重庆市第八中学2019年高二下学期期中考试数学试题及答案解析

重庆八中2019-2020学年度度（下学期考试高二年级
数学试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.若复数1i
z i
-=
（i 为虚数单位),则z 的模为( ) A.1
2 C.2
D.2
【参考答案】C
【试题分析】
由复数除法运算可得1i z =--,从而可求出其模. 【试题解答】解:因为()2111i i
i z i i i
--===--,所以2z =故选:C.
本题考查了复数的除法运算,考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时,误将2i 当作1进行计算.
2.已知3
()2sin f x x x =+,则(0)f '=（ )
A.2-
B.0
C.1
D.2
【参考答案】D
【试题分析】
利用求导公式,求出2
()2cos 3f x x x '=+,进而求出(0)f '.
【试题解答】
3()2sin f x x x =+,
2()2cos 3f x x x '∴=+,则(0)=2f '.
故选:D.
本题考查了导数的求导公式,导数的运算法则,属于基础题.
3.若,x y满足约束条件
1
30
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-≤
⎩
,则z x y
=-+的最大值为（ )
A.
1
2
- B.1-
C.1
2
D.1
【参考答案】D
【试题分析】
画出约束条件所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,联立方程组求得最优解对应的点的坐标,代入即可求解.
【试题解答】画出约束条件
1
30
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-≤
⎩
所表示的平面区域,如图所示,
目标函数z x y
=-+,可化为直线y=x+z,
当直线y=x+z过点A时,此时直线y=x+z在y轴上的截距最大, 此时目标函数z取得最大值,
又由
1
30
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
,解得(1,2)
A,所以目标函数的最大值为121
z=-+=.
故选:D.
本题主要考查简单线性规划求解目标函数最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用"一画、二移、三求",确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力.
4.某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章,每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现,每个工人每天制作的合格品个数平均值为300,方差为25,那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为（ ) A.5 B.20 C.25 D.100
【参考答案】B
【试题分析】
合格品个数为x ,利润为y ,从而可得4y x =,由2
25x s =可推出2
y s 的值,进而可求出纯利润的
标准差.
【试题解答】合格品个数
x ,利润为y ,由225x s = 得22516=400y s =⨯,
20y s ∴=.
故选:B
本题考查了标准差的求解.本题的关键是由个数的方差,结合个数和利润的关系,求出利润的方差.
5.已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角,则//m n B.若m 与α所成的角等于m 与β所成的角,则//αβ C.若//m n ,//αβ,则m 与α所成的角等于n 与β所成的角 D.若m n ⊥,则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角 【参考答案】C
【试题分析】
在正方体中,举出反例,可判断四个选项的正确性.
【试题解答】解:A:如图,在正方体中,设下底面为α,点C 为边上中点,此时m 与α所成的角等于n 与α所成的角,其正切值均为2,但m 与n 相交,不平行,则A 错误；
B:如图,在正方体中,设其下底面为α,左侧面为β,此时m 与α所成的角等于m 与β所成的
角均为45︒,但此时αβ⊥,则B 错误；
D:如图,在正方体中,设下底面为α,此时m n ⊥,但m 与α所成的角与n 与α所成的角相等,为45︒,则D 错误.
故选:C.
本题考查了直线与平面所成角,考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题,常结合具体的几何体举出反例说明选项错误,利用排除法选出正确答案.
6.2
()ln f x ax bx x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,则b a -=（ )
A.1-
B.0
C.1
D.2-
【参考答案】D
【试题分析】
求()f x '
,根据导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点,解方程组即可求出,a b . 【试题解答】1
()2f x ax b x
'=++
,在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)21k f a b '==++, 由点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,可得212a b ++=,① 又(1)2120f =⨯-=,所以0a b +=,② 由①②解得1a =,1b =-,所以2b a -=-. 故选:D
本题主要考查求切线的斜率,导数的几何意义,属于基础题.
7.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况,抽查了100名学生,统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示,估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（ )
A.7.2
B.7.16
C.8.2
D.7
【参考答案】A
【试题分析】
由中位数两侧的面积相等,可解出中位数.
【试题解答】因为在频率分布直方图中,中位数两侧的面积相等,所以0.04×2+0.12×2+（x ﹣6)×0.15＝0.5, 可解出x ＝7.2, 故选A .
本题主要考查频率分布直方图,中位数,熟记中位数的计算方法是关键,属于基础题. 8.某平台为一次活动设计了"a "、"b "、"c "三种红包,活动规定:每人可以获得4个红包,若集齐至少三个相同的红包（如:"aaab "),或者集齐两组两个相同的红包（如:"aabb "),即可获奖.已知小赵收集了4个红包,则他能够获奖的不同情形数为( ) A.9
B.10
C.12
D.16
【参考答案】C
【试题分析】
由题意将中奖情况列举出为aabb 型、aaab 型、4个一样,每种情况结合组合的思想即可求出每种情况的数量,将最后结果相加即可.
【试题解答】解:由题意知,aabb 型有233C =种；aaab 型有11326C C =种；4个一样有1
33
C =种,
则36312++=种, 故选:C.
本题考查了计数原理中分类的思想,考查了组合数的计算,考查了排列组合的思想. 9.()()
n
mx x n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x
3
的系数为（ ) A.40
B.30
C.20
D.10
【参考答案】D
【试题分析】
根据二项式系数和求得n ,令1x =,以各项系数和列方程,解方程求得m 的值,再结合二项式展开式的通项公式,求得3x 的系数.
【试题解答】∵(
n
mx +
的展开式中,各二项式系数和为2n
＝32,∴n ＝5.
再令x ＝1,可得各项系数和为（m +1)5＝243＝35,∴m ＝2, 则展开式中的通项公式为T r +15r
C =•m 5﹣r •52r
x -,令52
r
-=3,可得r ＝4, 故展开式中x 3的系数为4
5C •2＝10, 故选:D .
本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和,考查二项式展开式中指定项的系数,属于基础题.
10.重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一,比如洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地.现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览,则每个景点都有人去游玩的概率为（ ) A.
89
B.
49
C.
619
D.
34
【参考答案】B
【试题分析】
基本事件总数4381n ==,每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数23
4336m C A ==,由此
能求出每个景点都有人去游玩的概率.
【试题解答】解:洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地. 现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览, 则基本事件总数4381n ==,
每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数23
4336m C A ==,
则每个景点都有人去游玩的概率为364819
m p n ===. 故选:B .
本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 11.用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架,其顶点为,,A B C ,将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图).若M 是球上任意一点,则四面体MABC 体积的最大值为( )
A.
3
334
cm B.33cm C.333cm D.393cm
【参考答案】D
【试题分析】
由等边三角形的性质,求出ABC 内切圆半径3r cm =
,其面积293ABC
S
cm =,从而可求
四面体MABC 的高max 3h =,进而可求出体积的最大值.
【试题解答】解:设球的圆心为O ,半径为R ,ABC 内切圆圆心为1O ,由题意知ABC 三边长为6cm ,
则ABC 内切圆半径1
cos3033
r AB cm =
⋅⋅︒=,则2211OO R r =-=, 所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223
934
ABC
S
AB cm =
⋅=, 所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933
ABC
V S h cm =
⋅=.
本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.
12.已知双曲线 ()22
22:10x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点,点P 在
双曲线右支上,且()
22·
0PF OP OF +=,若直线1PF 的倾斜角为θ且5
sin 29
θ=,则双曲线E 的离心率为（ )
A.
32
B.3
【参考答案】A
【试题分析】
证明12PF PF ⊥,用θ和c 表示出P 到两焦点的距离,根据三角变换公式即可求出c
a
的值. 【试题解答】解:设2PF 的中点为M ,则22OP OF OM +=, 22()0PF OP OF +=, 2OM PF ∴⊥,
又OM 是△12PF F 的中位线,
1//OM PF ∴, 12PF PF ∴⊥.
又122F F c =,12PF F θ∠=, 12cos PF c θ∴=,22sin PF c θ=,
由双曲线的定义可知122PF PF a -=,即2(cos sin )2c a θθ-=,
1cos sin c e a θθ
∴=
=-, 24(cos sin )12sin cos 1sin 29
θθθθθ-=-=-=, 2cos sin 3
θθ∴-=
, 故32
e =
.
本题考查了双曲线的定义与性质,向量数量积与向量垂直的关系,考查三角恒等变换,属于中档题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.若复数2
(1)z m m m i =+++是纯虚数,其中m 是实数,则z =_____________.
【参考答案】i -
【试题分析】
根据纯虚数的
定义,列出方程组可求出m ,再根据共轭复数的定义,即可求出z .
【试题解答】因为复数z 是纯虚数,所以20
10
m m m ⎧+=⎨+≠⎩,解得0m =,
所以z
i ,所以z i =-.
故答案为:i -
本题主要考查了纯虚数的定义及共轭复数的定义,属于基础题.
14.在()4
1x +的二项展开式中,二项式系数最大的项为______. 【参考答案】26x
【试题分析】
由二项式系数的性质可得,展开式中中间项的系数最大,即最大项为:222
46C x x =
【试题解答】根据二项式展开式的二项式系数的性质得:二项式系数最大的项为展开式的中间项,即
二项式系数最大的项为:222
46C x x =.
故答案为:26x .
主要考查二项式展开式中知识,属于基础题目.
15.A ,B ,C ,D ,E ,F 六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A ,B ,C 三人去询问比赛结果,裁判对A 说:"你和B 都不是第一名"；对B 说:"你不是最差的"；对C 说:"你比
A ,
B 的成绩都好",据此回答分析:六人的名次有_____________种不同情况.
【参考答案】180
【试题分析】
根据裁判所说,对A 的名次分两类:第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C 且C 在B 前面,最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名,根据加法原理即可得到答案.
【试题解答】根据裁判所说,对A 的名次分两类:
第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C ,从前5名中选2两个名次给B ,C 且C 在B 前面有2
5C 种,
最后排D ,E ,F 有3
3A 种,根据分步计数原理,共有23
5360C A =种；
第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ,B 之前有3
2
52C A 种,最后排D ,E ,F 有3
3A 种,根据分步计数原理,
共有323
523120C A A =种；
根据分类计数原理,六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为:180
本题主要考查分类计数原理和分步计数原理,注意对同学A 进行分类讨论,属于中档题. 16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ,准线为l ,弦AB 过点F 且中点为M ,过点F ,M 分别作AB 的垂线交l 于点P ,Q ,若|AF |＝3|BF |,则|FP |•|MQ |＝_____. 【参考答案】169
【试题分析】
利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识,求得FP 和MQ 的长,由此求得
FP MQ ⋅.
【试题解答】如图,作BF ⊥l 于F ,作AE ⊥l 于E ,令准线与x 轴交点为S ,AB 交准线于K . 设BH ＝m ,则AF ＝3m ,
∵
1
3
HB KB AE AK ==,∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 1
22
m m =
=,∴∠HKB ＝30°. ∵23HB m SF m =,∴2
13m =,∴23
m =, ∴|FK |＝2.
∴303
PF FK tan =⋅=
. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333
=
⨯= 则|FP |•|MQ |169
333=
⋅=. 故答案为:
16
9
.
本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数3
2
()(2)1().f x x a x a R =--+∈ (1)当1a =时,求()f x 的单调区间；
(2)若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.
【参考答案】(1) 单调增区间为2(,)3-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3
-；(2) (2,)+∞.
【试题分析】
(1)将1a =代入,求出函数()f x 的解析式,再确定函数()f x 的定义域,利用导数法,即可求出函数()f x 的单调区间；
(2)求()f x '
,求出()0f x '=的根,然后对a 分类讨论,结合0x =是()f x 的极大值点,即可求
出a 的取值范围.
【试题解答】(1)当1a =时,32()1f x x x +=+,函数()f x 的定义域为R ,2
()32f x x x '=+,
令()0f x '>,解得23
x <-
或0x >；令()0f x '<,解得2
03x -<<,
所以函数()f x 的单调增区间为2
(,)3
-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3
-.
(2)由已知得2
()32(2)f x x a x '=--,令()0f x '=得0x =或24
3
a x -=
, 当2a >时,24
03
a x -=
>,
此时0x =是()f x 的极大值点,故当2a >,符合题意.
当2a =时,2
()30f x x '=≥,此时()f x 在R 上单调递增,函数()f x 无极值点,故2a =不符合
题意； 当2a <时,24
03
a x -=
<,
x
24(,
)3a --∞ 24
3
a - 24
(
0)3
a -， 0 (0,)+∞
()f x '
＋ 0
─ 0
＋ ()f x
↗
极大值 ↘
极小值
↗
此时,0x =是()f x 的极小值点,不符合题意. 综上,a 的取值范围为(2,)+∞
本题主要考查利用导数求函数的单调区间,已知极值点求参数范围,属于中档题.需要注意的是:()0f x '=的解要是极大值点,导函数在该点处值需由正变负.
18.如图1,在六边形ABCDEF 中,45//3AB AF DC DE BC EF BC EF ＝＝，＝＝，，＝＝.如图2,将ABF DCE ，分别沿着BF CE ，折起,使点A ,点D 恰好重合于点M .
（1)求证:平面MBF ⊥平面BCEF ；
（2)若2BF ＝,求直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析 (2) 310
16
【试题分析】
（1)推导出BM BC ⊥,FM FE ⊥,由//BC FE ,得BC MF ⊥,从而BC ⊥平面BMF ,由此能证明平面MBF ⊥平面BCEF .
（2)取BF 中点O ,连结MO ,则MO BF ⊥,从而MO ⊥平面BCEF ,且15MO =取CE
中点N ,连结MN ,由5MC ME ==,则MN CE ⊥,且26MN =,设B 到平面MCE 的距离为h ,由M BCE B MCE V V --=,得310
h =
,由此能求出直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【试题解答】解:（1)证明:由已知45AB AF DC DE ＝＝，＝＝,得
453BM CM BC ＝，＝，＝, BM BC ∴⊥,同理,FM FE ⊥,
又//BC FE BC MF ∴⊥，，
BM
MF M =,BM ⊂平面BMF ,MF ⊂平面BMF ,
BC ∴⊥平面BMF ,
BC ⊂平面BCEF ∴，平面MBF ⊥平面BCEF ；
（2)解:取BF 中点O ,连结MO , MB MF =,则MO BF ⊥，
又平面BMF ⊥平面BCEF 于BF ,则MO ⊥平面BCEF ,且15MO =, 又取CE 中点N ,连结MN ,由5MC ME ==, 则MN CE ⊥,且26MN ＝, 设B 到平面MCE 的距离为h ,
由M BCE B MCE V V --＝,得1
111
153********
h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯, 解得310
4
h =
, 设直线BM 与平面CEM 所成角为θ,
则直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值310
sin h BM θ=
=
.
本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.图1是甲套设备的样本的频率分布直方图,表1是乙套设备的样本的频数分布表.
图1:甲套设备的样本的频率分布直方图
表1:乙套设备的样本的频数分布表
质
量
指
标
数
[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]
频
数
16191851
（1)根据上述所得统计数据,计算产品合格率,并对两套设备的优劣进行比较；
（2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备乙套设备合计
合格
不合格
附:
2
2
(), ()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++
【参考答案】(1)见解析；(2)没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
【试题分析】
(1)根据图1和表1中的数据,分别求出甲、乙的合格率,再比较合格率的大小及各区间产品的分布情况即可；
(2)根据图1和表1中的数据,可求得甲、乙的合格和不合格的产品数量,即可完成列联表,将表中的数据代入2K 的公式,求出2K ,查对临界值作出判断,即可得到结论. 【试题解答】(1)根据图1和表1可知:甲套设备生产的合格品概率约为
4350
, 乙套设备生产的合格品的概率约为
4850
； 乙设备生产的产品的质量指标主要集中在[105,115)之间, 甲套设备生产的产品的质量指标与乙设备相比较为分散；
因此,可以认为乙套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标更稳定,从而乙套设备优于甲套设备.
(2)根据表1和图1可得列联表:
提出假设0H :该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择无关. 根据联表中的数据可以求得
2
2
100(432487) 3.053 3.8419195050
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,
当0H 成立时,2 3.053K ≥的概率大于5%,
故没有95%的
把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. 本题主要考查了统计和独立性检验的相关知识,考查数据处理能力,属于中档题.
20.已知函数()()2
203x
x
f x f e e x '+=﹣
. （1)求()f x 的解析式；
（2)设()2
2g x x ax
a +＝﹣,若对任意()()2x f x g x ≥≥，,求a 的取值范围. 【参考答案】(1) ()2
3x
f x e x += (2) 33a e ≤
【试题分析】
（1)求导,求出(0)f ',代入即可；
（2)2x =,显然成立,2x >,分离参数,构造()h x ,求出()h x 的最小值,即可求出a 的范围. 【试题解答】解:（1)
2()2(0)3x x f x f e e x ='-+.
()2(0)32x f x f e x ''∴=-+,由(0)2(0)30f f ''=-+,得(0)3f '=, 所以2()3x f x e x =+,
（2)若对任意2x ,()()f x g x ,即32x e ax a >-,
当2x =时,a R ∈；
当2x >时,参变分离,32
x
e a x -恒成立,
令3()(2)2
x
e h x x x =>-,23(3)()(2)x e x h x x -'=-,
当(2,3)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增； 所以3()(3)3min h x h e ==, 故33a e . 综上,33a e .
考查求导法求解析式,和分离参数求函数的最值,属于中档题.
21.2019年4月,河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案,决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施"312++"高考模式.所谓"312++",即"3"是指考生必选语文、数学、外语这三科；"1"是指考生在物理、历史两科中任选一科；"2"是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.
（1)若某考生按照"312++"模式随机选科,求选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学"的概率.
（2)新冠疫情期间,为积极应对"312++"新高考改革,某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果,从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试,并给前400名颁发荣誉证书,假设该次网络测试成绩服从正态分布,且满分为450分.
①考生甲得知他的成绩为270分,考试后不久了解到如下情况:"此次测试平均成绩为171分,351分以上共有57人",请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书,并说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分,而考生乙告诉考生丙:"这次测试平均成绩为201分,351分以上共有57人",请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪,并说明理由. 附:()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；
()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.
【参考答案】（1)1
4
；（2)①能,理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假,理由见解析
【试题分析】
（1)已经选出五科,再从剩余三个科目中选1个科目的方法为1
3C ,计算出从物理、历史里选一门,生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数,即可得其概率. （2)①由题意可知,171μ= ,而
57
0.02282500
= ,结合3σ原则可求得σ的值,结合获奖概率,并求得()P X μσ≥+,比较后可求得获奖的最低成绩,即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.
②假设乙所说为真,求得()2P X μσ≥+,进而求得σ的值,从而确定3μσ+的值,即可确定
3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件,而丙已经有这个成绩,因而可判断乙
所说为假.
【试题解答】解:（1)设事件A :选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学",
则()1312241
4
C P A C C ==⋅
（2)设此次网络测试的成绩记为X ,则()2,X N μσ
①由题知171μ=,因为
57
0.02282500
=,且()12210.9544
0.022822
P X μσμσ--≤≤+-==
所以351171902σ-=
=,而400
0.162500
=, 且()()110.6828
0.15870.1622
P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+=
==<
所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分 而270261>,所以甲同学能获得荣誉证书 ②假设乙所说的为真,则201μ=
()()12210.9544
20.022822
P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+=
==,
而
570.2282500
=,所以351201
752σ-==,从而3201375426430μσ+=+⨯=<,
而()()13310.9974
30.00130.00522
P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+=
==<
答案示例1:可以认为乙同学信息为假,理由如下:
事件"3X μσ≥+"为小概率事件,即"丙同学的成绩为430分"是小概率事件,可认为其不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙同学信息为假； 答案示例2:无法辨别乙同学信息真假,理由如下:
事件"3X μσ≥+"即"丙同学的成绩为430分"发生的概率虽然很小,一般不容易发生,但是还是有可能发生的,所以无法辨别乙同学信息真假.
本题考查了古典概型概率求法,由组合数求法求概率,结合3σ原则求概率值, 并由3σ原则判断事件真伪,综合性强,属于难题.
22.已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线与C 交于A ,B
两点.△ABF 2
的周长为
. （1)求椭圆C 的标准方程:
（2)设点P 为椭圆C 下顶点,直线PA ,PB 与y ＝2分别交于点M ,N ,当|MN |最小时,求直线AB 的方程.
【参考答案】（1)2
212
x y +=（2)x ﹣y +1＝0
【试题分析】
（1)根据三角形2ABF 的周长求得a ,结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值,由此求得椭圆C 的标准方程.
（2)设出直线AB 的方程,联立直线AB 的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.通过直线PA 的
方程求得M x ,通过直线PB 的方程求得N x ,由此求得MN 的表达式并进行化简,对m 进行分类讨论,由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.
【试题解答】（1)由题意可得:4a
＝
2c a =, ∴
a =c ＝1,∴
b 2＝a 2﹣
c 2
＝1, ∴椭圆C 的方程为:2
212
x y +=； （2)点P （0,﹣1),F 1（﹣1,0),设A （x 1,y 1),B （x 2,y 2),
显然直线AB 与x 轴不重合,设直线AB 的方程为:x ＝my ﹣1,则可知m ≠﹣1,
联立方程22122
x my x y =-⎧⎨+=⎩,消去y 得:（m 2+2)y 2﹣2my ﹣1＝0, ∴12222m y y m +=+,12212
y y m =-+, 直线PA 的方程为:（y 1+1)x ﹣x 1y ﹣x 1＝0,可得1131M x x y =
+, 同理2231
N x x y =+, |MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()
122112111111my y my y y y -+--+++|＝312
121211m y y y y y y +-⨯=++
+221312122m m m m +⨯=-+++
+,
当m ＝0时,|MN |＝
,
当m ≠0时,|MN |
＝=由于m 1m +∈（﹣∞,﹣2)∪[2,+∞),则()1
1112211
m m ∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，,此时|MN |的最小值为6
＜在m＝1处取得,
综上所述,当|MN|最小时,直线AB的方程为:x＝y﹣1,即x﹣y+1＝0.
本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中线段长度的最值的求法,考查运算求解能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.。