3.8大数定律及中心极限定理
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§3.8 大数定律与中心极限定理
一. 大数定律 二. 中心极限定理
大数定律的客观背景
事件的频率在大样本下具有稳定性，即随着试验次数的 增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数. 大量测量值的平均值 也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
某字母使用 频率
n
lim P{|
1 1 X EX i | } 1 i n i 1 n i 1
n
n
契比雪夫
推论：在上述定理中，令 则有，
n
E X k
k 1,2,
1 n (X Xk ) n k 1
lim P{| X | } 1
切比雪夫大数定律表明，在一定条件下，n个随机变量的 算术平均值依概率收敛于常数。 即，当n充分大时，它几乎为常数，这为估计期望值提供了一 条切实可行的途径。
DX
np( 1 p ) 10000 0.7 0.3 45.83
P{ 6800 X 7200 } 7200 7000 6800 7000 45.83 45.83 4.36 4.36 2 4.36 1 0.99999
n
P a. 记 Xn
2、伯努利大数定律 定理1、 设nA是n重伯努利试验中事件A发生的 次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对任给的ε> 0， nA nA lim P{| p | } 0 lim P{| p | } 1 或 n n n n
定理4（林德伯格-列维中心极限定理 ）设随机变量 X1,X2,…,Xn,...相互独立，服从同一分布，且
E( X k ) , D( X k ) 2 0
则
k=1,2,…
定理本质，在一定条件下（独立、同分布、期望、方差存在），足 够多的随机变量的和近似服从正态分布.即
2 X ~ N n , n i i 1 n 近似
n X i n t2 x 1 2 i 1 lim P x e dx 0 x n n 2
标准化后并写成分布函数就得到上述定理的等式。
例1 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量 是一个变量，期望值是100g，标准差是10g，求一盒螺丝钉的重 量超过10.2kg的概率.
P92 （15） （16）
.
1 2 1 0.97725 0.02275
定理5： (棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn 服从二项分布B(n, p)，n=1,2,…,则对任意 x，有
Yn np np( 1 p ) x}
x
n
lim P{
1 e 2
伯努利
伯努利大数定律表明，事件的频率依概率收敛于事件的概 率，从而，在实际推断中，当试验次数较大时，可用事件 发生的频率近似代替概率. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法 .
3、切比雪夫大数定律
定理2：设 X1,X2, …是两两相互独立的随机变 量序列， 它们的期望E ( X k ) 和方差D X k 均存 在，且方差有共同的上界，即 D(Xk) ≤C， k=1,2, …， 则对任意的ε>0，
一、大数定律
大数定律是反映随机变量算术平均值具有稳定性的一组定律， 迄今为止，人们发现很多大数定律，所谓“大数定律”，简单来 说 就是大量数目的随机试验所呈现出的规律，这种规律一般用随 机变量序列的某种收敛性来判断。
1、依概率收敛 设是一列随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , ，若存在常数 a 对任 意 0 ，有 lim P X n a 1 ，则称 X n 依概率收敛 a .
辛钦
二 、中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成 的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的 作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服 从正态分布。 这种现象就是中心极限定理 的客观背景。 中心极限定理是描述大量随机变量的和服从 或近似服从正态分布的一类定理，它们也奠 定了正态分布在概率论中的重要地位
在切比雪夫定理中，去除“方差存在”的条件，增 加 “随机变量服从相同分布”，可得辛钦大数定律.
4、辛钦大数定律
定理3：设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，且数学期望 E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ， 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实 际可行的途径.
i 1,2,,100 解： 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量， 则 E X i 100 ，D X i 100
且它们之间独立同分布，所以，一盒螺丝钉的重量为
X Xi
i 1 100
则EX 10000 ，DX 10000
近似
2 X ~ N 10000 , 100 由中心极限定理得 X 10000 10200 10000 P PX 10200 100 100 X 10000 X 10000 P 2 1 P 2 100 100
Hale Waihona Puke t2 2dt ( x)
定理表明，当n很大(一般n≥50) 时， Yn近似服从
N(np,np(1-p)).
例3.设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着 的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算 同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
解：记同时开着的灯数为X，X ~B(10000,0.7) EX=np=100000.7=7000
一. 大数定律 二. 中心极限定理
大数定律的客观背景
事件的频率在大样本下具有稳定性，即随着试验次数的 增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数. 大量测量值的平均值 也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
某字母使用 频率
n
lim P{|
1 1 X EX i | } 1 i n i 1 n i 1
n
n
契比雪夫
推论：在上述定理中，令 则有，
n
E X k
k 1,2,
1 n (X Xk ) n k 1
lim P{| X | } 1
切比雪夫大数定律表明，在一定条件下，n个随机变量的 算术平均值依概率收敛于常数。 即，当n充分大时，它几乎为常数，这为估计期望值提供了一 条切实可行的途径。
DX
np( 1 p ) 10000 0.7 0.3 45.83
P{ 6800 X 7200 } 7200 7000 6800 7000 45.83 45.83 4.36 4.36 2 4.36 1 0.99999
n
P a. 记 Xn
2、伯努利大数定律 定理1、 设nA是n重伯努利试验中事件A发生的 次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对任给的ε> 0， nA nA lim P{| p | } 0 lim P{| p | } 1 或 n n n n
定理4（林德伯格-列维中心极限定理 ）设随机变量 X1,X2,…,Xn,...相互独立，服从同一分布，且
E( X k ) , D( X k ) 2 0
则
k=1,2,…
定理本质，在一定条件下（独立、同分布、期望、方差存在），足 够多的随机变量的和近似服从正态分布.即
2 X ~ N n , n i i 1 n 近似
n X i n t2 x 1 2 i 1 lim P x e dx 0 x n n 2
标准化后并写成分布函数就得到上述定理的等式。
例1 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量 是一个变量，期望值是100g，标准差是10g，求一盒螺丝钉的重 量超过10.2kg的概率.
P92 （15） （16）
.
1 2 1 0.97725 0.02275
定理5： (棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn 服从二项分布B(n, p)，n=1,2,…,则对任意 x，有
Yn np np( 1 p ) x}
x
n
lim P{
1 e 2
伯努利
伯努利大数定律表明，事件的频率依概率收敛于事件的概 率，从而，在实际推断中，当试验次数较大时，可用事件 发生的频率近似代替概率. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法 .
3、切比雪夫大数定律
定理2：设 X1,X2, …是两两相互独立的随机变 量序列， 它们的期望E ( X k ) 和方差D X k 均存 在，且方差有共同的上界，即 D(Xk) ≤C， k=1,2, …， 则对任意的ε>0，
一、大数定律
大数定律是反映随机变量算术平均值具有稳定性的一组定律， 迄今为止，人们发现很多大数定律，所谓“大数定律”，简单来 说 就是大量数目的随机试验所呈现出的规律，这种规律一般用随 机变量序列的某种收敛性来判断。
1、依概率收敛 设是一列随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , ，若存在常数 a 对任 意 0 ，有 lim P X n a 1 ，则称 X n 依概率收敛 a .
辛钦
二 、中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成 的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的 作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服 从正态分布。 这种现象就是中心极限定理 的客观背景。 中心极限定理是描述大量随机变量的和服从 或近似服从正态分布的一类定理，它们也奠 定了正态分布在概率论中的重要地位
在切比雪夫定理中，去除“方差存在”的条件，增 加 “随机变量服从相同分布”，可得辛钦大数定律.
4、辛钦大数定律
定理3：设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，且数学期望 E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ， 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实 际可行的途径.
i 1,2,,100 解： 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量， 则 E X i 100 ，D X i 100
且它们之间独立同分布，所以，一盒螺丝钉的重量为
X Xi
i 1 100
则EX 10000 ，DX 10000
近似
2 X ~ N 10000 , 100 由中心极限定理得 X 10000 10200 10000 P PX 10200 100 100 X 10000 X 10000 P 2 1 P 2 100 100
Hale Waihona Puke t2 2dt ( x)
定理表明，当n很大(一般n≥50) 时， Yn近似服从
N(np,np(1-p)).
例3.设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着 的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算 同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
解：记同时开着的灯数为X，X ~B(10000,0.7) EX=np=100000.7=7000