四川大学大二公共课专业高等数学竞赛模拟试题及答案2

四川大学高等数学竞赛模拟试题〔四〕
一、 填空题〔每题5分，共50分〕
1．假设),99100()23)(12()(---=x x x x x f 则=')0(f 。

2．当x 大于
21趋向于21时，x arccos 3-π与b
x a )2
1(-为等价无穷小，则=a ，=b 。

3．函数3
2
z xy u =在点)1,2,1(-处沿曲面22
82
22
=++z y x 的外法向的方向导数为 。

4．级数
∑∞
=+1
2)1(1
n n
n 的和等于 。

5．设函数0>ϕ且可微，计算由曲面0)()()()(=-+-y b z x a z ϕϕ与柱面2
2
2
c y x =+及平面)0,0,0(0>>>=c b a z 所围的空间区域的体积=V 。

6．椭球面1422
22=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离= 。

7．设1
lim )(2212+++=-∞→n n n x x
x x x f λ 是连续函数，则=λ 。

8．⎰
∞
+-= 0
7
2
dx e
x x 。

9．
dx x y dy y ⎰
⎰
-1
22
)1cos( = 。

10．直线l 过点)0,2,1(-M 且与两条直线⎩⎨⎧=+-=+5312:1z y x z x l ，⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+-=3
412z t y t
x 垂直，则l 的参
数方程为 。

二、〔每题6分，共18分〕 1．计算
dxdy y x y x y x ⎰⎰
≤
+⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+--16
3
222222
)(2,163min
2．设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和
F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
dx
dz
dx dy ,。

3．证明：
11)21ln(1
0 4
4
<+<+⎰
x
dx 。

三、〔7分〕求极限⎰⎰⎰
≤+++∞→++2
222)32(1lim 2225
t z y x t dxdydz z y x t
四、〔7分〕当)0(>k 取何值时，曲线⎪⎩⎪
⎨⎧=+=y z x ky
x 22
2
2是圆？并求此圆的圆心坐标以及该圆在zox 平面，yoz 平面上的投影。

五、〔9分〕 （1） 判别级数
∑
∞
=-1
)1(n n
n
的敛散性；
（2） 假设当∞→n 时，n a 与
n
1为等价无穷小，试问交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 是否一定收
敛？假设收敛，证明之；假设未必收敛，举一发散的例子。

六、〔9分〕设函数)(x f 在闭区间]1,0[上有连续的导数，M x f <'|)(|，
证明：⎰
∑=≤-1
12|)(1)(|n k n
M
n k f n dx x f 。

高等数学竞赛模拟试题〔四〕参考答案
一. 填空题〔每题4分，共40分〕
1．假设),99100()23)(12()(---=x x x x x f 则=')0(f 99!-。

2．设ϕϕ,),,()(1f y
x
xy y xy f x z +=分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则
=∂∂∂y x z 2 2111222
2x
yf y xy y ϕϕϕ''++-。

3．函数3
2
z xy u =在点)1,2,1(-处沿曲面22
82
22
=++z y x 的外法线方向的方向导数为。

4．级数
∑∞
=+1
2)1(1
n n
n 的和等于2ln 21-。

5．设函数0>ϕ且可微，计算由曲面0)()()()(=-+-y b z x a z ϕϕ与柱面2
2
2
c y x =+及平面)0,0,0(0>>>=c b a z 所围的空间区域的体积=
V 21
()2
a b c π+。

6．椭球面1422
22=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离=
6。

7． 设(,)f x y 可微，(1,2)2,(1,2)3,(1,2)4,()(,(,2))x y f f f x f x f x x ϕ====，则
31
d ()d x x x
ϕ==564。

8．2
7 0
e d x x x +∞
-=⎰
3。

9．
2
1
2 0
d cos(1)d y y y x x -⎰
⎰
=
sin1
4。

10．由曲线⎩
⎨⎧==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处的指向外侧
的单位法向量为
⎧⎨⎩。

二、〔每题7分，共21分〕
1
．计算2222316
min 2()d d x y x y x y +≤
⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰
解：
22222222
3116
8
min 2()d d 2()d d x y x y x y x y x y x y +≤+≤
⎫⎪+=+⎬⎪⎭⎰⎰⎰⎰
2222300013
816
d 2d d d d x y x y ππϕρρϕρ≤+≤+
=+⎰⎰
⎰⎰
5
64
96
192
π
π
π=
+
=
2．设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和
F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
d d ,d d y z
x x。

解：
123d d d d 1,0d d d d z y y z f x f F F F x x x x ⎛⎫
'=++++= ⎪⎝⎭
，解得 133221
23
23
d d ,d d F f F xf F f F xf F xf F y
z x F xf F x F xf F '''+++-=-=''++ 3．证明：
1
0ln(11+<
<⎰。

证：
1
1
1
1
1
0 0
0 0
d 1,
x <=>=⎰
⎰⎰
⎰
⎰
(
1
ln ln(1x ==+
三、〔7分〕求极限2222
2225
1
lim
(23)d d d t x y z t x y z x y z t →+∞++≤++⎰⎰⎰
解：22222222
2222225
5
11lim
(23)d d d 2lim
()d d d t t x y z t x y z t x y z x y z x y z x y z t t →+∞→+∞++≤++≤++=++⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
245
001
8
2lim d sin d d 5
t
t t
ππ
ϕθθρρπ→+∞==⎰
⎰⎰
四、〔7分〕当)0(>k 取何值时，曲线22
22
z ky
x z y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩是圆？并求此圆的圆心坐标以及该圆
在zox 平面，yoz 平面上的投影。

解：曲线在xOy 平面上的投影曲线为222
2020x k y y z ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，即2
222411
21
y x k k k z ⎧⎛
⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎨⎪⎪
=⎩， 为一椭圆，中心为210,
,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此为圆心的投影，因此圆心为2110,,C k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，而该椭圆的两
轴端点21(0,0,0),,0k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，对应圆上的点为211(0,0,0),,A B k k k ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，则半径应为
,
1r AC BC k k
====，圆心为()0,1,1C ，圆在zOx 平面上的投影为 2
2(1)1
2
x z y ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩
，圆在yOz 平面上的投影为一线段：,020y z z x =≤≤⎧⎨=⎩。

五.〔9分〕〔1〕。

判别级数
∑
∞
=-1
)1(n n
n
的敛散性；
(2)。

假设当∞→n 时，n a 与
n
1为等价无穷小，试问交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 是否一定收敛？
假设收敛，证明之；假设未必收敛，举一发散的例子。

解：〔1〕由Leibniz 判别法得知级数
∑
∞
=-1
)1(n n
n
收敛。

〔2〕
不一定。

如1
(1)n n a n =
-
，则lim 11n n a →∞=
，111(1)n n
n n n a n ∞
∞
==⎛⎫
-=+⎪⎭∑∑， ∑
∞
=-1
)1(n n
n 收敛，11n n ∞
=∑
发散，所以111(1)n n
n n n a n ∞∞
==⎫-=+⎪⎭∑∑发散。

六．〔8分〕讨论级数 +-+-+-
p p p 61
5
14131211的敛散性〔其中p 为常数〕。

解：当1
2p =
时，由Leibniz
判别法得知级数1++收敛。

当0p ≤时，级数的一般项不趋于零，级数发散。

当1
02
p <<
时，考虑级数
1
11111
1(*),
024(2)
(2)
212p p
p
p
n n n n ⎛⎫
⎛⎛-------> ⎪ +⎝⎝⎝⎭，
1
2p n p
n →∞=，11p n n
∞
=∑发散，因此级数〔*〕发散，故原级数发散。

当12p >
时，考虑级数11111(**)24(2)
2
1p p p n n
⎛⎫
⎫⎛
⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎭⎝⎭
，
1
1
0,1,
(2)
p n n n ∞
→∞=>=发散，因此级数〔**〕发散，故原级数发散。

原级数当且仅当1
2
p =时收敛，其余皆发散。

七．〔8分〕计算积分
111
d I x y -=
⎰
⎰
⎰
解：112cos 4
1
d d sin d d I x y ππ
θϕθθρρ-=
=⎰
⎰
⎰⎰⎰
12
sin 2
4
421d sin d d 1d 342sin π
ππ
θπππϕθθρρπθθ⎛
+=-+
⎝⎭
⎰
⎰⎰
⎰(21
ln 1362π⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
或：11
11
1
d d d
I x y z r πϕ-=
=⎰
⎰
⎰⎰⎰
)
)
2
1
2
1
01
d d d d
z
r z z z z
πϕπ⎡⎤+
=+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
⎰⎰
(
(
)
)
(10
1
21ln 21
ln 12
32z ππ⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭。