西夏区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西夏区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（
）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
2． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2
()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ．
C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]
0,24． 直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（
）A ．
B ．
C ．
D ．
5． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（
）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
6． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ）
A ．S 10
B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
7． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（
）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）
8． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
9． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（
）A ．2
B ．
C ．
D ．
10．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p ∧q
B ．￢p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∧￢q
11．已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
,x y 20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
y x A ． B ．
C ．
D ．9[,6]59(,][6,)5
-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]
12．若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
二、填空题
13．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．
14．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若复数z=3﹣i ，则z •= ．
15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单P t 位：小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了
0e
kt
P P -=0P k 10%消除的污染物，则需要___________小时.
27.1%【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.16．设集合 ,满足
{
}{
}
2
2
|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,,求实数__________.
A B =∅ {}|52A B x x =-<≤ a =17．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
18．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；
{}n a n a n n S （2）设是等比数列，且，求数列的前n 项和．
(){}
1n
n n b a --257,71b b =={}n b n T 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、n 运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
20．（本题12分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（*
n N ∈，p ，为常数），且145x x x ，，成等差数列，求：（1）p q ，的值；
（2）数列{}n x 前项和n S 的公式.
21．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；
（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．　
22．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，且，点
12,F F C 22
221(0)x y a b a b
+=>>12||2F F =
在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
C （2）设直线与以原点为圆心，为半径的圆上相切于第一象限，切点为，且直线与椭圆交于两l b M l P Q 、点，问是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
22F P F Q PQ ++
23．双曲线C 与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．
24．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.
（1）求证：平面；⊥1AD D B A 11（2）求证：；
11AD E B ⊥（3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.
E CD P 1AA //DP AE B 1
西夏区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；
对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
2．【答案】B
【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
3．【答案】B
【解析】
m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4
的右端点为，故的取值范围是.
考点：二次函数图象与性质．
4．【答案】A
【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），
直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；
故．
故选A．
【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．　
5．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k＜2016，s=2．k=3
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4
满足条件k＜2016，s=，k=5
…
观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
6．【答案】C
【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差d＞0．
∴S n中最小的是S8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，
当n=4时，不满足进行循环的条件，
故输出的数对为（11，12），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
9． 【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A （a ，a ），联立
，得B （1，1），
化目标函数z=2x+y 为y=﹣2x+z ，由图可知z max =2×1+1=3，z min =2a+a=3a ，由6a=3，得a=．故选：B ．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　
10．【答案】B
【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x 为假命题，则￢p 为真命题．令f （x ）=x 3+x 2﹣1，因为f （0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0．所以函数f （x ）=x 3+x 2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2为真命题．则￢p ∧q 为真命题．故选B ．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），
表示点与原点连线的斜率，易得，ABC y x (,)x y 59(,)22
A
，，，所以．故选A ．(1,6)B 9
9
2552
OA
k ==661OB k ==965y x ≤≤
考点：简单的线性规划的非线性应用．12．【答案】A
【解析】解：抛物线f （x ）=x 2+bx+3开口向上，以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，则﹣≤0，解得：b ≥0，故选：A ．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　
二、填空题
13．【答案】　4　．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f （x ）=
的图象与函数y=的图象，如下图所
示，
由图知两函数y=f （x ）与y=的交点个数是4．
故答案为：4．　
14．【答案】　10　．
【解析】解：由z=3﹣i ，得
z •=
．故答案为：10．【点评】本题考查公式
，考查了复数模的求法，是基础题．　
15．【答案】15
【解析】由条件知，所以.消除了的污染物后，废气中的污染物数量为5000.9e k P P -=5e 0.9k -=27.1%，于是，∴，所以小时.
00.729P 000.729e kt P P -=315e 0.7290.9e kt k --===15t =16．【答案】7,32
a b =-=【解析】
考
点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.17．【答案】　2　．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），故2m+n=1．
∴4m +2n ≥2=2=2．
当且仅当4m =2n ，即2m=n ，
即n=，m=时取等号．
∴4m +2n 的最小值为2．
故答案为：2
18．【答案】　（0，5）　．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
{}n a 1a d
则由，，得，解得，……………3分990S =15240S =11
9369015105240a d a d +=⎧⎨+=⎩12a d ==所以，即，
2(n 1)22n a n =+-⨯=2n a n =，即．……………5分(1)22(1)2
n n n S n n n -=+⨯=+1n S n n =+（
）20．【答案】（1）1,1==q p ；（2）2
)1(221++-=-n n S n n .
考点：等差，等比数列通项公式，数列求和.
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x，
∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，
∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2，
又点P（m，n）是抛物线上一点，
∴m2=2n，
∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n，
∴切线l的斜率k=m，点M（，0），
又点F（0，），
此时，k MF====…
∴k•k MF=m×（）=﹣1，
∴直线MF⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
23．【答案】
【解析】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）
由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2．
又y=x为双曲线C的一条渐近线，
∴=
解得a=1，b=，
∴双曲线C的方程为．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.。