高三数学(上) 极限与导数单元练习题 新课标 人教版

高三数学(上) 极限与导数单元练习题 新课标 人教版
连江一中供稿
一、选择题：（每小题5分，共50分）
1．一个物体的运动方程是s =1－t +t 2
，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 6米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒 2．下列命题正确的是（ ） A (lgx )’=
1x B (lgx )’=ln10x
C (3x )’=3x
D (3x )’=3x
·ln3 3．设函数f (x )在x = x 0处的导数不存在，则曲线y = f (x )（ ）
A ．在点[x 0，f (x 0)]处的切线不存在
B ．在点[x 0，f (x 0)]处的切线可能存在
C ．在点x 0处间断
D ．0
lim x x →不存在
4．设函数f (x )可导，且f ’(0)=0，又0
'()
lim
1x f x x
→=-，则f (0)（ ） A ．可能不是的极值 B 一定是的极大值 C ．一定是的极小值 D 等于0 5．若1
(1)
lim
11
x f x x →-=-，则11lim
(22)x x f x →--等于 （ ） A ．-1 B ．1 C ．12- D ．1
2
6．设f (x )为可导函数，且满足0
lim
→x x
x f f 2)
1()1(--=－1，则过曲线y = f (x )上，点 (1，f
(1))处的切线斜率为（ ）
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
7．函数y = 2x 3－3x 2
－12x + 5在区间[0，3]上的最大值和最小值依次是（ ） A ．12，－15 B ．5，－15 C ．5，－4 D ．－4，－1
8．已知y = 2x 3
－ax + c 在(－∞，+∞)上的单调递增，则（ ）
A ．a ＜0且c ∈R
B ．a ≥0且c ∈R
C ．a ＜0且c = 0
D ．a ≤0且c ≠0
9．设0'''
01211()sin ,()(),()(),,()(),n n f x x f x f x f x f x f x f x n N +===⋅⋅⋅=∈，则2006()f x 等于
（ ）
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
10．已知函数f (x ) = x 3 + ax 2
+ (a + 6)x + 1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．－1＜a ＜2
B ．－3＜a ＜6
C ．a ＜－3或a ＞6
D ．a ＜－1或a ＞2 二、填空题：（每小题5分，共30分） 11．33
lim
9
x x x →-+=- 。

12．设函数f (x )在x =2处可导，且f ’(2)=1，则0
(2)(2)
lim
2x f x f x x
→+--= 。

13．设函数11
(0)()(0)x x f x a x +-≠=⎪=⎩
在0x =处连续，则实数a 的值为 。

14．222343434lim(
)121212n n n
n →∞+++++⋅⋅⋅+= 。

15．有一块边长为6 m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池，则蓄水池的底边为 时，蓄水池的容积最大。

16．已知n 次多项式n n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(. 如果在一种计算中, 计算
k x 0(k=2,3,4,
……, n)的值需要1-k 次乘法, 计算)(03x P 的值共需要9次运算(6次乘法, 3次加法). 那么计算)(0x P n 的值共需要__________次运算。

下面给出一种减少运算次数的算法: 000)(a x P =,
1()k P x +=
1()k k xP x a ++ )1,,2,1,0(-⋅⋅⋅=n k , 利用该算法, 计算)(03x P 的值共需要6次运算, 计算
)(0x P n 的值共需要__________次运算。

三、解答题：（共五大题满分70分）
17．（12分）已知函数),,()(2
3R c b a c bx ax x x f ∈++-= (1)若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，试求b a ,的值；
(2)在(1)的条件下，当]6,2[-∈x 时，)(x f ＜2｜c ｜恒成立，求c 的取值范围。

18．（12分）已知f (x ) = x 3
+ bx 2
+ cx + d 在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f (x ) = 0有三个根，它们分别为α，2，β. （1）求c 的值； （2）求证：f (1 )≥2.
19．（本小题满分14分）如图所示，曲线段OMB ：f ( x ) = 2
x ( 0 < x < 6 ) 在点M ( t ，f ( t ) )处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA x ⊥轴于A ，
(Ⅰ) 试用t 表示切线PQ 的方程； (Ⅱ) 求∆QAP 的面积g （t ）的最大值。

20．（14分）已知函数x x f ln )(=。

（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证2
2)
(2)()(b
a a
b a a f b f +->-.
21．（18分）过定点M （1，0）作曲线*:((0,),,1,)p
c y x
x p N p p =∈+∞∈>其中为常数的
切线切点为Q 1，设Q 1点在x 轴上的投影是点R 1，又过点P 1作曲线c 的切线切点为Q 2，设Q 2在x 轴上的投影是R 2…，依此下去，得到一系列点Q 1，Q 2，…，Q n ，…，设点Q n 的横坐标为n a （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设n T =12
1121n n
n n
a a a a --+++
+,试比较n T 与2p 的大小(写出推导过程)；(3) 求证: 11
n n
a p ≥+-。

o
B o
Q M
A
P
x
y
o
[参考答案]
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C
D
B
B
C
D
B
B
B
C
11． 6-
12。

1 13．2 14．6 15． 1 16．,22
n 17．解: （1）∵函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值， ∴－1，3是方程0232
=+-b ax x 的两根，
∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⨯-=+-933313
231b a b
a （2）963)(,93)(2
'23--=+--=x x x f c x x x x f ，当x 变化时，有下表
x (-∞，-1)
-1 （-1，3）
3 （3，+∞）
f ’
(x) + 0 - 0 + f(x)
↗
Max
c+5
↘
Min c-27
↗
而]6,2[54)6(,2)2(-∈∴+=-=-x c f c f 时f(x)的最大值为c+54 要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可 当c ≥0时c+54<2c ∴c>54 当c ＜0时c+54<－2c ，∴c ＜－18 ∴c ∈（-∞，－18）∪（54，+∞）
18．（1）f '(x ) = 3x 2
+ 2bx + c ，
∵ f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴ x = 0时，f (x )取到极大值. ∴ f '(0 ) ＝ 0，∴ c = 0.
（2）∵ f (2 ) = 0，∴ d =－4 (b +2)，f '(x ) = 3x 2
+ 2bx = 0的两个根分别为x 1 = 0，
x 2 =－
3
2b
， ∵ 函数f (x )在[0，2]上是减函数，∴ x 2 =－
3
2b
≥2. ∴ b ≤－3，∴ f (1 ) = b + d + 1 = b －4 (b +2) + 1 = －7－3b ≥2. *********************************************************
19．解：（I ）K=f ／(t)=2t,切线方程为y-t 2=2t(x-t), 即y=2tx-t 2
(0<t<6) … 3分 (II)在切线方程中
令y = 0得 x =
2t )12,6(,126),0,2
(2
2t t Q t t y x t p -∴-==∴，得令 )60(3664
1
)12)(26(21||||21)(232<<+-=--=⋅=∴t t t t t t t AQ AP t g … 7分
400)(;640)(60,
36124
3)(2
<<>'<<<'∴<<+-=
't t g t t g t t t t g 得令得令 ∴函数)(t g 在()4,0上单调递增；在()6,4上单调递减 … 12分 64)4()(max ==g t g 故 … 14分
20．解：(1)函数g(x)的定义域为(-1，+∞)，g ′(x)=
x
+11
-1. 令g ′(x)=0，解得x=0.
当-1＜x ＜0时，g ′(x)＞0; 当x ＞0时， g ′(x)＜0.
又g(0)=0，故当且仅当x=0时，g(x)取得最大值,最大值为0. 6分
（2）原不等式化为：22
2
2(1)
2()ln ln ln 1()b a b a b
a b a b a b a a
--->⇔>++ 利用求导证明证明单调性可解。

14分 或利用（1）的结论ln(1)x x +<，
ln
ln ln(1)b a a b a b b a
a b b b b
---=-=-+>-=
再证明：2
22()
b a a b a b a b -->+易证明。

21．证明（1）1
'p y px
-=，若切点是Q n (a n ,a n p )，则切线方程是1
()p p n n n y a pa x a --=-
当n=1时，切线过点P （1，0）
即1
1110(1)p p a pa a --=-，得11
p
a p =
-；………………………3分 当n>1时，切线过点)0,(11--n n a p
即1
10()p p n n n n a pa a a ---=-
得
11
n n a p
a p -=-………………………………………………………5分 所以数列{}n a 是首项为1p p -,公比为1p p -的等比数列，1n
n p a p ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
,*
N n ∈
…………………………………………………………………………7分 (2)∵12
112
1n n n
n n
T a a a a --=
+++
+
则
231112
1n n n p n n
T p a a a a +--⋅=+++
+两式相减，……………… 得
12
112
111
1111
(1)n n n n
p n S p a a a a a a a +--=+++-<+++
，…………10分 2211[1()]
1111n
n n p p p p T p T p p p p p p ---<<-⇒<-<--………………………………（14分）
(3)1(
)(1)11n n
n p a p p ==+-- 012
2111()(
)11
1
n
n
n n
n n c c c c p p p =++++---……………16分 011111
n n n
c c p p ≥+⋅
=+--………………………………（18分） 法二.用数学归纳法证明酌情处理。