四川省内江市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

内江高2026届高一下学期半期考试题
数学（答案在最后）
1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
2、答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.
3、考试结束后，监考人将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1.sin 55cos 25cos55sin 25-=
（）
A.
1
2
B.
2
C.12
-
D.【答案】A 【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式即可.
【详解】(
)
2
sin 55cos 25cos55sin 2501sin 5525sin 3-=
-==
.故选：A.
2.已知a = ，b = ，a 与b 的夹角是150 ，则a b ⋅=
（
）
A.-
B.
C.-
D.【答案】C 【解析】
【分析】根据数量积定义即可计算.
【详解】由题意，cos ,cos150a b a b a b ⋅===-
.
故选：C
3.在ABC 中，内角
A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，1b =，45A =o ，则B =（
）
A.30
B.45
C.60
D.90
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理求解.
【详解】解：因为在ABC 中，a =1b =，45A =o ，
由正弦定理得
sin sin a b
A B =，则sin 1sin 2
b A B a ==，因为a b >，所以A B >，则30B = ，故选：A
4.如图，向量AB a =
，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（
）
A.a b c +-r r r
B.a b c
-+
C.b a c
-+ D.b a c
-- 【答案】C 【解析】
【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.
【详解】由题图可知，c B A b D BC CD AC B CD a -+=+=-+=
.
故选：C.
5.在ABC 中，已知tan A ，tan B 是关于x 的方程2320x x -+=，则tan C =（）
A.3
B.3
- C.1
D.1
-【答案】A 【解析】
【分析】应用韦达定理，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算．【详解】由已知tan tan 3A B +=，tan tan 2A B =，因为,,A B C 是三角形内角，
则()()tan tan 3
tan tan tan 31tan tan 12
A B C A B A B A B π+=--=-+=-=-=--.
故选：A.
6.为了得到函数πsin 25y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）
A.向左平移π
5
个单位长度 B.向左平移
π
10个单位长度C.向右平移π
5
个单位长度 D.向右平移π
10
个单位长度
【答案】D 【解析】
【分析】运用函数图像平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】运用函数图像平移规律“左加右减”,为了得到函数ππsin 2sin 2()510y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向右平移π
10
个单位长度即可.故选：D ．
7.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B A +=，若D 是BC 的中
点，2
AD =，3b =，则c =（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】B 【解析】
【分析】由正弦定理、商数关系得2π
3A =，分解向量得()
12
AD AB AC =
+ ，结合数量积的运算律即可列方程求解.
【详解】因为sin cos 0a B A +=，所以sin sin cos 0A B B A =，
因为sin 0B ≠，所以tan A =，因为0πA <<，所以2π3
A =
，若D 是BC 的中点，则()
12
AD AB AC =+ ，两边平方可得
()
2
213144
c b bc =+-，即2213c b bc +-=，若3b =，则2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）.故选：B.
8.如图，在扇形ABC 中，半径2AB =，圆心角60CAB ∠= ，P 是扇形弧上的动点，过P 作PQ AB
⊥
于Q ，作PR AC ⊥于R ，记PAB θ∠=，()RQ f
θ=，则()f θ（
）
A.在π0,6⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增
B.在ππ,63⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增C.
D.是定值1
【答案】C 【解析】
【分析】由题意()2cos ,2cos 60AQ AR θθ==-
，结合余弦定理，三角恒等变换即可化简求解.
【详解】由题意(
)
2cos ,2cos 60AQ AR θθ==-
，
由余弦定理有()RQ f θ==
=
=
=
π
3θ=<<，
故ABD 错误，C 正确.故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键在于得到()RQ f θ==
()2cos ,2cos 60AQ AR θθ==- ，由此即可顺利得解.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列条件能使//a b
的是（）
A.||||
a b = B.a b
=
C.||0
a = D.(2,4)a =-r ，(2,0)
b =
【答案】BC 【解析】
【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项.【详解】对于A ，向量模相等不一定能保证向量共线，故A 错误；
对于B ，a b =
能保证向量共线，且它们的模也相等，故B 正确；
对于C ，||0a = 等价于a
是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C 正确；
对于D ，不存在任何实数λ使得a b λ= ，即方程组2240λ
-=⎧⎨=⎩
不可能成立，这意味着,a b 不能共线，故D
错误.故选：BC.
10.已知函数()πsin 24f x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，下列四个结论中，正确的有（）
A.函数()f x 的最小正周期为π
B.函数()f x 的图象关于直线π8
x =对称C.函数()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫
⎪⎝⎭对称 D.函数()f x 在π3π,88⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增【答案】AD 【解析】
【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.【详解】函数()πsin 24f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，最小正周期2π
π2T ==，A 选项正确；由()ππ2πZ 42x k k -
=+∈，解得函数()f x 的图象的对称轴方程为()3ππ
Z 82
k x k =+∈，当0k =时，得函数()f x 的图象关于直线3π
8
x =对称，BC 选项错误；
π3π,88x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
是正弦函数的单调递增区间，所以函数()f x 在π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 选项正确.故选：AD
11.下列结论正确的是（
）
A.()()
()
2
2
cos cos sin sin 22cos αβαβαβ+++=++B.
21cos 2tan 1cos 2θ
θ
θ
-=+C.若4sin 25θ=
，则44
9sin cos 25
θθ+=D.22sin()sin()sin sin +-=-αβαβαβ【答案】BD 【解析】
【分析】A.利用平方关系和两角和的余弦公式求解判断；B.利用二倍角的余弦公式求解判断；C.利用平方关系和二倍角的正弦公式求解判断；D.利用两角和与差的正弦公式求解判断.
【详解】A.由平方关系和两角和的余弦公式得：()()()2
2
cos cos sin sin 22cos αβαβαβ+++=+-，故错误；
B.
()()
2
2
2112sin 1cos 2tan 1cos 212cos 1
θθθθθ---==++-，故正确；C.若4sin 25
θ=，则()
2
4422
222117
sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2225
θθθθ
θθθ+=+-⋅=-=，故错误；
D.()()2
2
sin()sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ+-=-，
()()
222222sin 1sin sin 1sin sin sin αββααβ=---=-，故正确；
故选：BD
12.若平面向量a ，b ，c
满足||1a =r ，||1b = ，||3c = ，且a c b c ⋅=⋅ ，则（
）
A.||a b c ++
的最大值为5 B.||a b c ++
的最小值为2C.||a b c -+
D.||a b c -+
的最小值为2
【答案】AC 【解析】
【分析】由题意得,,a c b c =
，从而引入参数[],,,0,πa c b c θθ==∈ ，使得
()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθθθ===--=-
满足题意，将向量的模用复合型三
角函数表示即可求解.
【详解】若平面向量a ，b ，c
满足||1a =r
，||1b = ，||3c =
，且a c b c ⋅=⋅
，
则3cos ,3cos ,a c b c = ，即cos ,cos ,a c b c =，,,a c b c =
，
不妨设[],,,0,πa c b c θθ==∈
，
()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθθθ===--=-
，所以()2cos 3,0a b c θ++=+
，2cos 3a b c θ++=+ ，()3,2sin a b c θ-+=
，a b c -+= ，
因为[]0,πθ∈，所以cos ,sin θθ的取值范围分别为[][]1,1,0,1-，
所以2cos 3a b c θ++=+
，a b c -+= 的取值范围分别为[
]1,5,⎡⎣，
故AC 正确，BD 错误.故选：AC.
【点睛】关键点点睛：关键是设出()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθ
θθ===--=-
，
结合三角函数性质以及模的计算公式即可顺利得解.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，且三个顶点坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(2,2)D ，则顶点C 的坐标为_________.【答案】5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】由题意2AB DC =
，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意2AB DC =
，设顶点C 的坐标为(),x y ，则()()1,2,2,2AB DC x y ==--
，
所以()()122222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得523x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，所以顶点C 的坐标为5,32⎛⎫
⎪⎝⎭.
故答案为：5,32⎛⎫
⎪⎝⎭
.14.
若sin 2αα=，π,02α⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则tan α=_________.
【答案】1-【解析】
【分析】变换得到2sin cos ααα=，确定π
4
α=-
，计算得到答案.
【详解】sin 22sin cos αααα==，因为π,02α⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，
2sin 2
α=-
，则π4α=-，故tan 1α=-.故答案为：1-.
15.已知a ，b ，c 均为单位向量，且满足3450a b c ++=
，则cos ,b c = _________.
【答案】4
5
-##0.8-【解析】
【分析】由题意453b c a +=-
，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解.【详解】由题意453b c a +=- ，所以162540cos ,9b c ++= ，解得4
cos ,5
b c =- .
故答案为：45
-
.16.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22a c a b -=-，且1b =，则C =_________，ABC 面积的取值范围为_________.
【答案】①.
π
3
②.,82⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】在锐角ABC 中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a 表示c ，再根据ABC 是锐角三角形得到a 的范围，然后利用三角形的面积公式求解.
【详解】解：在锐角ABC 中，22a c a b -=-，且1b =，
由余弦定理得：2221
cos 22
a b c C ab +-==，解得π3C =；
由余弦定理得22222cos 1c a b ab C a a =+-=+-，
因为ABC 是锐角三角形，所以222222
0a c b c b a ⎧+->⎨+->⎩，即22020
a a a ⎧->⎨->⎩，解得1
22a <<，
所以1sin 2482ABC S ab C ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，
故答案为：
π3，,82⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
四、解答题：共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知1e ，2e
是两个不共线的向量.
（1）若1232AB e e =- ，124BC e e =+ ，1289CD e e =-
，求证：A ，B ，D 三点共线；
（2）若122e e λ+ 和12e e λ+
共线，求实数λ的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2
λ=±【解析】
【分析】（1）求出BD ，找到使AB BD λ=
成立的λ即可证明；
（2）通过平行，必存在实数k 使()
12122k e e e e λλ=++
，列方程组求出实数λ的值.
【小问1详解】
()
121212489128BD BC CD e e e e e e =+=++-=- ，
又1232AB e e =- ，
4AB BD ∴= ，AB ∴ //BD ，又AB BD B = ，
∴A ，B ，D 三点共线；
【小问2详解】
向量122e e λ+
和12e e λ+
共线，
∴存在实数k 使()
1212122e e ke k e k e e λλλ++==+
，
又1e ，2e 是不共线，21k k λλ=⎧∴⎨=⎩
，
解得2
2
λ=±
.
18.已知cos α5
=
，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：
（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】（Ⅰ）2
10
；（Ⅱ）4π．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，，，∴α﹣β∈（2π-
，2
π），
∵cos 5
α=
，()sin 10αβ-=，
∴sin α255==
，cos （α﹣β）31010
=，∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α
310510252
10510510
=
⨯-⨯=
，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sinαsin （α﹣β）
5105102
=
⨯+=
，又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.19.已知函数ππ()sin sin cos 66f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+
+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，a =
5b c +=，
求ABC
的面积S .
【答案】（1）π4π[2π,2π](Z)33
k k k ++∈
（2）2
【解析】
【分析】（1）运用两角和差的正弦公式，辅助角公式化简，整体代入求出单调减区间；
（2）求出角度π3
A =
，后运用余弦定理，借助已知的方程，联立求出6bc =，最后用面积公式求解即可【小问1详解】ππ()sin sin cos 66f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，运用两角和差正弦得到，3131
()sin cos sin cos cos cos 2222
f x x x x x x x x =++-+=+,运用辅助角公式得到，π()2sin(6f x x =+
.令ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，解得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈.故()f x 的单调递减区间为π4π[2π,2π](Z)33
k k k ++∈【小问2详解】
()2f A =，则π()2sin()26
f x A =+=，即πsin()16A +=，(0,π)A ∈，则π3A =.由余弦定理知道2222cos a b c bc A =+-，即227b c bc =+-.（∗）
而5b c +=，两边平方得到22225b c bc ++=与（∗）联立得到6bc =.
故ABC 的面积11333sin 62222
S bc A ==⨯⨯=.20.如图，
在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，33BC AD ==，AB BC ⊥，点E 为CD 的中点，BE 与AC 相交于F .
（1）当2AB =时，求BE AC ⋅
；
（2）设BF BE λ= ，求λ的值.
【答案】（1）4
（2）67
【解析】【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到()()2,1,3,2BE AC ==- ，结合数量积的坐标表示即可得
解；
（2）分解向量得232
BF BC BA λλ=+ ，结合三点共线的推论即可列方程求解.【小问1详解】
因为AB BC ⊥，
所以以点B 为坐标原点，,BC BA 所在直线分别为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
若2AB =，33BC AD ==，则()()()()()0,0,0,2,3,0,1,2,2,1B A C D E ，
所以()()2,1,3,2BE AC ==- ，
所以()23124BE AC ⋅=⨯+⨯-= ；
【小问2详解】
设2AB a =，20a >，则()1,2D a ，()3,0C ，()0,2A a ，
则()2,E a ，()3,0BC = ，()0,2BA a = ，()
2,BE a = 由题意()()()()222,2,3,00,23232BF BE a a a BC BA λλλλλλλλ====+=+ ，因为,,A C F 三点共线，所以2132
λλ+=，解得67λ=.21.已知函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，||2ϕπ<）的一个最高点的坐标为π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的解析式；
（2）将()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的
1ω（0ω>）倍，纵坐标不变，得到()g x 的图象，且()g x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上至少有2个零点，求ω的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当ω取得最小值时，对12π2π,,515x x ⎡⎤∀∈-
⎢⎥⎣⎦，都有212()()2g x g x t t -≤+成立，求t 的取值范围.
【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
（2）5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（3）(][)
,31,-∞-⋃+∞【解析】
【分析】（1）由题意得关于,A ϕ的方程组即可求解；
（2）首先得()g x 表达式，进一步根据已知条件列出关于ω的不等式组即可求解；
（3）首先求得()g x 的最值，进而得关于t 的不等式即可求解.
【小问1详解】由题意ππ2,22π,Z 122A k k ϕ=⨯
+=+∈，又||2ϕπ<，所以π2,3A ϕ==
，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；【小问2详解】由题意()()π2sin 2,03g x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()41πππ2,333x ωω+⎡⎤+∈⎢⎣⎦
，()g x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上至少有2个零点，则()41π2π30ωω⎧+≥⎪⎨⎪>⎩，解得54ω≥，所以ω的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】
ω的最小值为54，即()5π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，因为当π2π,515x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5ππ2π,2363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()()max min 2,1g x g x ==-，
所以12()()g x g x -的最大值为3，故223t t +≥，()()310t t +-≥，
解得：1t ≥或3t £-.
22.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，
并修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），其中AB =
2AD =千米，BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．设BAD θ∠=，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．
（1）当sin 5
θ=时，求：①小路AC 的长度；②草坪ABCD 的面积；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．【答案】（1）5AC =，17
2ABCD S =
（2【解析】
【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得；
（2）借助θ表示出ABD S 及BCD S △后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得.
【小问1详解】
由sin 5θ=，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 5θ==-，由余弦定理可得2222cos 54413BD AB AD AB AD θ=+-⋅=++=，
即BD CD ==sin sin AB BD ADB θ=∠，
即25213sin sin
513AB ADB BD θ∠=⋅==，
则π213cos cos sin 213ADC ADB ADB ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭
，
故有2222cos 413222513AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故5AC =，2211125117
sin 2222522
ABCD ABD BCD
S S S AB AD BD θ=+=⋅+=⨯+⨯= ；【小问2详解】1sin
2
ABD S AB AD θθ=⋅= ，2222cos 549BD AB AD AB AD θθθ=+-⋅=+-=-
，
故21922
BCD S BD θ==- ，
则()995sin 22ABCD ABD BCD S S S θθθϕ=+=
+-=-+ ，
其中sin 5
ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当π2θϕ-=，
即πcos cos sin 25
θϕϕ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝⎭时，草坪ABCD 的面积最大，
此时2
9175BD ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭，
即此时小路BD .。