2008年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛贵州省预赛
根据中国数学会普委会会议的精神，并按我省中学生五学科奥林匹克竞赛管理委员会的要求（黔学科竞赛管字发[2008]04号文件），贵州省数学会竞赛委员会组织了全省参加2007年全国高中数学联赛的工作。

为杜绝考试的作弊现象，保证考试公开、公正，今年我省举行初赛及复赛，其中初赛由贵州省数学会统一命题，
一. 在省教育厅基教处和省科协青少年部的指导下，为使联赛工作顺利进行，我们做了以下工作：
1. 根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛”所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》（新教材必修内容）所规定的教学和要求，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。

试卷包括选择题、填空题与解答题。

因我省是第一次举行预赛，加之考虑我省学生的水平较低，所以预赛试题的难度略低于高考试题的难度。

全卷满分150分。

试题及评分标准见附件
2. 召开了专门会议，强调严格做好预赛的监考和保密工作。

例如，在3月初给各地（州、市）的“通知”中强调：因涉及一等奖获奖学生的高考加分，请各地（州.市）教育局有关领导一定严格考场纪律。

3. 印制了专用试卷袋密封试卷，并规定：试卷必须由专人保管，只能在考试开始时当众拆封；不能私自复制试卷；按规定时间考试完毕，
并与考试当日中午将评分标准发给各地区的负责人，并用手机短信告知打开试卷评分标准的密码。

4. 此次我省共有四千余人参预赛。

根据各地区的考生成绩，我省共有七百余人参加复赛。

2008年全国高中数学联赛贵州赛区初赛试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

评分中只设5分和0分两档。

） 1．已知集合{}
{}
2,,0322<=∈≤--=x x N R x x x x M ，则N M 等于（ ） A.∅
B.}21{<≤-x x
C.}12{-<≤-x x
D.}32{<≤x x
2．函数x x x f 2cos 2sin 3)(+=的最小正周期是（ ） A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．π2
3．函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是（ ）
A.)0(log 13>+=x x y
B.)0(log 13>+-=x x y
C.)31(log 13<≤+=x x y
D. )31(log 13<≤+-=x x y 4．在等差数列}{n a 中，10915812962a a a a a -=++，则=（ ） A ．24
B ．22
C ．20
D ．－8
5．给定两个向量=（1，2），=（x ，1），若)22(//)2(b a b a -+，则x 的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．
21 D ．3
1
6．若+∈R b a 、，且1=-b a ，则22b a +（ ）
A ．既有最大值，也有最小值
B ．有最大值，无最小值
C ．有最小值，无最大值
D ．既无最大值，也无最小值
7．在直三棱柱111ABC A B C -中，11CC M AC AB AC AB AA 是，，⊥==的中点，
11B A P BC Q 在的中点，点是上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．把函数sin(2)16
y x π
=+-的图象按向量(,1)6
a π=平移，再把所得图象上各点的横坐标
缩短为原来的
1
2，则所得图象的函数解析式是（ ） A.2sin(4)23y x π=+- B. sin(4)6
y x π
=-
C.sin(2)6
y x π
=+ D. 2cos(4)3y x π=+
9．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1
AB AA '==，A C ，两
点间的球面距离为（ ）
A ．
π
4
B ．
π2
C ．
4
π D ．
2
10．已知双曲线22
163
x y -=的焦点12,F F ，点M 在双曲线上且1MF ⊥x 轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ）
A.
65 B. 5
6
C. 5
D. 6
11．对于任意的x ∈R ，不等式2x 2－a x 2＋1＋3>0恒成立．则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤3
B ．a <3
C ．a ≤2 2
D ． a <2 2
12. 已知()122007122007f x x x x x x x =++++
+++-+-++-（x ∈R ）
， 且2
(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分评分中只设4分和0分两档。

）
13．6
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．设z = x — y , 式中变量x 和y 满足条件⎩
⎨⎧≥-+≥-0
3,
02y x y x 则z 的最小值为 ．
15．若m 、{}
2
2101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，01
2i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为 .
16．函数()y f x =的定义域为D ．若对于任意1x D ∈,存在唯一2x D ∈,使
12()()2008f x f x +=成立，则称21x x 为的“奥运数”．给出下列五个函数：①22008y x =；
②32008y x =；③2008cos y x =；④lg(2008)y x =；⑤2008x
y =．其中具有“奥运数”性质的有________________（把你认为符合要求的函数的序号都填上）．
三、解答题（第17~21题，每小题12分，第22题14分。

解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。

）
17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝（1,1－3sin A ），
＝（cos A,1），且⊥．
（1）求角A ；
（2）若b ＋c ＝3a ，求sin （B ＋π
6）的值．
18．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AC =4，
延长CB 至D ，使CB =BD .
（I ）求证：直线C 1B//平面AB 1D ；
（II ）求平面AB 1D 平面ACB 所成角的正弦值.
19．已知7件产品中有4件正品和3件次品.
(Ⅰ)从这7件产品中一次性随机抽取3件，求正品件数不少于次品件数的概率； (Ⅱ)从这7件产品中一次性随机抽取5件，记其中次品件数为ξ，求ξ的数学期望。

20．求下列方程的实数解20072006422008
2008)1)(1(x x x x x
=+++++ 。

21．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，焦点到相应的准线的距离以及离心率均为
2
2
，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝λPB ． （1）求椭圆方程；
（2）若OA ＋λOB ＝4OP ，求m 的取值范围．
22．对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(*
1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对正整数k ，规定}{n k
a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中
)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1） 若数列{}n a 首项11=a ，且满足n
n n n a a a 212-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式； （2） 对（1）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n
n n n n n a C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211对一切正整数*
N n ∈都成立？若存在，求数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明
理由；
（3） 令n n b n c )12(-=，设n
n n a c a c a c T +⋅⋅⋅++=
22
11，若M T n <恒成立，求最小的正整数M 的值。

参考答案
一、选择题
1． B 2． C 3． D 4． A 5． C 6． D 7． D 8． B 9． B 10． A 11． B 12. D
二、填空题 13．15 14．1 15．90 16． _②、④__ 三、解答题
17． 解：（1）∵n m ⊥，
∴0=⋅n m , 即有cos A ＋1－3sin A ＝0 3sin A －cos A ＝1，sin （A －π6）＝1
2
∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，A －π6＝π
6，
∴A ＝π
3
（2）∵b ＋c ＝3a ，∴由正弦定理得：sin B ＋sin C ＝3sin A ＝3
2
∵B ＋C ＝2π3，∴sin B ＋sin （2π3－B ）＝3
2
·32cos B ＋32sin B ＝3
2 即sin （B ＋π6）＝3
2
18．解：（Ⅰ）连结C 1B 则C 1B 1=CB=DB ，又C 1B 1//BD ，
所以，四边形C 1BDB 1是平行四边形， 所以，C 1B//B 1D ，
又B 1D ⊂平面AB 1D ，
所以，直线C 1B//平面AB 1D.
（Ⅱ）在△ACD 中，由于CB=BD=BA ，
所以，∠DAC=90°，
以A 为原点，建立如图空间直角坐标系，则
A （0，0，0），
B 1（3，1，4），D （23，0，0）
)0,0,32(=AD ，)4,1,3(1=AB
设平面AB 1D 的法向量),,(z y x n =，则
10,0,0,40,
n AD n AB y z ⎧⎧⋅==⎪⎪
⎨
⋅=++=⎪⎩即 所以⎩⎨
⎧-==,
4,
0z y x 取z =1，则n =（0，－4，1）
取平面ACB 的法向量为m =（0,0,1） 则,17
17
4,sin .17
1|
|||,cos >=
<=>=
<m n m n m n 所以 所以，平面AB 1D 与平面ACB 所成角的正弦值为
17
17
4 19． 解：（1）从这7件产品中一次性随机抽取3件的结果数为3
7C ，其中正品件数不少于次品件数的结果数为3
41324C C C +⋅，
则所求随机事件的概率为
3
7
34
1324C C C C P +⋅=
35
22
=
所以正品件数不少于次品件数的概率为
35
22. （2）次品件数为ξ的所有可能取值为1，2，3，
而7
1
213)1(57
1344==
⋅==C C C P ξ， 7
4
2112)2(572334==
⋅=
=C C C P ξ， 7
2
216)1(57
3324==
⋅==C C C P ξ， 故随机变量ξ的数学期望为 7
157********=⨯+⨯+⨯
=ξE 。

20．求下列方程的实数解20072006422008
2008)1)(1(x x x x x =+++++ 。

解：方程两边同除以2007
x
，得
2008)1)(1
(2006
422007
=+++++
x x x x
x 20081
1
12005
2007200753=+
++
+
++++x x
x x x x x 2008200421
11200820052007200753=⨯≥++++++++=x x
x x x x x
当且仅当x x 1=，331x x =，┅，20072007
1x x =时，上式取等号，即1±=x
但1-=x 时，不满足原方程。

故1=x 是原方程唯一的实数解。

21．解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2
b
2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，
由条件知a 2c －c ＝b 2c ＝22，c a ＝2
2，
∴a ＝1，b ＝c ＝
2
2
， 故C 的方程为：y 2
＋x 2
12
＝1
（2）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ，
∴λ＋1＝4 λ＝3 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1
得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2
x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1
k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0
m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 2
4m 2－1， 由（*）式得k 2>2m 2－2
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 24m 2－1
>0，∴－1<m <－12或1
2<m <1
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1
2，1）
22．解（1）n
n n n a a a 212-=+∆-∆+而n n n a a a ∆-∆=∆+12可得n n n a a 2=-∆
n n n a a 221=-∴+，
21
2
21
1=-++n n n n a a ， ∴}2
{
n
n a 是首项为21，公差为21
的等差数列， 21)1(212
⋅-+=∴
n a n
n ，1
2-⋅=∴n n n a (*N n ∈) （2）n n n n n n a C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211即：1
22112-⋅=+⋅⋅⋅++n n n n n n n C b C b C b 而又1
1k k n n kC n C --=⋅
所以111101212----+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n n n n n n n nC nC nC nC C C =1
1111012)(-----⋅=+⋅⋅⋅++n n n n n n C C C n 故可得n b n =
∴存在等差数列}{n b ,n b n =使
n n n n n n a C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211对一切正整数*N n ∈都成立。

（3）由（2）知 n n n T 2
1
22523112-+⋅⋅⋅+++= ……… ① n n n n n T 2
1
223225232121132-+-+⋅⋅⋅+++=-……… ② ①-②得：n
n n n n n n T 21
22132122121211121222--
-=--+⋅⋅⋅+++++=-- 621
221613<---=∴--n n n n T
12212252311--+⋅⋅⋅+++=n n n T ，}{n T ∴递增 ，且5211
216536>--=T 。

∴满足条件的最小的正整数M 的值为6.。