的图形.
然后利用对称性，画出全部
图形.
例5 如图(1)所示，一条隧道的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，求拱形纵截线所在的抛物线方程.
解以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py.
设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3,-2)．把点
B的坐标代人方程x²=-2py，可得
9
4
p=.
因此，拱形纵截线所在的拋物线方程为2
9
2
x y
=-
(-3≤x≤3).
巩固练习
练习3.3.2
1. 根据条件，求抛物线的标准方程.
(1)准线方程为x=4；
(2)焦点为F(0,-3)；
(3)关于x轴对称，且过点(5,-4)；
(4)对称轴为坐标轴，且过点(6,3).
2. 在直角坐标系中，画出下列拋物线的图像.
(1) y²=-6x ; (2)x²=9y.
3. 已知拋物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，
抛物线上一点P(-3,m)到焦点的距离为5，求拋物线
的标准方程.
4.已知垂直于x轴的直线交抛物线y²=6x于A、B
两点，且|AB|=83，求直线AB的方程.
归纳总结
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
板
书
设
计
教后札记。