积分第二中值定理的证明

上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。

积分第二中值定理：
()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ϕ在区间[,]a b 上单调，那么在[,]
a b 上存在内点ξ，使得：
()()(0)()(0)()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=++-⎰
⎰⎰
特别的，当()x ϕ在区间[,]a b 两端连续时，有
()()()()()()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=+⎰
⎰⎰
积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。

Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的210n n >>，有
2
2
22111
1
1111()()n n n
n
n n n n n n n n n n n n a b
b b a a a b a b -++-==-=-+-∑∑
实际上：
2
1111112221
1111111122222
1111111122111111111211111121()()()...()
()()...()()()...(n n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b
b a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222
2
22111111111
)()()n n n n n n n n
n
n n n n n n n a b a a a b b a
a a
b a b ++++-=-+-+-+-∑
下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。

众所周知，积
分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一
个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。

那么就来回顾一下分部积分的方法：
区间[,]a b 上的连续函数()f x 与()x ϕ，有
()()()()|()()b
b
b a
a
a
f x d x f x x x df x ϕϕϕ=-⎰
⎰
再看上面的Abel 引理，n a 对应()f x ，n b 对应()x ϕ，符号21
n n n =∑对应b
a
⎰
，()d x ϕ对应1n n b b --，()df x 对应1n n a a +-，最后你会发现上面
的Abel 引理就对应了分部积分的这种形式。

我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel 引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。

用T 表示区间[,]a b 上的一个划分012,,...n x x x x ， T l 表示划分的最大长度，接下来设()x ϕ非负且单调不增。

将得到：
1
1
()()()()k
k n
x b
k
x a
k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰
⎰，其中1k k k x x ξ-≤≤。

用μ表示
|()|
f x 在区间
[,]
a b 的上确界，令
1
1
()()()()k
k n
b
x k a
x k f x x dx f x dx ϕϕξ-=∆=-∑⎰⎰
，则：
1
1111
|||[()()]()|
[()()]()
[()()]
k
k n
x k x k n
k k k k k T x f x dx x x x x l a b ϕξϕϕϕμμϕϕ-=--=∆=-≤--≤-∑⎰
∑
因为0T l →，则0∆→，即1
1
()()()()k
k n
x b
k x a
k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰
⎰。

下面将用Abel 引理变换上面的式子：
令()k
x k a
A f x dx =⎰，(0,1,2,..,)k n =，那么，
1
111
111
()()()()
[()()]()
k
k n
n
x k
k k k x k k n k k k n n k f x dx A A A A ϕξϕξϕξϕξϕξ--==-+==-=-+∑∑⎰
∑
分别用M 和m 来表示()x
a
f u du ⎰的在区间[,]a b 的上下确界，显然
有k m A M ≤≤，令1
11
[()()]()n k k k n n k S A A ϕξϕξϕξ-+==-+∑，由于()x ϕ单
调不增且非负，则有：
11()()m S M ϕξϕξ≤≤，当0T l →时，
有1()(0)a ϕξϕ→+，()()b
a
S f x x dx ϕ→⎰，不等式可写为：
(0)()()(0)b a
m a f x x dx M a ϕϕϕ+≤≤+⎰，根据()x
a
f u du ⎰的连续性，
区间[,]a b 存在内点ξ，使得()()(0)()b a
a
f x x dx a f x dx ξ
ϕϕ=+⎰⎰。

如果()x ϕ非负且单调不减，令x b y =-，则，
()()()()(0)()(0)()b
b a
a
b b f x x dx f b y b y dy b f b y dy
b f x dx
ξ
η
ϕϕϕϕ--=--=--=-⎰
⎰
⎰⎰
其中a b b ξη<=-<，因此()()(0)()b
b
a
f x x dx b f x dx ξ
ϕϕ=-⎰⎰，
综合可得，当()x ϕ在区间[,]a b 上单调，积分第二中值定理可表述为：()()(0)()(0)()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=++-⎰⎰⎰。

特别地，若()x ϕ在区间[,]a b 上单调且连续，则
()()()()()()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=+⎰
⎰⎰
这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。

令()()x
a
F x f u du =⎰，可知()0F a =，则，
()()()()()()|()()
()()()'()b
b
b
b a
a
a
a
b a
f x x dx x dF x F x x F x d x F b b F x x dx
ϕϕϕϕϕϕ==-=-⎰
⎰⎰⎰
在区间[,]a b 上，当()x ϕ单调不减时，'()0x ϕ≥，
'()()'()'()m x F x x M x ϕϕϕ≤≤，
()()()()()[()()]
()()()()()()()()()()b
a
a
b
a
a
a
b
a
f x x dx F b b f x dx b a b f x dx b f x dx a f x dx a f x dx b f x dx
ξ
ξξ
ξξ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--=-+=+⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()x ϕ单调不增的情况同理可得。