自动控制原理课后习题答案,第三章(西科技大学)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提示： • 阶跃响应为 解： d
c(t ) 1
1
e
n t
1
2
sin(d t )(t 0)
1.6，
1 2
1.25，n 1.2 1.6 1.25 2， 0.6
n
d
1 2
s% e
1 2
tp 1.96s d
10 K 斜坡输入时： K v lim sG ( s ) s 0 10 1 ess 1 Kv 0.25 得：10 1 2.5K 稳态误差：
与二阶系统的典型形式对比，有
10 1 2n 10K
得：K=1.6，= 0.3，n=4
闭环传递函数为
(2)
则辅助方程的解为
s1.2 1
s3.4 5 j
劳斯表第一列出现了负数，系统不稳定。第一列元素符号变 化一次，可知系统存在一个s右半平面的特征根。系统有一 共轭纯虚根±5 j。
K (0.5s 1) 3-11 已知单位反馈系统的开环传函为G ( s) 2 s(s 1)(0.5s s 1) 试确定系统稳定时的K值范围。
系统稳定的 K 范围为 0 < K < 1.708。
100 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 G பைடு நூலகம் s ) s ( s 10) 试求：
(1) 位置误差系数Kp，速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka； (2) 当参考输入 r(t) = 1+ t + at2 时，系统的稳态误差。
解：(1)
-50
48
0 0 0 8 96 8 48 2 96 8 ( 50 ) 2 0 2 24 50 s 8 8 0 s1 24 96 8 ( 50 ) 112 .7 24 0 s -50
用全零行的上一行的系数构成辅助方程：A(s) =2s4 + 48s2
求系统单位阶跃响应过渡过程的上升时间 tr、峰值时间 tp、超调量s%和调节时间ts。
G( s) 1 解： 闭环系统传递函数为 ( s ) 2 1 G( s) s s 1
与二阶系统传递函数标准形式比对，得：
n 1 n 1, 0.5 2n 1 arccos tr 2.42s 2 d n 1
tp 0.91s d n 1 2 4 1 0.52
3 ts 1.5s( 5%) n 0.5 4 4 4 ts 2s( 2%) n 0.5 4 3
10K 16 ( s ) 2 2 s (10 1) s 10K s 4s 16
100% 9.5%
ts 3
n
2.5s( 5%)
3-9(1) 设系统特征方程为 3s4 + 10s3 + 5s2 + s + 2 = 0；试用 劳斯稳定判据判别系统稳定性，并确定在右半平面根的个 数及纯虚根。
解：列出劳斯表 4
s 3 s 2 s s
0
3
5 1
2 0
10 2 3 0 10 5 3 1 4. 7 2 10 10 1 4.7 1 10 2 0 3.26 s 4.7
100 G(s) (0.1s 1)( s 5)
ess ess1 ess 2 ess3
输入分别为r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差
50 (2) G ( s) s(0.1s 1)(s 5)
50 解： K lim G ( s ) lim p s 0 s 0 s (0.1s 1)( s 5) 50 Kv lim sG(s) lim 10 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 50s 2 K a lim s G(s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 4 2 ess1 0 ess 2 (r 2t ) 0.2 ess 3 1 K p Kv Ka
解： 系统的闭环传递函数为
G( s) 0.5Ks 1 ( s ) 4 3 2 1 G( s) 0.5s 1.5s 2s (1 0.5K ) s K
系统特征方程：2D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0
2D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0
3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数，试求输入分别为 r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差。
(1)
100 解：K p lim G( s) lim 20 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 100s Kv lim sG( s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 100s 2 Ka lim s G(s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 2 2 4 ess1 ess 2 (r 2t ) ess 3 1 K p 21 Kv Ka
10(2s 1) G(s) 2 2 s ( s 6s 100)
2 2 ess1 0 ess 2 (r 2t ) 0 1 K p Kv ess ess1 ess 2 ess3 40
4 ess 3 40 Ka
10 s(s 1) 10K 解：(1)开环传递函数 G( s) K 1 10 s s(s 1) s(s 10 1)
K2
C(s)
K1 s K1 1 K2 ( s ) 1 K1K2 s s K1K2 s K1K2 1
闭环增益 调节时间
1 K 2 K2 3 t s 3T 0.4 K1 K 2
得：K 得：
2
0.5
K1 15
3-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s) 1 s(s 1)
练1：系统结构图如图所示。已知系统单位阶跃响应的超调 量s%16.3%，在单位斜坡输入时ess=0.25。 C(s) R(s) 10 (1)试求：、K及的值； K s ( s 1) (2)计算单位阶跃响应的 s 调节时间ts、峰值时间tp。
G( s) 10K 闭环传递函数 ( s) 2 1 G( s) s (10 1) s 10K 1 2 s% e 16.3% 得： 0.5
由劳斯稳定判据可知稳定的 条件是 200 K
系统特征方程：D(s) = s3 + 8s2 + 25s + K = 0
列出劳斯表
s 2 s 1 s 0 s
3
1
25 K 0
8
200 K 8
K
系统稳定的 K 范围为 0 < K < 200。
8 K 0
0
(2) 系统是 I 型系统
s
3
– 50，对s求导，得：A(s)/ds = 8s3 + 96s
解辅助方程 A(s) = 2s4 + 48s2 – 50 = 0
可得共轭纯虚根：令 s2 = y，则
A(s) = 2s4 + 48s2 – 50 = 2(y2 + 24y - 25) = 0
解方程得：
24 676 y 12 13 1， 25 2
2
参考输入 r(t) = 1+ t + at2
100 (2) 由系统开环传递函数 G ( s ) 可知，这是一个I型 s( s 10) 系统。
或
1 ess 0 Kv 1 r1(t) = 1(t)时， ess 1 0 1 K p 1 1 r2(t) = t 时， ess 2 0.1 K v 10 2a 2 r3(t) = at 时， ess 3 Ka 由叠加定理： e e e e ss ss1 ss 2 ss 3
K 当r(t)=2t 时， K v lim sG ( s ) s 0 25
稳态误差： 得：
1 50 ess 0.5 Kv K
100 K 200
。
K 100
系统必须是稳定的，因此有
第3章 线性系统的时域分析
作业题： 3-2、3-3、3-9、3-11、3-15 、3-17 练习题： 3-4、练1、练2
3-2 一阶系统结构图如图所示。要 R(s) 求系统闭环增益 K 2 ，调节时间 ts 0.4 s，试确定参数 K1，K2 的值。
解：由结构图写出闭环系统传递函数
K1 s
K 练2：已知单位负反馈系统的开环传递函数G( s ) 2 ， s( s 8s 25)
试根据下述要求确定 K 的取值范围。 (1)使闭环系统稳定； (2)当r(t)=2t时，其稳态误差ess≤0.5 。
解：(1)闭环传递函数
G( s ) K ( s) 3 2 1 G( s) s 8s 25s K
ess ess1 ess 2 ess3
输入分别为r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差
(3)
10(2s 1) 解：K lim G ( s ) lim p 2 2 s 0 s 0 s ( s 6 s 100) 10(2s 1) Kv lim sG( s) lim 2 s 0 s 0 s ( s 6 s 100) 10(2s 1) 2 K a lim s G ( s ) lim 2 0.1 s 0 s 0 s 6 s 100
2
tp 3.63s d n 1 2
s% e
3
1 2
100% 16.3%
3 ts 6s( 5%) n 0.5 1 4 ts 8s( 2%) n 0.5 1 4
3-4 已知典型二阶系统单位阶跃响应 h(t) = 1- 1.25 e-1.2t sin(1.6t + 53.1o)，求系统超调量、峰值时间和调节时间。
100 K p lim G( s) H ( s) lim s 0 s 0 s ( s 10)
100 K v lim sG ( s) H ( s) lim 10 s 0 s 0 s 10
100 s K a lim s G ( s) H ( s ) lim 0 s 0 s 0 s 10
列出劳斯表
s 3 s 2 s
4
1
3
4 2+K 2K
2K
s
s
(10 K )(2 K ) 1 6K 3 K 10 3 0
2K
K 10 3
0
K 10 3 0 6 K (10 K )(2 K ) 3 0 K 10 3 2 K 0 2 K 0
2
10
劳斯表第一列出现了负数，系统不稳定。且第一列元素 符号变化两次，可知系统存在两个s右半平面的特征根。
3-9(2) 设系统特征方程为 s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0；试用 劳斯稳定判据判别系统稳定性，并确定在右半平面根的个 数及纯虚根。
解：列出劳斯表
s s4
5
1 2
24
-25
c(t ) 1
1
e
n t
1
2
sin(d t )(t 0)
1.6，
1 2
1.25，n 1.2 1.6 1.25 2， 0.6
n
d
1 2
s% e
1 2
tp 1.96s d
10 K 斜坡输入时： K v lim sG ( s ) s 0 10 1 ess 1 Kv 0.25 得：10 1 2.5K 稳态误差：
与二阶系统的典型形式对比，有
10 1 2n 10K
得：K=1.6，= 0.3，n=4
闭环传递函数为
(2)
则辅助方程的解为
s1.2 1
s3.4 5 j
劳斯表第一列出现了负数，系统不稳定。第一列元素符号变 化一次，可知系统存在一个s右半平面的特征根。系统有一 共轭纯虚根±5 j。
K (0.5s 1) 3-11 已知单位反馈系统的开环传函为G ( s) 2 s(s 1)(0.5s s 1) 试确定系统稳定时的K值范围。
系统稳定的 K 范围为 0 < K < 1.708。
100 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 G பைடு நூலகம் s ) s ( s 10) 试求：
(1) 位置误差系数Kp，速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka； (2) 当参考输入 r(t) = 1+ t + at2 时，系统的稳态误差。
解：(1)
-50
48
0 0 0 8 96 8 48 2 96 8 ( 50 ) 2 0 2 24 50 s 8 8 0 s1 24 96 8 ( 50 ) 112 .7 24 0 s -50
用全零行的上一行的系数构成辅助方程：A(s) =2s4 + 48s2
求系统单位阶跃响应过渡过程的上升时间 tr、峰值时间 tp、超调量s%和调节时间ts。
G( s) 1 解： 闭环系统传递函数为 ( s ) 2 1 G( s) s s 1
与二阶系统传递函数标准形式比对，得：
n 1 n 1, 0.5 2n 1 arccos tr 2.42s 2 d n 1
tp 0.91s d n 1 2 4 1 0.52
3 ts 1.5s( 5%) n 0.5 4 4 4 ts 2s( 2%) n 0.5 4 3
10K 16 ( s ) 2 2 s (10 1) s 10K s 4s 16
100% 9.5%
ts 3
n
2.5s( 5%)
3-9(1) 设系统特征方程为 3s4 + 10s3 + 5s2 + s + 2 = 0；试用 劳斯稳定判据判别系统稳定性，并确定在右半平面根的个 数及纯虚根。
解：列出劳斯表 4
s 3 s 2 s s
0
3
5 1
2 0
10 2 3 0 10 5 3 1 4. 7 2 10 10 1 4.7 1 10 2 0 3.26 s 4.7
100 G(s) (0.1s 1)( s 5)
ess ess1 ess 2 ess3
输入分别为r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差
50 (2) G ( s) s(0.1s 1)(s 5)
50 解： K lim G ( s ) lim p s 0 s 0 s (0.1s 1)( s 5) 50 Kv lim sG(s) lim 10 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 50s 2 K a lim s G(s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 4 2 ess1 0 ess 2 (r 2t ) 0.2 ess 3 1 K p Kv Ka
解： 系统的闭环传递函数为
G( s) 0.5Ks 1 ( s ) 4 3 2 1 G( s) 0.5s 1.5s 2s (1 0.5K ) s K
系统特征方程：2D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0
2D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0
3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数，试求输入分别为 r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差。
(1)
100 解：K p lim G( s) lim 20 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 100s Kv lim sG( s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 100s 2 Ka lim s G(s) lim 0 s 0 s 0 (0.1s 1)( s 5) 2 2 2 4 ess1 ess 2 (r 2t ) ess 3 1 K p 21 Kv Ka
10(2s 1) G(s) 2 2 s ( s 6s 100)
2 2 ess1 0 ess 2 (r 2t ) 0 1 K p Kv ess ess1 ess 2 ess3 40
4 ess 3 40 Ka
10 s(s 1) 10K 解：(1)开环传递函数 G( s) K 1 10 s s(s 1) s(s 10 1)
K2
C(s)
K1 s K1 1 K2 ( s ) 1 K1K2 s s K1K2 s K1K2 1
闭环增益 调节时间
1 K 2 K2 3 t s 3T 0.4 K1 K 2
得：K 得：
2
0.5
K1 15
3-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s) 1 s(s 1)
练1：系统结构图如图所示。已知系统单位阶跃响应的超调 量s%16.3%，在单位斜坡输入时ess=0.25。 C(s) R(s) 10 (1)试求：、K及的值； K s ( s 1) (2)计算单位阶跃响应的 s 调节时间ts、峰值时间tp。
G( s) 10K 闭环传递函数 ( s) 2 1 G( s) s (10 1) s 10K 1 2 s% e 16.3% 得： 0.5
由劳斯稳定判据可知稳定的 条件是 200 K
系统特征方程：D(s) = s3 + 8s2 + 25s + K = 0
列出劳斯表
s 2 s 1 s 0 s
3
1
25 K 0
8
200 K 8
K
系统稳定的 K 范围为 0 < K < 200。
8 K 0
0
(2) 系统是 I 型系统
s
3
– 50，对s求导，得：A(s)/ds = 8s3 + 96s
解辅助方程 A(s) = 2s4 + 48s2 – 50 = 0
可得共轭纯虚根：令 s2 = y，则
A(s) = 2s4 + 48s2 – 50 = 2(y2 + 24y - 25) = 0
解方程得：
24 676 y 12 13 1， 25 2
2
参考输入 r(t) = 1+ t + at2
100 (2) 由系统开环传递函数 G ( s ) 可知，这是一个I型 s( s 10) 系统。
或
1 ess 0 Kv 1 r1(t) = 1(t)时， ess 1 0 1 K p 1 1 r2(t) = t 时， ess 2 0.1 K v 10 2a 2 r3(t) = at 时， ess 3 Ka 由叠加定理： e e e e ss ss1 ss 2 ss 3
K 当r(t)=2t 时， K v lim sG ( s ) s 0 25
稳态误差： 得：
1 50 ess 0.5 Kv K
100 K 200
。
K 100
系统必须是稳定的，因此有
第3章 线性系统的时域分析
作业题： 3-2、3-3、3-9、3-11、3-15 、3-17 练习题： 3-4、练1、练2
3-2 一阶系统结构图如图所示。要 R(s) 求系统闭环增益 K 2 ，调节时间 ts 0.4 s，试确定参数 K1，K2 的值。
解：由结构图写出闭环系统传递函数
K1 s
K 练2：已知单位负反馈系统的开环传递函数G( s ) 2 ， s( s 8s 25)
试根据下述要求确定 K 的取值范围。 (1)使闭环系统稳定； (2)当r(t)=2t时，其稳态误差ess≤0.5 。
解：(1)闭环传递函数
G( s ) K ( s) 3 2 1 G( s) s 8s 25s K
ess ess1 ess 2 ess3
输入分别为r(t) = 2t 和 r(t) = 2 + 2t + 2t2时，系统的稳态误差
(3)
10(2s 1) 解：K lim G ( s ) lim p 2 2 s 0 s 0 s ( s 6 s 100) 10(2s 1) Kv lim sG( s) lim 2 s 0 s 0 s ( s 6 s 100) 10(2s 1) 2 K a lim s G ( s ) lim 2 0.1 s 0 s 0 s 6 s 100
2
tp 3.63s d n 1 2
s% e
3
1 2
100% 16.3%
3 ts 6s( 5%) n 0.5 1 4 ts 8s( 2%) n 0.5 1 4
3-4 已知典型二阶系统单位阶跃响应 h(t) = 1- 1.25 e-1.2t sin(1.6t + 53.1o)，求系统超调量、峰值时间和调节时间。
100 K p lim G( s) H ( s) lim s 0 s 0 s ( s 10)
100 K v lim sG ( s) H ( s) lim 10 s 0 s 0 s 10
100 s K a lim s G ( s) H ( s ) lim 0 s 0 s 0 s 10
列出劳斯表
s 3 s 2 s
4
1
3
4 2+K 2K
2K
s
s
(10 K )(2 K ) 1 6K 3 K 10 3 0
2K
K 10 3
0
K 10 3 0 6 K (10 K )(2 K ) 3 0 K 10 3 2 K 0 2 K 0
2
10
劳斯表第一列出现了负数，系统不稳定。且第一列元素 符号变化两次，可知系统存在两个s右半平面的特征根。
3-9(2) 设系统特征方程为 s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0；试用 劳斯稳定判据判别系统稳定性，并确定在右半平面根的个 数及纯虚根。
解：列出劳斯表
s s4
5
1 2
24
-25