衍生品定价的方法

v 我们曾经计算过此题的q=0.7564，这样通过连锁法我 们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值，比 如时刻2最下方节点的连锁法值为
v e-0.05(10.9×0.7564+27.1×0.2436)=14.12 v 由于是美式期权可以选择立即执行，立即行权期权值为： v 100-81=19 v 我们要对比这两个值取最大值作为美式期权此节点处的
v 解：由
可知
v 解得
。
v 于是由
，可知期权的合理价格为
衍生品定价的方法
资产组合复制
v (1)执行价格为$48的看涨期权，U=7，D=0，故 v (2)执行价格为$53的看涨期权，U=2，D=0，故 v (3)执行价格为$45的看跌期权，U=0，D=5，故
衍生品定价的方法
资产组合复制
v 除了风险中度概率q外，还需要大家熟悉一个量就是德尔 塔量，它被定义为
票只可能以u因子增长，以d的因子下降。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 故我们可以得到二期股票二叉树图
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 由于ud=du，故我们可以将刚才的二叉树简化：
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结 果都有一个特定的价格。三种可能的价格是U、M和D，
上是，资产组合经理就会以15000点买入日经225指数
的看涨期权，这样的看涨期权只有在美元兑日元汇率低
于79时才算敲出。
衍生品定价的方法
障碍期权的应用
v 对冲基金，卖空标的资产同时买入该资产的障碍期权， 障碍的期权价格比较低，当标的资产价格突破障碍时， 他们就会大幅获益。
v 美林证券出售给一个某基金公司债券的敲入期权，债券 涨到一定价格时期权就会生效。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 股票价格二叉树为：
衍生品定价的方法
二叉树模型
v u=1.1，d=0.9 ，r=0.12 ，Δt=0.25 v 于是 v 则B点处期权价值为：
衍生品定价的方法
二叉树模型
v C点处期权价值为0，故A点处期权价值为 v 也可以根据我们之前推导的公式，一步求得
衍生品定价的方法
v V=期权的价格；S=股票的价格。 v 构造资产组合Π：a股股票的期权和b股股票则： v Π0=aV+bS v 上升状态： Π1=（120-105）a+120b v 下降状态： Π1=a×0+90b
衍生品定价的方法
博弈论方法
v 选择a和b，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们 就有：
v （120-105）a+120b=a×0+90b v 从上式可得15a=-30b，我们可以作出a=-2，b=1的投资选
欧式看跌期权
v 例 一个2年期欧式股票看跌期权，执行价格为52，当前 股价为50。我们假设价格为两步二叉树，每个步长为1 年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比例上升20%， 或者按比例下降20%，若无风险利率为5%，求此期权 的价格。
衍生品定价的方法
v 我们求得 v故
欧式看跌期权
衍生品定价的方法
包赚不赔的。 v 故在无套利假设下数值q是满足概率条件的，我们称其为
风险中度概率。于是
衍生品定价的方法
风险中度概率
v由
v 可得
。
v 此公式也可以由下图理解： Su
S0 Sd
衍生品定价的方法
资产组合复制
v 例：股票现在的价值为$50，一年期利率为4%，一年 后股票的价值可能是$55或$40。试问下列衍生品的合 理价格：(1)执行价为$48的看涨期权； (2)执行价为 $53的看涨期权；(2)执行价为$45的看跌期权.
衍生品定价的方法
练习
v 一年后若股价下跌到50美元，则他的资产价值为
v 在做了对冲之后，不管股票价格涨跌，他都会得到一个 正的收益，原因是什么？
v 交易商会为自己赚得佣金，他通常不会以“合理”价格 出售或购买期权。可能以6.35美元的报价卖出看涨期权， 却以6美元的报价买入看涨期权。
衍生品定价的方法
衍生品定价的方法
资产组合复制
v 将上面表达式中的含有U的项和含有D的项分开，则衍生 品价格为：
v 忽略指数项，则U的系数是 v 而D的系数恰好为 v 故衍生品价格可记为
衍生品定价的方法
风险中度概率
v 对于 v 现在我们来考虑q的取值范围： v 若q<0，则e-rtS0<Sd，此时买进该股票是包赚不赔的。 v 若q>1，那么1-q<0，则Su<e-rtS0，此时卖空该股票是
v （2）风险中度概率 v 期权价格
衍生品定价的方法
v 他应购入
练习
股股票，其中
v 交易商用3 000 000美元买入50 000股股票，出售期 权得635 000美元，则他需借入
v 3 000 000- 635 000=2 365 000美元 v 2 365 000×e0.048=2 481 288.6美元 v 一年后若股票上涨到80美元，则他的资产为
分别对应股票价值u2S0、 udS0和d2S0。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 如何确定衍生品的价格V0？关键是找到衍生品在第一期 的价格，假设分别为X和Y。
v 那么我们可以利用前面讨论的结果先给出X和Y的值，从 而确定V0 。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 例 假设开始时，股价为$20，在两步二叉树中的每个单 步二叉树中，股票价格将上升10%或是下降10%。我 们假设每个单步二叉树的时间步长是3个月，无风险年利 率为12%。问执行价格为$21的欧式看涨期权的价格为 多少？
降的概率为1-p。 uS0
S0 dS0
v 相应地，期权价值分别为Vu和Vd。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 由前面讨论的
，我们有
。
v 从而
。
v 故对于单期的情形期权的合理价格是可以确定。
v 下面我们讨论多期二叉树，首先先考虑二期的情形：
v 为了研究问题方便，我们假设股票从第一步的两个状态
的一个开始，继续保持与第一步相同的规律变动。即股
v 若交易商以6.35美元/股的价格售出了100000股的看 涨期权，他会持有一个风险很大的头寸。他决定通过购 买股票对冲风险。他该买多少股票？一年后他会面临怎 样的状况？
衍生品定价的方法
练习
v 解 先画出股票价格和期权价格的示意图：
v 根据前面讨论的两种方法有： v （1）
衍生品定价的方法
练习
择，此时有 v Π0=-2V+1×100 v Π1=- 2×15+1×120=90 v 由于1.05Π0= Π1，故100-2V=90/1.05，即V=7.14.
衍生品定价的方法
博弈论方法
v 假设交易商愿意以$7.25的价格出售（或购买）期权。 博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。
v 我们的策略：买入1股股票，卖出2股期权 v 该头寸的成本为 v 100-7.25×2=85.5 v 我们借入$85.5进行投资，一年后冲销该头寸得$90，
欧式看跌期权
v 采用逐步回推的方式也可得到类似的结果，股票期权的 二叉树为：
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 还是刚才的例子，若为美式看涨期权应该如何定价？方 法是从树图的末端向开始的起点倒推计算，在每个节点 检验提前执行是否最佳，期权价值是如下两者中较大的：
v 1、后继两点的期权价值期望的本节点现值； v 2、提前执行的收益。 v 我们将前面的例子按照美式期权计算，可以得到下面结
价值，也就是19美元。
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 总结一下刚才的过程，也就是说对于每个节点我们会得 到下面的图：
v 刚才例子的具体数值为：
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 对所有的节点都进行相应的计算，得
衍生品定价的方法
奇异期权
v 障碍期权（barrier option ）分为敲出期权和敲入期 权。
在一年以后，股价可以是$90或$120。概率并未给定。 即期利率是5%。一年后到期的执行价格为$105的股票 期权的公平价格是多少？ v 下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是： 博弈论方法、资产组合定价法。
衍生品定价的方法
博弈论方法
v 在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只 能是两种特定价格中的一个。将现在视为0时刻，到期日 视为1时刻，本例中假设1时刻股价为$120或$90.
衍生品定价的方法
资产组合复制
v 假设股票在0时刻为S0，该股票在t时刻有两种可能价格：
Su
U
S0
V0
Sd
D
v 构造资产组合Π：a单位的股票和b单位的债券，来复制
期权，由于
v 上升状态：Πu=aSu+bert=U v 下降状态：Πu=aSd+bert=D
衍生品定价的方法
v 于是有：
资产组合复制
v 于是衍生品的定价公式为： v即
论。
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 股票期权二叉树
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 例：为一美式看跌期权定价，S0=$100，X=$100， u=1.1，d=0.9，r=0.05，期权到期时间为t=3.
v 解：先给出此股票的价格二叉树
衍生品定价的方法
v 期权二叉树
美式期权定价
衍生品定价的方法
美式期权定价
v 该值正是博弈论方法中出现的a。 v 在投资决策过程中，德尔塔量的含义是用来对冲一股期
权的标的股票数量。
衍生品定价的方法
练习
v 假设某股票现价为60美元，一年后该股票可能涨至80美 元，也可能跌至50美元。若有一交易商要推出执行价为 65美元、一年后到期的看涨期权。无风险利率为0.048。 求期权的合理价格。
二叉树模型
v 二叉树模型（J.C.Cox，S.A.Ross & M.Rubinstein.1979）
v 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt，并假设在 每一个时间间隔Δt内证券价格只有两种运动的可能。
衍生品定价的方法
二叉树模型
v 1、从开始的S0上升到原先的u倍，即到达uS0； v 2、下降到原先的d倍，即到达dS0。 v 我们进一步假设u>1且d<1，价格上升的概率为p，下
V0
Sd
D
我们通过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。
故资产组合的初始弈论方法
v 选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关， 于是
v 上升时：Πu=U-aSu v 下降时：Πd=D-aSd v 令Πu=Πd得：U-aSu=D-aSd v故 v 而Π0=V0-aS0， Π1=U-aSu v 于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt
v 我们考察一个欧式看涨敲出期权，3年后到期，执行价格 是$105，在价格为$95美元处设一个障碍，即一旦股 票价格低于$95，那么无论其到期的价格是多少，该期 权都不再有任何价值。
v 其他条件和刚才是一样的，即S0=$100，u=1.1， d=0.9，r=0.05。
衍生品定价的方法
奇异期权
v 我们可以绘出股票价格的二叉树图，并在价格$95处画 一条虚线作为障碍：
故我们得到利润为： v 90-85.5×1.05=90-89.775=0.225 v Q:交易商以$7的价格出售（或购买）期权，交易策略？
衍生品定价的方法
博弈论方法
v 假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为Su，那么衍生 品价格为U；股票处于下跌的状态时价格为Sd，那么衍 生品价格为D。
Su
U
S0
v 障碍的设置接近正常价格时，敲出期权价格（较普通期 权）的贴水越多。
衍生品定价的方法
障碍期权
v 一般来说，障碍期权是以同一种资产的价格同时作标的 资产价格和障碍价格的期权，这样的叫“内部”障碍期 权；
v 也有障碍期权的障碍价格与标的价格不同的，这样的叫 “外部”障碍期权。
v 比如，在日本证券市场上，当美元兑日元的汇率在80以
衍生品定价的方法
2020/12/6
衍生品定价的方法
Contents
•1
•衍生品定价的方法
•2
•博弈论方法
•3
• 资产组合复制法
•4
• 二叉树模型
衍生品定价的方法
衍生品定价的方法
v 前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的 平价公式（欧式）。
v 一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢？ v 例：（看涨期权的公平价格）有一只股票现价为$100。
衍生品定价的方法
奇异期权
v 时刻3期权的价值为
衍生品定价的方法
奇异期权
v 注意虚线下期权的取值，其它计算和前面是类似的仍然 用回推的方式得期权价格二叉树图为：
衍生品定价的方法
障碍期权
v 刚才求出的障碍期权和之前我们求过的普通欧式期权相 比，价格发生了怎样的变化？你认为这种变化是否合理？
v 障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。 敲出 期权是这当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该 期权作废； 敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特 定障碍水平时，该期权才有效。