2016全国2卷高考文科数学试卷及问题详解

2021 年一般高等学校招生全一致考试
文科数学
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共24 题，共 150 分
第一卷
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。

〔 1〕会集A1,2,3， B x x 29，那么A B
〔〕
2, 1,0,1,2,3〔〕 1,0 ,1,2〔〕
1,2,3
〔
D
〕
1,2
A B C
〔 2〕设复数z满足z i 3 i ，那么z
〔 A〕〔3〕函数
1 2i〔B〕12i〔C〕32i〔D〕32i
y Asin( x) 的局部图像以以下图，那么y
2
〔 A〕y 2 sin(2x)〔B〕y 2 sin(2x)
63
〔 C〕y 2 sin(2x)〔 D〕y 2sin(2x)
63〔 4〕体积为8的正方体的极点都在同一球面上，那么该球面的表面积为
〔A〕12〔B〕32
〔C〕8〔D〕4
3
-
πOπx
63
-2
〔 5〕设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k
(k0)与C交于点P，PF
x 轴，那么
k
x
〔A〕1
〔B〕1〔C〕
3
〔D〕2 22
〔6〕圆x2y2
2
x
8
y
13 0 的圆心到直线
ax y 1 0
的距离为
1
，那么 a
〔A〕3〔 B〕3
3〔D〕2
〔C〕
4
〔 7〕右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的表
2 3
面积为
（A〕 20π
4
（B〕 24π
44（C〕 28π
（D〕32π
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〔 8〕某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯连续时间为40 秒．假设一名行人抵达该路口遇到红灯，那么最少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为开始
〔A〕7
〔B〕
5
〔C〕
3
〔D〕
3
输入 x,n 108810
〔 9〕中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，假设输入的
x 2 ，n2,依次输入的a为 2，2，5，那么输出的s k 0, s0〔A〕7〔 B〕12〔C〕17〔D〕34
〔 10〕以下函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是输入 a 〔 A〕y x〔 B〕y lg x〔 C〕y2x〔 D〕y1s s x a
x k k1
〔 11〕函数f x)cos 2x〔x〕的最大值为
( 6 cos
2
否k n
〔A〕4〔B〕 5〔C〕 6〔D〕7是〔 12〕函数f ( x) (x R) 满足 f ( x) f (2x) ，假设函数 y x 22x 3 与输出 s
m
y f (x) 图像的交点为 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),,( x m , y m ) ，那
么x i结束
i 1
〔A〕0〔 B〕m〔 C〕2m〔 D〕4m
第二卷
本卷包括必考题和选考题两局部。

第(13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必定作答。

第(22) ～ (24) 题为选考题，考生依照要求作答。

二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分。

〔 13〕向量a(m,4)， b(3,2)，且 a∥ b，那么
m．
x y10,
〔 14〕假设x, y满足拘束条
件x y30, 那么
z x 2 y 的最小值为．
x30,
〔 15〕△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b,c ，假设cosA
4 , cosC 5, a 1，那么b．
513
〔 16〕有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不
是 1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上的数字是．
三、解答题：解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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〔 17〕〔本小题总分值12 分〕
等差数列a n中，且 a3a4 4 ， a5a7 6 ．
〔Ⅰ〕求a n的通项公式；
〔Ⅱ〕记 b n a n，求数列b n的前10项和，其中x表示不高出x 的最大整数，如0 ， 2 ．
〔 18〕〔本小题总分值12 分〕
某险种的根本保费为 a 〔单位：元〕，连续购置该险种的投保人称为续保人，续保人的今年度的保费与其上年度的出险次数的关系以下：
上年度出险次数
保费012345 a2a
随机检查了设该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，获取以下统计表：
出险次数概数012345 605030302010
〔Ⅰ〕记 A为事件：“一续保人今年度的保费不高于根本保费〞．求P( A)的估计值；
〔Ⅱ〕记 B 为事件：“一续保人今年度的保费高于根本保费但不高于根本保费的160%〞．求P(B)的估计值；〔Ⅲ〕求续保人今年度平均保费的估计值．
D′
〔 19〕〔本小题总分
值12 分〕
如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点
O ，点 E, F 分别在 AD,CD 上，AE CF ，EF
A E
交BD于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF D
的地址 .
H O
〔Ⅰ〕证明：AC H D ；B
F C
〔Ⅱ〕假设
AB5， AC 6， AE 5
2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积．
，OD 2
4
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〔 20〕〔本小题总分值12 分〕
函数 f ( x) ( x 1) ln x a ( x1) ．
〔Ⅰ〕当 a 4时，求曲线y f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设当x (1, ) 时， f (x)0 ，求a的取值范围．
〔 21〕〔本小题总分值 12 分〕
A是椭圆 E ：x
2y21的左极点，斜率为 k(k0) 的直线交E于 A,M 两点，点 N 在E 43
上， MA NA.
〔Ⅰ〕当AM AN 时，求△ AMN 的面积；
〔Ⅱ〕当 2 AM AN 时，证明：3k 2 .
请考生在第〔22〕～〔 24〕题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分。

〔 22〕〔本小题总分值10 分〕选修4-1 ：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD 中， E,G 分别在边 DA, DC 上〔不与端点重合〕，且 DE DG,过D点作 DF CE,垂足为 F .
G
D C
E F
〔Ⅰ〕证明：B,C,G, F 四点共圆；
〔Ⅱ〕假设AB 1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积 .A B
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〔 23〕〔本小题总分
值10 分〕选修4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆
C的方程为( x 6)2y 225 .
〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
〔Ⅱ〕直线 l 的参数方程是x t cos ,
〔 t 为参数〕， l 与 C 交于 A, B 两点， AB10 ，求 l 的斜率.
y t sin,
〔 24〕〔本小题总分值10 分〕选修4-5 ：不等式选讲
1
x 1
f (x)
2的解
集.
函数 f (x) x， M 为不等式
22
〔Ⅰ〕求 M ；
〔Ⅱ〕证明：当 a,b M 时， a b 1 ab .
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2021 年全国卷Ⅱ高考数学〔文科〕答案一.选择题
〔1〕D〔2〕 C〔3〕 A〔4〕 A〔5〕 D〔6〕 A
〔7〕 C〔8〕 B〔9〕 C〔10〕 D〔11〕 B〔12〕 B 二．填空题
(13)6(14) 5〔 15〕21
〔16〕1 和 3 13
三、解答题
〔 17〕 (本小题总分
值12 分)
(Ⅰ ) 设数列a n的公差为d，由题意有2a15d4, a15d3，解得 a1 1,d 2，5
因此
a n的通项公式为 a n 2n3
5.
〔Ⅱ〕由 (Ⅰ ) 知b n2n 3 ，
5
当 n=1,2,3 时，
2n3
2, b n 1 ；1
5
当 n=4,5 时，22n3
3, b n 2 ；5
当 n=6,7,8 时，
2n3
4, b n3；3
5
2n3
5,b n 4 ，
当 n=9,10 时，4
5
因此数列b n的前 10项和为1 3 2 2 33 4 224 .
〔 18〕 (本小题总分
值12 分)
(Ⅰ)事件 A发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为6050
0.55 ，
200
故 P(A)的估计值为 0.55.
〔Ⅱ〕事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由是给数据知，一年内出险次数大于 1 且
小于 4 的频率为30
300.3 ，200
故 P(B) 的估计值为0.3.
( Ⅲ ) 由题所求分布列为：
保费a2a 文案大全
频率
检查 200 名续保人的平均保费为
1.1925a ，
因此，续保人今年度平均保费估计值为 1.1925a.（19〕〔本小题总分值 12 分〕
（I〕由得，AC BD , AD CD .
又由 AE CF得AE CF
，故 AC / /EF. AD CD
由此得 EF HD ,EF HD ，因此AC / /HD ..
〔II〕由EF / /AC得OH
AE 1 . DO AD4
由 AB 5,AC6得
DO BO AB 2AO 2 4.
因此 OH1,D H DH 3.
于是OD2OH 2(22)2 129DH2,故OD OH .由〔 I〕知AC HD ，又 AC BD,BD HD H ，
因此 AC平面 BHD , 于是 AC OD .
又由 OD OH,AC OH O ，因此， OD平面 ABC.
又由EF DH
得EF9 . AC DO2
五边形 ABCFE 的面积S 1
8
1969 6
2
3. 224
因此五棱锥 D 'ABCEF 体积V169 2 223 2 .
342〔 20〕〔本小题总分值 12
分〕
〔 I〕f (x)的定义域为(0,) .当 a 4 时，
f ( x) ( x1)ln x4( x1), f(x)ln x 1
， f(1) 2, f (1) 0. 曲线 y f (x) 在 (1, f (1)) 处3
x
的切线方程为 2x y20.
〔 II〕当x(1,) 时， f ( x)0
a( x1)
等价于 ln x x10.
令 g( x) ln x a( x1) ，那么
x1
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g ( x)12a x22(1a) x 1
, g (1)0 ，
x( x 1) 2x( x1)2
〔 i〕当a 2 ，x(1,) 时，x22(1 a)x 1 x22x10 ，故 g (x)0, g( x) 在 x (1, )上单调递加，因此g ( x)0 ；
〔 ii〕当a 2 时，令g (x)0得
x1 a 1(a 1)2 1, x2 a 1(a 1)2 1 ，
由 x2 1 和 x1 x2 1 得 x1 1 ，故当 x(1, x2 ) 时， g ( x)0， g( x) 在 x(1,x2 ) 单调递减，因此g(x) 0 .
综上， a 的取值范围是,2 .
〔 21〕〔本小题总分值12 分〕
〔Ⅰ〕设 M ( x1 , y1) ，那么由题意知y10 .
由及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为，
4
又 A(2,0) ，因此直线AM的方程为 y x 2 .
将 x y 2 代入x
2
y2 1 得 7 y212 y0 ，43
解得 y 0
或y
12
，因此 y1
12
7
.
7
因此AMN 的面积S AMN211212144.
27749
〔 II〕将直线AM的方程y k( x2)(k0)代入 x2y2 1 得
43
(34k 2 ) x216k 2 x 16k2120.
由 x1(2)16 k 212得 x12(34k
2
)
，故 | AM |1k 2| x1 2 |121k 2.
34k234k234k2
由题设，直线AN 的方程为y 1
(x2) ，故同理可得|AN |12k1k 2. k43k 2
由2|AM | |AN|得
3
2
4
k，即 4k 36k 23k 8 0 . 4k 23k 2
设 f (t ) 4t 36t 23t 8 ，那么k是 f (t ) 的零点， f
'(t)12t 212t33(2t1)20 ，
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因此 f (t) 在 (0,) 单调递加，又 f ( 3)15 326 0, f (2)60 ，因此 f (t) 在 (0,) 有唯一的零点，且零点k 在(3, 2) 内，因此3k 2 .〔 22〕〔本小题总分值10 分〕
〔 I〕因为DF EC ,因此DEF CDF ,
那么
有GDF DEF FCB, DF
DE DG , CF CD CB
因此DGF CBF , 由此可得DGF CBF ,
由此CGF CBF1800 ,因此 B,C,G, F 四点共圆.
〔 II〕由B, C, G, F四点共圆，CG CB知FG FB ，连结 GB ，由 G 为Rt DFC斜边CD的中点，知GF GC,故Rt BCG Rt BFG ,
因此四边形 BCGF 的面积 S 是GCB 面积 S GCB的2倍，即
S 2S
GCB211 1 1 .
222
〔 23〕〔本小题总分
值10 分〕
〔 I〕由x cos , y sin可得 C 的极坐标方程212cos11 0.
〔 II〕在〔 I〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(R)
由 A, B 所对应的极径分别为1,2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得
2
12cos110.
于是1212cos ,1211,
|AB| |1 2 |
(12 )24 1 2144cos244,
由|AB|10得 cos23
, tan15，83
因此 l 的斜率为15 或15.
3 3 （24〕〔本小题总分值 10 分〕
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〔 I 〕先去掉绝对值，再分
x
1 1 x
1 1 ；〔 II 〕采用
，
2
和 x
三种情况解不等式，即可得
2
2
2
平方作差法，再进行因式分解，进而可证当
a ，
b 时， a b 1 ab ．
2x, x 1 ,
2 试题剖析：〔 I 〕 f (x)
1,
1
x
1 , 2
2
2 x, x 1 .
2
当 x 1
时，由 f ( x) 2 得 2x 2, 解得 x
1；
2
当
1 x
1
2 ；
2
时， f (x)
2
当 x
1
时，由 f (x)
2 得 2x
2, 解得 x
1.
2
因此 f ( x) 2的解集 M { x | 1 x 1} .
〔 II 〕由〔 I 〕知，当 a, b M 时，
1 a 1,
1 b 1，进而
(a b)2 (1 ab)2
a 2
b 2
a 2
b 2 1 (a 2
1)(1 b 2 ) 0 ，
因此 | a b | |1 ab |.
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