广义Birkhoff系统的Lie对称定理与逆定理

摘 要 ： 究广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 研 ｉ ｏｆ系统 的 Ｉｅ对称 性 ， 用运 动微 分方 程在 无 限 小 变换 下 的 不 变性 ， 立 系 ｋ ｉ 利 建 统 的 Ｉｅ对称确 定 方程 ， 到结 构方程 和 守恒量 ， 究 了 Ｉｅ对称性 逆 问题 ， ｉ 得 研 ｉ 并举 例说 明结 果的应 用 。 关 键词 ： 义 Ｂ ｒｈ ｆ 系统 ； ｉ 对称 性 ； 定 方程 ； 广 ｉ ｏｆ ｋ Ｉｅ 确 结构 方程 ； 守恒量
（ ３ ）
（） ４
引入无 限 小群变换
＊ 收 稿 日期 ：０Ｏ ｌ— ２ ２ １— ２ ８
基金项 目 ： 潍坊 学院青年科研基金项 目（ ０ ０ ２ ） ２ １Ｚ ２ 作 者简介 ： 文山（９ ７ ） 男， 董 １ ５…一， 山东昌邑人 ， 潍坊 学院物理 与光 电工程 学院教授 。
本文研 究 广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 方程 中含线性 附加项 的广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 系统 的 Ｌｅ 称性 ， ｉ ｏｆ ｋ ｉ ｏｆ ｋ ｉ对 根据 广 义 Ｂ ｒ ｈ ｆ 方程 ｉ ｏｆ ｋ 在无 限小 变换 下 的不变性 ， 到 了广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 系 统 的 Ｌｅ对 称性 确 定 方 程 和 结 构 方 程 ， 出 了 系 统 的 得 ｉ ｏｆ ｋ ｉ 给 Ｌｅ ｉ 对称 定理 与逆定 理 ， 文末举 例说 明结果 的应 用 。 ２ 广义 Ｂ ｒ ｈ ｆ 系统的 Ｌ ｅ ｉ ｏｆ ｋ ｉ 对称 性 广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 方程有 如下 形式 ｉ ｏｆ ｋ ］
中图分 类号 ： ３ ６ Ｏ １
１ 引言
文献标识 码 ： Ａ
文章 编号 ：６ １ ４ ８ （０ ２ Ｏ 一Ｏ ６ —０ １ ７ － ２ ８ ２ １ ）２ ０ ６ ５
力 学系 统 的对称性 （ 称不 变性 ） 亦 与守恒 量之 间潜 在着 密切 的联 系 ， １ １ 继 ９ ８年德 国数学 家 Ｎ ｅｈ ｒ ｏｔｅ Ａ
墨
其 中
一
一 一Ａ ＿｜ ＇） （ １， ２ ２ ｎ …
（ １ ）
（ 一 ）
称 为 Ｂｒ ｈ ｆ 张量 ， ｉ ｏｆ ｋ Ｂ＝Ｂ（ ， ） Ｂ ｒ ｈ ｆ 函数 ， ｔｎ 为 ｉ ｏｆ ｋ Ｒ—Ｒ （ ， ） Ｂ ｒ ｈ ｆ 函数 组 ， ｆａ 为附 加 项 ， ｆａ 为 ｉ ｏｆ ｋ Ａ 一Ａ （， ）
（ ， ） 已 ｔ以
式 中 ， 是无 穷小 参数 ， 有一 阶小 量 ， 和 色 为无 限 小 单参 数 群 变换 的生 成 元 。取无 限小 变换 的生 成 元 ｅ 具
向量
ｘ ＝ 十２ ㈤ ａ 善 １ １
恒 量 的方法 受到 学术 界 的关 注 ， 得 了许多 重要成 果口 。。 取 ＿］ 由广 义 Ｂ ｒ ｈ ｆ方 程描述 的力 学 系统和 物理 系统 称 为广 义 Ｂ ｒ ｈ ｆ 系统 ， 是 Ｂｒ ｈ ｆ 系 统 的一 个 ｉ ｏｆ ｋ ｉ ｏｆ ｋ 它 ｉ ｏｆ ｋ
自然推 广 。近年 来关 于广 义 Ｂｒｈ ｆ系统 的研 究 已取 得 重要 进 展 。 １９ ｉ ｏｆ ｋ ９ ３年 文献 ［］ 出 了广 义 Ｂｒｈ ｆ ５提 ｉ ｏｆ ｋ 方程 ， 并研 究 了系统 的 Ｎｏｔｅ 对 称 性 与 Ｎｏｔｅ守恒 量 ；０ ７年 文 献 ［］ 出 了广 义 Ｐａｆ ｉ ｈ ｆ原 ｅｈ ｒ ｅｈ ２０ ６给 ｆｆ—Ｂｒ ｏｆ ｋ 理 ， 造 了系统 动力 学 的基 础理论 框 架 ；０８年梅 凤 翔 等人 研 究 了系统 的积 分 不变 量 ［ 构 ２０ 与动 力 学 的逆 问 题 ；０９年 葛伟 宽等推 导 出了系统 的 时间积分 定理 ［ 张 毅研究 了系统 的 Ｂｒｈ ｆ对 称性 与 守恒 量 。 ］２０ ， ｉ ｏｆ ｋ
且为线 性 的 ， Ａ 一０ ， 当 （ 一１２ … ，ｎ 时 ， ， ， ２ ） 方程 （ ） 为 Ｂｒｈ ｆ方 程 。 １成 ｉ ｏｆ ｋ
展 开方 程 （ ） １ 得
（ 警一 ） ， ） ＋ Ａ （ ２ ， …
式 中 为 Ｂ ｒ ｈ ｆ逆 变张量 ｉ ｏｆ ｋ
∑ 一 （ ， 一 １ ２， ， ｎ） Ｉ Ｄ ， … ２
Ｅ揭 示 了这一 物理 事实 以来 ［ ，９ ９ Ｌ ｔｋ 将 Ｓ ｐ ｕ ． 研 究 微分 方 程 在无 限 小 连续 变换 群 作 用 １ １ ７ 年 ｕ ｚ ｙＭ ］ ｏ ｈ ｓＩｅ ｉ
下 具有 不变性 的方 法应 用 于 Ｌ ｎａｇ 力 学 系 统＿ ， 到 了守 恒 量 。此后 ， Ｌｅ 称 性 寻求 力 学 系统 守 ａ ｒｎ ｅ ＿ 得 ２ ］ 用 ｉ对
一
６ — ６
第 ２期
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董 文 山 ， 晓 林 ： 义 Ｂ ｒｈ ｆ 系统 的 Ｌｅ对称 定理 与逆 定 理 王 广 ｉ ｏｆ ｋ ｉ
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（） ５
在一 级 近似 下 ， 展开 式 为 其
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及其 一 次扩展
（） ７
Ｘ 一 ‘ 茎乞 厶 … ｘ （一 ） 。 ＋ 拿ｊ
根据 微分 方程 不变 性 的判据 ， 无穷 小变 换 （） ， 在 ６下 运动 微分 方程 （ ） ３ 的不变 性 由下式 表示
（ ８ ）
第１ ２卷第 ２期
２１ ０ ２年 ４月
潍坊 学院学报
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广 义 Ｂｒ ｈ ｆ 系统 的 Ｌ ｅ 称 定 理 与 逆定 理 ｉ ｏｆ ｋ ｉ对
董 文 山，王 晓林 （ 坊学 院 ，山东 潍 潍坊 ２１６ ） ６ ０ １