高考数学复习 离散型随机变量的分布列课件

P ( k ) P ( A A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) 0 . 9 k 1 0 . 1
k 1
k 1
3.几何分布 称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p·qk-1 在次独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试 验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k”表 示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第 k次实验时事件A发生记为Ak， p（ Ak ）=p，那么
“ 3” 表示前二次恰有一次射中，第三次射中，∴
P(3)C2 10.90.10.9C210.10.92
同理 P (4)C 3 10.90.120.9C310.120.92
“ 5” 表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中 ∴
∴ 随机变量 的分布列为：
2
3
4
5
P 0.9 2 C210.10.92 C310.120.92 C4 10.90.130.14
ζ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
p1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地
抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在不放回情
况下，求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数
解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为
P(ξ=k)=
C5k
(1)k 3
(2)5,kk=0,1,2,3,4,5. 3
(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
ξ 0 1… k …
p
… … C
0 n
p
0
q
n
Cn1 p1q n1
Cnk pkqnk
n
C
n n
p
n
q
0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记 作 ~B(n,,p其) 中n，p为参数,并记
Cn kpkqnkb(k;n,p)
例3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出 其中次品数ξ的概率分布．
离散型随机变量 的分布列
一、复习引入：
问题1：抛掷一个骰子，设得到的点数为ξ，则ξ 的取值情况如何？ ξ取各个值的概率分别是什么？
ξ
1
2
3
4
5
6
p
1 6
1
1
6
6
1
1
6
6
1 6
问题2：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为ξ ， 则ξ取哪些值？各个对应的概率分别是什么？
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
则表 ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
根据随机变量的意义与概率的性质， 你能得出分布列有什么性质？
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1)p .i 0,i1， 2， 3， (2 )p .1p 2p 3 1
例、某一射手射击所得环数的分布列如下：
一个小于k点,故P(ξ=k)= 1(k1)22k1,k=1,2,3,4,5,6.
66 36
(2)η=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一
个大于k点,故
P(η=k)= 1(6k)2132k ,k=1,2,3,4,5,6.
66
36
(3)ζ的取值范围是-5,-4,…，4，5.ζ=-5,即第一次
是1点，第二次是6点；……，从而可得ζ的分布列是：
•
例5、在一袋中装有一只红球和九只白球。 每次从袋中任取一球取后放回，直到取得 红球为止，求取球次数ξ的分布列。
分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球， 取后又放回，因此应注意以下几点：
(1)一次取球两个结果：取红球A或取白球Ā，且 P(A)=0.1；
(2)取球次数ξ可能取1，2，…；
(3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。
p1
23
4
56
5
4
3
2
1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验
中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布。
如何给出定义呢？
二、离散型随机变量的分布列
1、概率分布（分布列）
设离散型随机变量ξ可能取的值为
x1,x2,x3, ,xi
ξ取每一个值 xi(i 1,2, 的) 概率 P(xi)pi
的分布列．
解： 的所有取值为：1、2、3、4．
“ 1”
“ 2”
表示只取一次就取到合格品
P(1)CC
1 10
1 13
10 13
表示第一次取到次品，第二次
P(2)C
1 3
C
1 10
取到合格品
A123
5 26
“ 3” 表示第一、二次都取到次品，第三次
取到合格品 随机变量的分布列为：
∴
P(3)
A
2 3
C
1 10
A133
5 143
1
234
P
10 13
5
5
1
26
143
286
返回
2、二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少？ 在这个试验中，随机变量是什么？
P( k)Cnkpkqnk其中k=0,1,…,n.p=1-q.
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
练习、随机变量ξ的分布列为
ξ -1
0
1
2
3
p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
2、求出各取值的概率 P(xi)pi;
3、列成表格。
0.9 0.10.90.12 0.9 0.13 0.9 0.14
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9．⑴如果命中了
就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分
布列．⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，
求耗用子弹数的分布列．
解：⑵ 的所有取值为：2、3、4、5
“ 2”表示前二次都射中，它的概率为：P(2)0.92
同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.
因此,ξ的分布列如下表所示
ξ
1
2
3p3/53/ Nhomakorabea0 1/10
例2：将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ;(2)两次掷出的最小点数η; (3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ζ.
解:(1)ξ=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另
小结：本节学习的主要内容及学习目标要求：
1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会 求某些简单的离散型随机变量的分布列；
2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质，并会用它来解决一些简单问题；
3、理解二项分布和几何分布的概念。
求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi(i 1,2, );
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P (ζ 0 )C0 21905200 . 9 0P2(5ζ , 1 )C1 215010 90500 . 0 P (ζ 2 )C2 2150200 . 0 0 2 5
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
P 0.9025
1 0.095
2 0.0025
例4:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分 布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解：⑴ 的所有取值为：1、2、3、4、5
“ 1”表示第一次就射中，它的概率为： P(1)0.9 “ 2”表示第一次没射中，第二次射中，∴P (2)0.10.9
同理 P(3)0.120，.9 P(4)0.130.9
“ 5” 表示前四次都没射中，∴ P(5)0.14
∴随机变量 的分布列为：
1
2 345
P
求常数a。
解：由离散型随机变量的分布列的性质有
0.16aa2a0.31 10 5
解得： a 9 （舍）或 a 3
10
5
例1：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写 出ξ的分布列.
解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 有P(ξ=1)= C42 / C53 =3/5;
P(k)P(A1A2A3AK1Ak)
P(A1)P(A2)P(A3)P(AK1)P(Ak) (1p)k1pqk1p （k=0,1,2…,q=1-p.）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：检验p1+p2+…=1
ξ12
3…
k
…
P
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9⑴如果命中了就 停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布 ⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗 用子弹数 的分布列．