二次根式知识点详解与精点训练

次根式
知识点一：二次根式的概念
形如■ J （口工〔）的式子叫做二次根式。

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须 注意：因为负数没有平方根，所以 “「一】是、・J 为二次根式的前提条件，如 ， 1，
■*' 1
■■ ■''等是二次根式，而 J ， 等都不是二次根式。

知识点二：取值范围
1.
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当
a ± 0时，■二 有意义，是二
次根式。

所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.
二次根式无意义的条件： 因负数没有算术平方根， 所以当a < 0时，■丿没有意义。

知识点三：二次根式
（二二】）的非负性
•“（：工〕）表示a 的算术平方根，也就是说， （山工'■）是一个非负数，即■■』 三
0 ( * —)。

…三0「）这个性质和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多, 如若 G ••八 ,则 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，则 a=0,b=0 ;若
,则
a=0,b=0 。

1、不同点”与表示的意义是不同的，，'表示一个正数 a 的算术平方根的平
方，而：
表示一个实数a 的平方的算术平方根；在、… 中二--，而弋‘中a 可以 是正实数，0,负实数。

因而它的运算的结果是有差别的,
if
知识点四：二次根式（■'）
的性质
(■—;)
知识点五：二次根式的性质 知识点六：与「：一 即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

-a （YOj
= |of| =
的异同点
2、相同点：都是非负数，即 — L 。

当被开方数都是非负数，即L . - L 时,
知识点七：二次根式的运算
(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术平方根代
替，从而移到根号外面； 如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式
到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
Vab = 4a •b ( a >0 b >0 ；
(4) 有理数的加法交换律、结合
律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.
本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有
.2 1.414; .3 1.732; ,5 2.236 ; 、7 2.646
【主要题型】 二次根式有意义的条件:
例：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。

g 2X
；(2)，' 1()L ；
练习：
1•当X 是多少时，下列程式在实数范围内有意义？
\ 3x 1、
\ 2x 3 + —1—、~—X —3 +x 2、... x 2
, 1 2x
x 1 x
2.使式子(x 5)2有意义的未知数x 有()个.
A . 0
B . 1
C . 2
D .无数
3
. 已知y= 、、2 x + , x 2 +5，求—的值.
y
4.
若'-3 x + J x 3有意义，则J x =
.
5. 若' m 1
有意义，则m 的取值范围是 。

最简二次根式
例：把下列各根式化为最简二次根式:
(1) .. 96a 3b a 0, b 0
分析：几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式， 首先要将其化为最简二 次根式。

分母有理化：
例：把下列各式的分母有理化：
它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因式，如
•- 5 ■. 3与.5 . 3均为有理化因式。

化简与求值:
例1 ：计算:
⑵一 15
1
V2
分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容， 必须掌握，要特 别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

例2:化简:
1 3 75
（1）
2；2；
（2）
2、3 .2 ；
分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘, (2)
,250 25a 2b 3 121c 4 a
0, b 0
分析：（1 ）被开方数的因数是整数，因式是整式; 因数或因式。

同类二次根式：
（2 ）被开方数中不含能开得尽方的
例：判断下列各组根式是否是同类根式:
(1)
175；
：316；3：854
如果
.2 与-2，
例3 :化简
(1) •. st 3 s 0
⑵ *6 2 x 46
3
-■! 3 2
3 ■■ ■ 2
3 3
例4:已知：a
， b
求：ab a b 的值。

2 2
分析：如果把a ，b 的值直接代入计算a 3，b 3的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，
考虑到
3 辽与、、2互为有理化因子可计算a b , a • b ,然后将求值式子化为
a b 与a • b 的形式。

在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径， 提高运算能力。

类似的解法在许多问
题中有广泛的应用，应有意识的总结和积累。

比较大小
(1) 根式变形法 当 a 0, b 0时，①如果a b ，则a J b ；②如果a b ,
则a , b 。

例：比较3.5与5.3的大小。

(2) ------------------- 平方法 当a 0,b 0时，①如果a 2 b 2，则a b ；②如果a 2 b 2，则
a b 。

例：比较3 2与2、、3的大小。

(3) --------------------------- 分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

a 4
b (1)
a 2 b
a 4 . a
b 4b
分析：应注意
—2 1 )式 a 0, b 0 ,所以 a ,a , b -2
b , a 4b 可看作
2
可利用乘法公式来进行化简, 使运算变得简单。

2 1
例：比较与的大小。

V3 1 V2 1
(4) ---------------------------- 分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例：比较,15 14与.14 ,13的大小。

(5) 倒数法
例5:比较.7
,6与/6 ,5的大小。

(6) ------------------------ 作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
① a b 0 a b :② a b 0 a b 例：比较―2 1与―2的大小。

V3 1 V3
(7) 求商比较法
它运用如下性质：当 a>0， b>0时，则：
a
a
①
1 a b ;
②
1 a b
b
b
例：比较5 .3与2 一3的大小。

规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程:
证;
针对上述各式反映的规律，写出用 n(n >2且n 是整数)表示的等式，并给出验证
过程•
发展：已知 . | -
- i. I ，则a=
1十爲运十曲右十2 的9十10 10+ a
尸一1
23
-1
(1) (罗— 3)+3 _ 加罗—卄+3
32-1
=
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
3?—1
(2) 例2. 已知
，则a=
2
2-F-，
*
3+|
(2° —2) + 2 2(2a -l)+2 验证：］
验证匚
8
j 二；
8
的变形结果，并进行验
例4、已知a>b>0, a+b=6 -、05，则丄?
b
的值为（）A .丄2
梟伍 2
例5、甲、乙两个同学化简 八二：时，分别作了如下变形:
y/h
■ = • = ： r ■
石-靠 〔需-亦j 需+诙） '
'
躬_ b 屉—梟■ c 局-屈“尽_
（赳-b ） _ 其中（）
2.（安徽）化简4 2 3•计算J 的结果是
4. 化简:
（1） -.9的结果是
；(2)( 08,南京)
J2
■ 3的结果是
B . 2
C . 2
a-b
A.甲、乙都正确
在实数范围内因式分解：
B.甲、乙都不正确
C.只有甲正确
D.只有乙正确
2
(1) 2x - 4 4
2
(2) x - 2x — 3.
综合应用：
如图所示的Rt △ ABC 中, 点A 移动；同时，点Q 也从点
△ PBQ 的面积为35平方厘米？ / B=90。

，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/秒的速度向 B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动.问：几秒后 PQ
的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表 示）
【基础训练】
1 化简：（1） 72
(2) . 252 242
(3) 6 12 18
(4) . 75x 3y 2 (x 0,y 0)
(5)
20 -4
A .2
B.± 2
C. -2
D.
(3) 5罷 J8)= _________________ ; ( 4)( 08,黄冈)5仮-2你=_
5 •计算 8
、2的结果是
A 、6
B 、： 6
C 、2
D 、
2
6. .3的倒数是 ____________ 。

7. 下列计算正确的是 A •
'厂 B • ； T C •心 厂
8. 下列运算正确的是 A 、 1.6
0.4 B 、 1.5 2 1.5 C 、 .. 9 3
9. 已知等边三角形 ABC 的边长为3 <3，则△ ABC 的周长是
10. 比较大小：3 _________ 、10。

11. 使.x 2有意义的x 的取值范围是 12.
若式子 x 5在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
1 x — 2
A.x>-5
B.x<-5
C.x M -5
D.x > -5
13.函数.V - x-1
中，自变量工的取值范围是
14.下列二次根式中,
x 的取值范围是x >2的是
15. F 列根式中属最简二次根式的是 A. . a 2 1 B. C. .8
D. ,27
16. F 列根式中不是最简二次根式的是 A . .10 -6
D . • 2
17. F 列各式中与
是同类二次根式的是
18. B. ■/
C .
V s
F 列各组二次根式中是同类二次根式的是 A . 、12
与
B . .18与.27
D . ■ 45与 54
.2 — x
B 、 ,'x+2
19.已知二次根式 J "'：与心:是同类二次根式，则的a 值可以是
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
20.若 x . a 、b, y .a > b ,
则 xy 的值为
A . 2 . a
B . 2 . b
C . a b
D . a b
21•若 a 2
、b 3
2
0，则a
b
1 1
22.计算：
(1)〔4 石一 4耳斤十 3 乞 2
(2) +—-
\^32
V 2
5 Y 2
23
.先将啓「弋d 化简，然后自选一个合适的值，代入化简后的式子求值。

【拓展训练】
-、分式，平方根，绝对值; 1. va 2
(JR 2成立的条件是 ___________________
2.当a _________ 时，宴 1 ；当a ____________ 时，=1。

a a
4.把x 1； x 1!根号外的因式移入根号内，结果为 一
化简：•. a 2 . b 2 , (a b)2
il 二 ------------- 1
b
-1
1
3 •若a 2
a ，则 a ；若、；a 2 a ，贝U a _________
(3)
5. _______________________________________________ 把-3 !a根号外的因式移到根号内，结果为___________________________________________
6. x v y，那么化简y x J(Xy)^ 为__________________
10. _________________________________________ 若a+划4b与73a+ b是同类二次根式，则a= _______________________________________ , b= _____
11. _____________________________________ 求使aF为实数的实数a的值为。

二、根式，绝对值的和为0 ；
I I I 2
1.若J(a 5)2 J(2b 3)2=0,则Jab = ____________
2.如果.a2 2ab b2 a 3 0求b 2a的算术平方根。

6. 在厶ABC中，a, b,
c为三角形的三边，则(a b c)22c
7.已知y J 8x 、8x 1 -,求代数式X y 2 x
2 F yx \ y
8.如果y-+ Jjr 4 2,^ y 2工+ y= ____________ 三、分式的有理化
1已知x=f+ 尸弋亍，求x2—y2的值。

5.已知x ..3 2
3 2，
求下列各式的值;
a b= --------------
y 2的值。

x
2 2
x 3xy 2y x 2y
② x3 y3；
四、整数部分与小数部分
1后的整数部分是 __________ ，小数部分是________ 。

A A K
4•已知x ---------- - , x的整数部分为a，小数部分为b，求------------ 的值。

2 <
3 a b
五、根式，分式的倒数;
1 1
1. 已知x+ - =4,求x—-的值。

X X
3.若■- ；" ■"'…_ ［的值;
六、转换完全平方公式；
2 2 \ — b
1•已知a b 4a 2b 5 0，求的值
J 3b 2 寸a
3•已知x, y是实数，—.亠亠“ 八一订，若axy-3x=y，求a的值;
5、已知0 v x v 1,化简：J(x —)2 4 —J(x ―)24
\ x V x
6、化简:
1、 5 2 5 •、2
2
111 1
2、计算 .. ................... 的结果是 ----------
1 v'3 V 3 寸 5 V 5 v'7
J2n 1 p'2n 1 4、 已知 a b 2 3 , b c 2
. 3，那么 a 2 b 2 c 2 ab be ac 的值是 5、 已知x y 、，9\/5 v'2 , x y
2 v 5那么xy 的值是 _____________ 6、已知x y ,5, xy 丄，求x 2 xy y 2的值
2 七、技巧性运算
______ ???
.3 4 --- 1 .8 .9。