5.2 等差数列

B.20
C.24
D.28
【答案】C
4.在等差数列{an}中,已知a3+a18=20,则S20= (
A.140
B.160
C.180
) D.200
【答案】D
5.在等差数列{an}中,已知a3+a9+a15+a17=4,则a11=( )
A.1
B.-1
C.0
D.不能确定
【答案】A
6.在等差数列{an}中,前15项之和S15=60,则a8=
3, a5
5时, d
5 4
3
2,
an 3 (n 1) (2) 2n 5;
当a1
5, a5
3时, d
3
(5) 4
2,
an 5 (n 1) 2 2n 7.
n(a1 2
an
)
组成方程组,解之即可.
【例4】 一个等差数列的第5项为0,第9项为12,求该数列的首项, 公差及前20项的和.
【分析】由两个已知条件列出关于首项a1和公差d的方程组,解方 程组即可求出a1和d.
【解】 设等差数列的首项为a1,公差为d.由题意得
aa11
4d 8d
0, 12,
两个量,即“知三求二”.
4.等差中项
对给定的实数a与b,如果插入数A使得a,A,b成等差数列,则称A
叫做a与b的等差中项,且A=
a
2
b
或2A=a+b.
【说明】 前面复习时,曾把这个数叫做a与b的算术平均
数,“一物二名”,可联系起来记忆.
5.等差数列的性质
(1)在等差数列中,若公差d=0,则此数列为常数列;若d>0,则此
;
(3)已知a3=5,则a1+2a4=
.
【分析】 (1)a1+a10=a3+a8=a4+a7=a5+a6=20,
S10=
(a1
a10 2
)10
20 10 2
=100.
(2)已知a2和a99,可求出a1和d,代入通项公式,可求出a3+a98,但此种方
程较繁琐;若注意到3+98=2+99,立即可得a3+a98=a2+a99=30.
数列的是( )
A.①与② C.③与④
B.②与③ D.①与④
【答案】D
2.已知等差数列{an}中,a1=1,d=3,那么当an=298时,项数n等于 ()
A.98
B.99
C.100
D.101
【答案】C
3.已知等差数列{an}中,a1=20,a27=54,则公差为 ( )
A.34
B.1123
C.
34 27
数列为递增数列;若d<0,则此数列为递减数列.
(2)在等差数列中,am-an=(m-n)d或d=
am an mn
(m,n∈N+,m≠n)
(3)在等差数列中,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq. (4)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序
排列,构成一个新的等差数列.如a1,a3,a5,…仍然是等差数列. (5)在等差数列中,每连续m项之和构成的数列仍然是等差数
D.1173
【答案】D
4.在等差数列{an}中，已知a2+a4=16,则a3=( )
A.4
B.8
C.16
D.32
【答案】B
5.一个等差数列的第五项a5=10,且a1+a2+a3=3,则有( )
A.a1=-2,d=3
B.a1=2,d=-3
C.a1=-3,d=2
D.a1=3,d=-2
【答案】A
6.若x,a,2x,b成等差数列,则a∶b= ( )
A.a1=10,d=3
B.a1=-10,d=3
C.a1=3,d=-10
D.a1=3,d=10
【答案】B
2.等差数列{an}中,a5=4,a9=10,则a13=
(
A.25
B.16
C.14
) D.12
【答案】B
3.已知数列{an}是等差数列,且a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7=( )
A.16
则
x d x x
( x
d
)2
x2
d 18 (x d)2
116
①, ②,
由①得x 6,代入②解得d 2或d 2
当d 2时,这三个数为4,6,8;
当d 2时,这三个数为8,6, 4.
【同步训练二】
一、选择题
1.在等差数列{an}中,已知a4=-1,a7=8,则首项a1与公差d为 ( )
3,
a32 a22 10d 63 10 3 93.
18.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-3,a1·a3·a5=15,求它的通项公式.
【解】 a1 a3 a5 3,
a3
3 3
1, aa11
a5 2, a5 15,
解得
a1 a5
3, 5,
或
a1 a5
5, 3,
当a1
的和为
()
A.80
B.100
C.120
D.140
【答案】C
10.在等差数列{an}中,若前4项和S4=1,前8项和S8=4,则a17+a18+a19 +a20的值等于 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【答案】C
二、填空题 11.在等差数列{an}中,a3=7,d=-1,则an= 10-n . 12.若三个连续正整数的和是69,则在它后面的三个连续正整数的 和是 78 . 13.在等差数列{an}中,a4=18,a11=32,则d= 2 ,Sn= n2+11n . 14.在等差数列{an}中,S3=9,S6=36,则S9= 81 . 15.等差数列{an},a1,a2,a3,…,am的和为64,而且am-1+a2=8,那么项数 m= 16 .
∴这三个数为2,4,6或6,4,2.
【点评】 三个数成等差数列且已知它们的和,一般设三个数为: x-d,x,x+d,其优点在于:(1)只有两个未知数,(2)三个量的对称性.
【同步训练一】
一、选择题
1.在数列①1,1,1,…;②1,
1 2
,
1 3
,…;③-1,1,-1,…;④4,5,6,…中,是等差
【例2】
已知c≠0,且a,b,c,2b成等差数列,则
c a
=
.
【解】 a,b,c, 2b成等差数列,
2b
c
c
b,
c
3 2
b.
又
b
a
c
b, a
2b
c
2b
3 2
b
1 2
b,
c a
3 2 1 2
b b
3.
【例3】 在等差数列{an}中,d=2,an=1,Sn=-8,求a1和n.
【分析】
联立通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn=
(3)若能求出a1和d,则易求出a1+2a4.但已知仅有一个条件,不能求出
a1和d.故只能巧解,a1+2a4=a1+(a3+a5)=a3+(a1+a5)=a3+2a3=3a3=15.
【点评】1.在等差数列{an}中,若2p=m+n,则2ap=am+an.(p,m,n∈N+) 2.合理运用等差数列的性质,可减少计算量,甚至起到意想不到的效果.
列.如a1+a2,a3+a4,a5+a6仍然是等差数列. 【说明】 在三个成等差数列的数中,一般设为:a-d,a,a+d.
【例题精解】 【例1】 求等差数列2,9,16,…的通项公式及第20项. 【解】 因为a1=2,d=9-2=7,所以这个等差数列的通项公式是 an=2+(n-1)×7. 即an=7n-5. 所以a20=7×20-5=135. 【点评】 根据等差数列的定义,由d=an+1-an求出公差,然后直接 应用通项公式求得.
11.在等差数列{an}中,已知d=-2,n=10,an=-15,则a1= 3 ,Sn= -60 .
12.等差数列{an}中,a1=2,a2+a3=10,则公差d= 2 .
13.
3 3
2与 2
3 3
2 的等差中项是 2
5
.
14.已知等差数列11,8,…,它的第8项是 a8=-10 ,
第n+1项是 an+1=-3n+11 .
即d=an+1-an(n∈N+). 等差数列的一般形式为a1,a1+d,a1+2d,…. 2.等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d. 3.等差数列前n项和公式
记Sn=a1+a2+a3+…+an,则Sn=
n(a1 an ) 2
或Sn=na1+
n(n 1) 2
d.
【说明】 在a1,d,n,an,Sn五个量中,已知任意三个量可求出另
【解】
a45
a15
30d , d
153 33 30
4,
又 377 a45 (n 45)d,
即377 153 (n 45) 4,解得n 101,
故377是这个数列的第101项.
18.三个数成等差数列,它们的和是18,它们的平方和是116,求这三 个数.
【解】 设这三个数为x d, x, x d.
解得a1
12, d
3,
ห้องสมุดไป่ตู้
S20
20
(12)
20
(20 2
1)
3
330.
【点评】 本题实际上是用待定系数法求出a1和d.其实,这道题 也可以直接运用等差数列的性质来求解:由a9-a5=4d求出d.
【例5】 在等差数列{an}中,
(1)已知a3+a4+…+a8=60,则S10=
;
(2)已知a2=3,a99=27,则a3+a98=
15.在等差数列{an}中,已知a2=-5,a6=6+a4,那么a1= -8 .
三、解答题 16.在等差数列{an}中,已知a8=-3,d=-3,求a1与S8.
【解】 a8 a1 7d ,
a1 a8 7d 3 7 (3) 18,
S8
[18
(3)] 8 2
60.
17.等差数列{an}中,若a15=33,a45=153,则377是这个数列的第几项?
§5.2 等差数列
【复习目标】 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.掌握等差中项的概念和性质. 4.掌握等差数列的性质.
【知识回顾】
1.等差数列定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,记为d,
三、解答题 16.在等差数列{an}中,已知a6=5,a3+a8=5,求a1与d.
【解】
5 5
a1 5d , 2a1 9d
,
解得a1 20, d 5.
17.在等差数列{an}中,a12=33,a22=63,求d和a32.
【解】 a22 a12 10d ,
d
a22 a12 10
63 33 10
A.
1 2
B.
3 5
C.
1 3
D.
1 5
【答案】B
7.数列{an}的通项公式为an=2n+1，则该数列前10项的和是( )
A.55
B.100
C.120
D.121
【答案】C
8.若lga,lgb,lgc三个数成等差数列,则
()
A.b
a
2
c
C.b ac
B.b
lg
a
2
lg c
D.b ac
【答案】C
【例6】 三个数成等差数列,它们的和为12,积为48,求这三个数.
(x d ) x (x d ) 12 ①,
【分析】 设它们为x-d,x,x+d,则 (x d ) x (x d ) 48
②,
由①可得到3x=12,即x=4,代入②并整理得d2=4,∴d=±2.
当d=2时,这三个数分别为2,4,6;当d=-2时,这三个数分别为6,4,2,
9.在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是 ( )
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.第16项
【答案】C
10.在等差数列{an}中,已知公差为
1 2
,且a1+a3+a5+…+a99=60,那么
a1+a2+a3+…+a100等于
()
A.120
B.145
C.150
D.170
【答案】B
二、填空题
A.2
B.4
C.6
() D.8
【答案】B
7.等差数列{an}中,若a5+a13=40,则a8+a9+a10=
A.48
B.60
C.72
() D.84
【答案】B
8.等差数列{an}中,a5=20,a20=5,则a25=
(
A.25
B.-15
C.100
) D.0
【答案】D
9.在等差数列{an}中,前10项的和为20,前20项的和为60,则前30项