Gauss消去法求解线性方程组的改进

１问题的提出
在科学和工程计算中，
线性方程组
（１）
数值解非常重要，而求解线性方程组（１）的计算方法一般分为两类：直接法和迭代法。

不管是哪一类算法都只能在预定的计算步数内或给定的精度内得到近似解，所有的算法都存在着误差问题。

误差的来源是在求解线性方程组的过程中，由于系数相除所产生的舍入误差累积带入了未知量的求解过程，导致了线性方程组解的误差，即求解线性方程组误差来源于除法。

如果我们在求解过程中不使用或尽可能少使用除法，或对于除法采取分数代入（因为计算机的字长总是有限的），误差就可以完全消除，或达到误差最小。

本文在不增加计算量的情况下，将系数加减消元法融入到Ｇａｕｓｓ消去法中，在归一消元化为等价同解的上三角形方程组
（ｎ）
的过程中，将系数加减消元，避逸了除法运算所产生的舍
入误差，消除了消元过程中除法造成的误差累积，大大提高了线性方程组解的精确值。

２传统的Ｇａｕｓｓ消去法求解线性方程组
Ｇａｕｓｓ消去法求解线性方程组的步骤如下：①消去：对于ｋ从１到ｎ－１
归一化
②回代
Ｇａｕｓｓ消去法在归一过程中每执行一次就要作ｎ－ｋ＋１
次系数相除，相应地产生了ｎ－ｋ＋１个舍入误差，产生的舍入误差又带入随后的乘法运算，累积所产生的误差个数就为（ｎ－ｋ＋１）（ｎ－ｋ）。

因此，仅归一消元过程就产生了个累积误差，再加上回代过程中所作的次乘法所产生的累积误差，整个Ｇａｕｓｓ消去法中总共产生的误差个数（加减法不会产生误差）为。

尽管每次乘除所产生的误差符号不会都相同，从而使误差在累积时发生相互抵的消现象，但累积所产生的误差仍是相当大的，现仅以２阶线性方程组为例说明：
例１方程组Ｇａｕｓｓ消去法求解：消元
回代得
而方程组的精确解为
仅２阶就产生了这么大的误差原因何就在于系数
与
不能整除或在计算机允许的范围内不能除尽，将
所产生的舍入误差带入了随后的运算，致使的解产生
了误差。

３改进Ｇａｕｓｓ消去法求解线性方程组
将系数加减消去法，融入到Ｇａｕｓｓ消去法中，改进Ｇａｕｓｓ消去法。

其基本思想是：如果要消去某个不为０的系数，先
要选定一个方程（该方程与所要消去的系数同列相对应
系数不为０，如果为０则另选一个方程），该方程与相
乘后同
所在的方程与乘积相减，消去所要消去的系
数。

即在将（１）化为等价同解上三角形方程组的过程中不使用除法，使得在消元过程中尽量消除舍入误差和累积误差，以此来消除或减小求解线性方程组的误差。

３．１改进Ｇａｕｓｓ消去法［假定方程组（１）线性无关］改进算法的
具体计算步骤如下
Ｓｔｅｐ１对方程组（１）施行如下变换：
Ｓｔｅｐ１．１判别方程组（１）中的系数是否为０，若为０，则找出该方程组中一个不为０的的系数，并将第个方程与第１个方程交换位置，方程组变为：
Ｓｔｅｐ１．２将方程组
的第个方程，其中＝２，３，…，ｎ乘
以
后减去第一个方程乘以把方程组（１ˊ）变为方程组
Ｓｔｅｐ２对同解方程组（２）施行如下变换：
Ｓｔｅｐ２．１判别方程组（２）中系数
是否为０，若为０，则找出该方程组中一个不为０的的系数，并将第个方程与第２个方程交换位置，方程组变为：
Ｓｔｅｐ２．２将方程组（２＇）的第个方程，其中＝３，…，ｎ乘以
Ｇａｕｓｓ消去法求解线性方程组的改进
□韦渤
（金华职业技术学院
浙江・金华
３２１０１７）
摘要传统消去法求解线性方程组解的误差源于除法，在消元过程中避开除法，减少消元过程中系数相除所产生
的舍入误差，用改进的Ｇａｕｓｓ消去法求解线性方程组，提高了线性方程组解的精确值。

关键词线性方程组Ｇａｕｓｓ消去法减少误差中图分类号：ＴＭ
文献标识码：Ａ
文章编号：１００７－３９７３（２００７）０８－２３－０１
33Á
n n n −+Áa Áa i i i Á
ÂÁÁi i i 工程与技术
２３
后减去第一个方程乘以把方程组（２ˊ）变为方程组（３）
重复上述过程，总共需要进行ｎ－１个Ｓｔｅｐ，将方程组（１）化为等价同解的上三角形方程组
改进的Ｇａｕｓｓ消去法在消元过程中没有除法，所以不会产生误差，故大大提高了方程组（１）解的精确值。

如果回代过程中的除法能整除，即方程组（１）有整数解，则本算法可以完全消除舍入误差直接得到精确解；即使方程组（１）无整数解，只要在回代过程中的除法能在计算机允许的范围内能除尽，方程组（１）也能完全杜绝误差而得到精确解；如果回代过程中的除法不能在计算机允许的范围内除尽，采用分数回代也能得到相当精确的近似精确解，就可以将解的误差降到最低。

３．２求解线性方程组实例
用改进的Ｇａｕｓｓ消去法求解例１。

首先消元
用本文提出的改进Ｇａｕｓｓ消去法求得的解与原Ｇａｕｓｓ消去法求得的解相比，减少了线性方程组解的误差，提高了线性方程组解的精确度，因为本算法减少了舍入误差。

例２方程组用Ｇａｕｓｓ消去法求解得
如果采用本文提出的改进Ｇａｕｓｓ消去法求解：
消元
回代得精确解
而用传统的Ｇａｕｓｓ消去法求解时，由于联带乘积将
的误差０．００１放大了约２００００倍，从而使方程组的解严重失真，如果采用本文提出的算法，就可以完全消除误差直接得到精确解。

例３方程组的精确解为如果用Ｊａｃｏｂｉ迭代法求解（迭代１０次）得，误差而用Ｇａｕｓｓ－Ｓｅｉｄｅｌ迭代法在给定同样精度的前提下也要迭代５次才能
而采用本文的改进Ｇａｕｓｓ消去法则可以完全消除误差而得到精确解。

误差分析与数值实验表明，即使方程组的阶数ｎ很大，使用本文提出的改进Ｇａｕｓｓ消去法解“良态”的线性方程组，在多数情况下，都可得到符合要求的近似解。

４结论
本文提出的改进Ｇａｕｓｓ消去法，在消元过程中没有除法，避开了误差的产生，有效地阻止了消元过程中系数相除所产生的舍入误差，最大程度地提高了线性方程组解的精确度。

如果线性方程组有整数解；或回代过程中的除法能在计算机字长允许的范围内除尽，则利用本文提出的算法就可以完全消除误差，得到精确解。

即使线性方程组的解在计算机允许的范围内不能除尽，只要我们在最后回代过程中采取分数回代，也能将线性方程组的解提高到最为精确的近似解。

所以本算法对于科学和工程计算中求解线性方程组，具有一定的实际参考价值。

x x
１前言
储罐区消防冷却装置设计是消防设计中经常遇到的，其主要工作大致包括消防冷却型式的确定、消防冷却水量的确定、消防设备及喷头的选取、管道的配管等内容，但在消防水
储罐区消防冷却喷淋装置设计中的问题探讨
□任立军［１］朱艳［２］
（［１］新疆乌鲁木齐消防支队开发区消防大队新疆・乌鲁木齐８３００００；
［２］江苏苏州消防支队园区消防大队江苏・苏州２１５０００）
摘要结合实践，对可燃液体立式储罐区消防冷却的水量计算及计算中应注意的问题加以论述，同时，对在设计中应注意的问题提出探讨性意见。

关键词储罐区冷却喷淋装置理论水量实际水量水量复核
中图分类号：ＴＮ９１９文献标识码：Ａ文章编号：１００７－３９７３（２００７）０８－２４－０２"""""""""""""""""""""""""""""""""""""工程与技术
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