2020届江西省信丰中学高三(13)班上学期数学(理A层)第五次周考

2020届江西省信丰中学高三（13）班上学期数学（理A 层）第五次周考
命题人：
一选择题（50分）
)23
sin(
2.1x y -=π
单调增区间为（ ）
A.)(125,12z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ
B.)(1211,125z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++ππππ C.)(6,3z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D.)(32,6z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++ππππ 2已知函数()()()sin 20,0f x A x A ϕϕπ=+><<的图像经过点,012⎛⎫-
⎪⎝⎭和122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()23f x a =-有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A.3,2⎡⎤⎣⎦
B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.[]1,2
D.33,3⎡⎤⎢⎥⎣ 3．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则t 的范围是（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．()
(
)
2,0,3-∞+∞ D ．(]2,0,03⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭
4．函数，若有8个不相等的实数根，则的范围是（ ） A.
B.
C.
D.
5已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π
3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )
A.32
B.34
C.36
D.38
6如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )
7．已知ln ln3ln ,3a c bd -==-，则22()()a b d c -+-的最小值为（ ）
A 310
B ．
185
C ．
165
D ．
125
8若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎡⎦⎤
π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，
则f ⎝⎛⎭⎫
π4＝( )
A.12
B.2
2 C.32 D ．1
9已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤
=-
，为()f x 的零点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且
()f x 在51836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调,则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
10．如图，1F ,2F 是椭圆22
22: 1 (0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222
x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则
22
e 3a b
+(e 为椭圆的离心率)，的最小值为
A
B
C
D
二填空题（20分）
11.设函数f (x )=(x +1)2+sin x
x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____
12.已知0w >，顺次连接函数sin y wx =与cos y wx =的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则
w =______
13在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是 .
14设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且4sin ,3cos ==A b B a ．若△ABC 的面积S=10，则△ABC 的周长为 ．
三。

解答题（36分）
15平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ=⎧>>⎨
=⎩
为参数），以O 为极点， x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点(M 对应的参数,3
4
π
π
ϕ
θ=
=
与曲线2C 交于点4D π⎫
⎪⎭
. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程；
（2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求2212
11ρρ+的值.
16．(12分) 如图在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足
．
（1）证明：b+c=2a ；
（2）若点O 是△ABC 外一点，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，当b=c 时，求平面四边形OACB 面积的最大值．
17已知函数f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3．
2019年高三（13）班第五次数学周考卷参考答案
10．A 【解析】连接1F P ，OQ ，因为点Q 为线段2PF 的中点，所以1||2||2F P OQ b ==
，
由椭圆的定义得2||22PF a b =-，由12F P
F P ⊥，得222
(2)(22
)(2)b a b c +-=，
解得23a
b =，e =，所以2225151
9()32292a a e a b a a ++==+⋅≥
（当且仅当a =
A ．
11.2 12
2
13[0,1+
14.10
15（1）将(
m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos
43,2sin
3a a b b ππ⎧
=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=, 所以1C 的方程为221164
x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()2
22x R y R -+=),
将点4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()22
11x y -+=).
16（1）证明：∵，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA，∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a；
（2）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，∴△AB C为等边三角形，
∴S
△OACB =S
△OAB
+S
△OBC
==sinθ+
==．
∵0＜θ＜π，
∴，
当且仅当，即时取最大值，最大值为．
17[解](1)因为f(x)＝e x＋m－x3，
所以f′(x)＝e x＋m－3x2．
因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，
所以f′(0)＝e m＝1，解得m＝0．
(2)证明：因为f(x)＝e x＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2，
所以f(x)＞g(x)－x3等价于e x＋m－ln(x＋1)－2＞0．
当m ≥1时，e x ＋m －ln(x ＋1)－2≥e x ＋1－ln(x ＋1)－2． 要证e x ＋m －ln(x ＋1)－2＞0， 只需证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2＞0． 设h (x )＝e x ＋1
－ln(x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1
－1x ＋1．
设p (x )＝e
x ＋1
－1
x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋
1x ＋1
2＞0，
所以函数p (x )＝h ′(x )＝e
x ＋1
－1
x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增．
因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 1
2－2＜0，h ′(0)＝e －1＞0， 所以函数h ′(x )＝e
x ＋1
－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，0．
因为h ′(x 0)＝0，所以ex 0＋1＝1
x 0＋1， 即ln(x 0＋1)＝－(x 0＋1)． 当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )＜0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，
所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)， 所以h (x )≥h (x 0)＝ex 0＋1－ln(x 0＋1)－2 ＝1
x 0＋1＋(x 0＋1)－2＞0．
综上可知，当m ≥1时，f (x )＞g (x )－x 3．。