高中数学第一章解三角形章节ABC专题训练新人教A版必修5

10． 4
即 b2
2
c
2
a
bc , cos A
1 ， A 120 ．
2
AC
BC
AB AC BC ,
AB , AC BC
sin B sin A sin C sin B sin A sin C
2( 6
2 )(sin A sin B ) 4( 6
AB
AB
2 ) sin
cos
2
2
AB 4 cos
2
4, ( A C B C ) m ax
9．在 A B C 中，若 sin 2 A
2
sin B
sin B sin C
sin 2 C ，则
A
____ ．
10．在 A B C 中， AB
6
2 , C 30 ，则 A C B C 的最大值是 ________．
62
3．在 A B C 中，若 a 3 , b 2 , c
，则角 A 的大小为（
）．
2
4．
11．证明：将 cos B
2
2
2
acb
， cos A
2 ac
2
2
2
b ca
代入右边
2bc
得右边
2
2
2
a cb
c(
2 abc
2
2
2
bca
)
2 abc
2
2
2a 2b
2 ab
2
2
ab
ab
ab 左边，
ba
ab
cos B cos A
∴
c(
)
ba
b
a
12．（ 1）证明：在△
ABC
中，得
2
a
2
2
bc
2bc cos A
）．
A．60°
B．45°
C．30°
D．以上都错
3．在 A B C 中，若 C 90 ，则三边的比 a b 等于（
）．
c
AB A． 2 cos
2
AB
B
． 2 cos
2
C．
A 2 sin
B
2
D
．
A 2 sin
B
2
4．在 A B C 中，若 (b c) : (c a ) : ( a b ) 5 : 6 : 7 ，则 cos B 的值为（
b
1 ，只要 证 a
ac b
bc
2
1，
bc ac
ab bc ac c
即a2
2
2
bc
ab ，
而∵ A B 120 , ∴ C 60 ，
cos C
2
2
2
a b c , a 2 b 2 c 2 2 ab cos 60
2 ab
∴原式成立．
ab ，
14．解： A B C , a b c ，设 a n 1, b n, c n 1 ，
而 a 2 R sin A, b 2 R sin B , c 2 R sin C
2
2
2
(2 R sin A ) (2 R sin B ) (2 R sin C ) 2 2 R sin B 2 R sin C cos A
得 4 R 2 sin 2 A
2
2
4 R sin B
2
2
4 R sin C
2
4 R 2 sin B sin C cos A
1．D sin A sin 2 B 2 sin B cos B , a 2b cos B ．
2．B sin A : sin B : sin C a : b : c ，边 a 为最小边， cos A
2 ．
2
3．B
a b sin A sin B
c
sin C
AB
AB
2 sin
cos
2
2
sin A sin B
cos C ，则△ ABC的形状是 _________．
c
11．在
2
2
ab
ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，证明：
2
c
sin( A B ) ．
sin C
12．在△ ABC 中，若 (a 2 b 2 ) sin( A B ) ( a 2 b 2 ) sin( A B ) ，请判断三角形的形状．
，则最大角的余弦是（
）．
14
1
1
1
1
A．
B．
C．
D．
5
6
7
8
二、填空题
7．在
A B C 中，若
2
a
2
b bc
c 2 ，则角 A _________．
9．在 A B C 中，若 b 2, B 30 , C 135 ，则边 a _________．
sin A 10．在 A B C 中，若
a
三、解答题
cos B b
2R 2R
ab
A B．
8． x y z A B
,A
B , sin A cos B , sin B cos A , y z
2
2
c a b , sin C sin A sin B , x y , x y z ．
9． 120
2
2
2
sin A sin B sin B sin C sin C
2
a
2
b
2
c
bc ，
所以 sin 2 A
2
sin B
2
sin C
2 sin B sin C cos A
（ 2）解； sin 2 20
2
cos 50
sin 20 cos 50
用心 爱心 专心
2
2
sin 20 sin 40
2
sin 120
3． 4
2 sin 20 sin 40 cos120
1．2---1 ．3 应用举例实习作业 [ 基础训练 A 组 ]
2
2
ab
sin( A sin( A
2
B) a ,
2
B) b
sin A cos B cos A sin B
2
sin A ， 2
sin B
cos B sin A
, sin 2 A sin 2 B , 2 A 2 B 或 2A 2 B
，
cos A sin B
∴等腰或直角三角形．
用心 爱心 专心
2
2
13．证明：要证 a
sin 30
20 ，
sin 105
得 M N 10( 6 2 ) ，速度为 20( 6 2 ) 海里 / 小时．
7． 23 45 ， 67 9
使用计算器，注意余角．
8．直角三角形
a 设
sin A
b sin B
则 sin A
a ， sin B
k
b ， sin C
k
c k ( k 0) ，
sin C
c 代入 sin 2 A
sin A sin B
B
，同理 C
4
,A 4
4 6 2． 4
． 2
11．证明：
2
2
ab
c2
2
2
sin A sin B
sin 2 C
cos 2 B cos 2 A 2 sin 2 C
2 sin( A B ) sin( A B ) sin( A B )
2 sin 2 C
sin C
所以命题成立．
2
2
12．解： a b
高中数学（必修 5）第一章：解三角形 果然教育
1 ．1 正弦定理与余弦定理 [ 基础训练 A 组] 一、选择题
1．在 A B C 中，角 A : B : C 1 : 2 : 3 ，则边 a : b : c 等于（
）．
A． 1 : 2 : 3 B ． 3 : 2 : 1 C ． 1 : 3 : 2 D ． 2 : 3 :1
sin A , sin A cos A sin B cos B
sin B
sin 2 A sin 2 B , 2 A 2 B 或 2 A 2 B ．
用心 爱心 专心
6．A cos C
2
2
2
a bc
2 ab
2
5c ， C 为钝角，
4
1 cos C
2
5c 4
0，
5 c 3．
7．对
a
b
由 sin A sin B , 则得
∴ 5 x 13 ．
用心 爱心 专心
10． 3 1
a sin B 2 sin 105 b
sin A
sin 30
6 2，
∴ S ABC
1 ab sin C ( 6
2
2 2)
2
3 1．
11．解： 由正弦定理 sin B b sin A a
用心 爱心 专心
[ 提高训练 B 组] 一、选择题
1．在 A B C 中，若角 A 2 B ，则边 a 等于（
）．
A． 2 b sin A B ． 2 b cos A C ． 2b sin B D ． 2 b cos B
2．在 A B C 中， sin A : sin B : sin C 2 : 6 : ( 3 1) ，则三角形最小的内角是（
4．边长为 5, 7, 8 的三角形的最大角与最小角的和是（
）．
A． 90 B ． 120 C ． 135 D ． 150
5．在 A B C 中，若 (a b c )( b c a ) 3bc ，则角 A 等于（
）．
A． 30 B ． 60 C ． 90 D ． 120
13
6．在 A B C 中，若 a 7, b 8, cos C
AB
2 cos
．
2
4．A 令 b c 5k , c a 6 k , a b 7 k (k 0) ，则 a b c 9 k ，
2
2
2
a c b 11
得 a 4 k , b 3k , c 2k ， cos B
．
2ac
16
5．B
sin A cos B cos A sin B
2
sin A cos B ,
sin 2 B cos A
,B 6
,C 3
, a : b : c sin A : sin B : sin C 2
1 32 : : 1: 3 : 2 ．
22 2
2．A 由余弦定理得： cos
2
2
2
456 1
0 ，且角 最大，∴最大内角为锐角．
245 8
1 3．D b 2 a sin B , sin B 2 sin A sin B , sin A , A 30 ，或 150 ．
n1 则
sin 2 C
n1 sin C
n1 n1
sin 2 C sin C
2 cos C ，
而 cos C
a2 b2 c2 2 ab
(n 1) 2 n2 ( n 1) 2 2( n 1) n
n4 ，
2n 2
n4 即
2n 2
1 n1 2 n1
n 5，
得 a 6, b 5, c 4 ．
1．1 正弦定理与余弦定理 [ 提高训练 B 组 ]
2
sin B
k
2
sin C
2
2
2
ab
得到
2
2
c
2
，∴
2
a
2
b
c 2 ，∴△ AB C 为直角三角形．
kk k
9． ( 5 , 13 )
∵△ ABC 为锐角三角形，∴
cos A 0 cos B 0 cos C 0
2
2
2
23 x 0
32 x2 22 0
且 1 x 5 ，即
2
2
2
x 230
1x5
2
x 13 x2 5 1 x5
7． 120
cos A
2
2
2
b ca
2bc
1 , A 120 ．
2
8． 30
由
2
a
2
b
2
c
得
C
为钝角，即角
A 为锐角．
1 ．
7
9． 6Biblioteka 2 A 15 , a sin A
b ,a
sin B
b sin A sin B
4 sin A
4 sin 15
10．等腰直角三角形
sin A cos B
a
b
sin A cos B 1
A． 30 0
0
B ． 60
C ． 90 0
D ． 120 0
4．在△ AB C 中， A 60 ， C 45 ， b 2 ，则此三角形的最小边长为（
）．
A． 3 1 B ． 2( 3 1) C ． 3 1 D ． 2( 3 1)
用心 爱心 专心
1．1 正弦定理与余弦定理 [ 基础训练 A 组]
1．C A
2
4．B 设中间角为 ，则 cos
2
2
2
587 1
,
258 2
60 ,180 60 120 为所求．
5．B
(a
b
c )( b
c
a)
3 bc , (b
2
c)
2
a
3bc ,
2
2
2
b c a 3bc , cos A
2
2
2
bca
2bc
1 , A 60 ．
2
6．C
2
c
2
2
a b 2 ab cos C
9, c 3 ， B 为最大角， cos B
）．
11
11
9
7
A．
B．
C． D．
16
14
11
8
5．在 A B C 中，若 tan A tan B
2
a 2 ，则 A B C 的形状是（
b
A．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定
）． D ．等腰三角形
6．在钝角 AB C 中，若 a 1, b 2 ，则最大边 c 的取值范围是是（
）．
A． ( 5 , 3) B ． (2, 3) C ． ( 5 , 4) D ． ( 5 , 7 )
a 13．在△ ABC 中，若 A B 120 ，则求证：
b 1．
bc ac
14． 17．在△ ABC 中， ab 60 3 ， sin B sin C ，面积为 15 3 ，求 b 边的长．
在△ ABC中，最大角 A 为最小角 C 的 2 倍，且三边 a, b , c 为三个连续整数，求 a , b , c 值．
2．以 4 、 5 、 6 为边长的三角形一定是（
）．
A．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
3．在 A B C 中，若 b 2a sin B ，则角 A 等于（
）．
D．锐角或钝角三角形
A． 30 , 或 60 B ． 45 , 或 60 C． 120 , 或 60 D ． 30 , 或 150
二、填空题
7．在 A B C 中，若 sin A sin B , 则角 A 一定大于角 B ，对吗？填 _________（对或错）