课时作业7：滚动训练(一)

滚动训练(一)
一、选择题
1．已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( )
A ．命题p 是真命题
B ．命题p 的逆命题是真命题
C ．命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”
D ．命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”
答案 B
解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题，
∴A 不正确；
命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题，
∴B 正确；
命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确；
命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确．
故选B.
2．下列命题中为真命题的是( )
A ．若x ≠0，则x ＋1x
≥2 B ．命题“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1”
C ．“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件
D ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0
答案 B
解析 选项A 中，当x 为负数时，不等式不成立，错误；选项B 中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C 中，由两直线垂直可得1－a 2＝0，即a ＝±1，则“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D 中，求含有一个量词的命题的否定时，要特别注意不等号的变化，错误．
3．已知p 和q 是两个命题，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 根据逆否命题的等价性知，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，故选A.
4．给出下列三个命题：
①“若x 2＋2x －3≠0，则x ≠1”为假命题；
②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；
③命题p ：∀x ∈R,2x ＞0，则綈p ：∃x ∈R,2x ≤0.
其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
解析 ①命题“若x ＝1，则x 2＋2x －3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确；②不正确．③根据含量词的命题的否定方式，可知命题③正确．
5．“x ＞1”是“12
log (2)x +＜0成立”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B 解析 由x ＞1，得x ＋2＞3，即12
log (2)x +＜0，即x ＋2＞1，得x ＞－1，故“x ＞1”是“12
log (2)x +＜0成立”的充分不必要条件．故选B.
6．已知p ：|x ＋1|＞2，q ：5x －6＞x 2，则綈p 是綈q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
7．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．[－2,0)
C ．(－2,0)
D ．(0,2) 答案 C
解析 由题意可知，若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题．命题p 为真命题，则m ＜0.命题q 为真命题，则m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.所以当命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.
8．设a ，b 都是非零向量，则在下列四个条件中，使a |a |＝b |b |
成立的充分条件是( ) A ．|a |＝|b |且a ∥b
B ．a ＝－b
C ．a ∥b
D ．a ＝2b
答案 D
解析 对于A ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于B ，当a ＝－b 时，a |a |
≠b |b |；对于C ，当a ∥b 时，a |a |与b |b |可能不相等；对于D ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |
.综上所述，使a |a |＝b |b |
成立的充分条件是a ＝2b ，故选D. 二、填空题
9．已知p ：x 2＋2x －3＞0；q ：13－x
＞1.若“(綈q )∧p ”为真命题，则x 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．
而当q 为真命题时，有x －2x －3
＜0，即2＜x ＜3， 所以当q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；
当p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，
解得x ＞1或x ＜－3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3.
10．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)
解析 因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，
所以若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，
则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，
所以Δ＝m 2－4＞0，且－m 2
＞0， 所以m ＜－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．
11．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．
答案 [4，＋∞)
解析 由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4，
若|x －3|≤m 有解，
则m ＞0(m ＝0时不符合已知条件)，
则－m ≤x －3≤m ，
得3－m ≤x ≤3＋m ，
设B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }．
∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，
∴p 是q 的充分不必要条件，
∴p ⇒q 成立，但q ⇒p 不成立，即A B ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ＜－1，
3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4，
即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞4，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥4，
m ＞1，得m ≥4，
故m 的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
12．判断下列各题中p 是q 的什么条件．
(1)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，q ：0＜a ＜4；
(2)p ：A B ，q ：A ∪B ＝B .
解 (1)∵当0＜a ＜4时，Δ＝a 2－4a ＜0，
∴当0＜a ＜4时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，故q ⇒p .
而当a ＝0时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，∴p ⇏q ，
∴p 是q 的必要不充分条件．
(2)∵A B ⇒A ∪B ＝B ，∴p ⇒q .
而当A ∪B ＝B 时，A ⊆B ，即q ⇏p ，
∴p 是q 的充分不必要条件．
13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3}，若“B 是A 的子集”是真命题，求实数n 的取值范围．
解 ①当B ＝∅，即n ＋1＞2n －3时，B ⊆A .
此时解得n ＜4.
②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1≤2n －3，n ＋1≥－1，
2n －3≤7，
解得4≤n ≤5.
综上所述，实数n 的取值范围是(－∞，5]．
四、探究与拓展
14．给出下列命题：
①若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件．其中正确的是( )
A ．①②
B ．①②③
C ．②③
D ．①③
答案 D
解析 在△ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，故①正确；S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错误；当A ＝B 时，可得出sin A ＝sin B ；在△ABC 中，当sin A ＝sin B 时，可得出A ＝B 或A ＋B ＝π(舍去)．故在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件，③正确．
15．已知c ＞0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )
＝x ＋1x ＞1c
恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围． 解 若命题p 为真，则0＜c ＜1；
若命题q 为真，因为2≤x ＋1x ≤52
， 要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12
. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 一真一假．
当p 真q 假时，c 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是[1，＋∞)．
综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)．。