理科数学(摸底)答案

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2020届高三摸底测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
13．240 14． 15．3 16．
83
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．【解析】（Ⅰ）因为ππsin(2),(0,)322C C
,即ππ2π2(,333C
ππ233C
即π
3C
………2分 所以sin sin 2
sin 3
A A ， ………4分
又因为a c ，所以π03A C ，因此π
4A ；
………6分
（Ⅱ）在ABC 中，由2222cos c a b ab C ,得22
12a b ab ab
…8分 1
sin 2
ABC S ab C ，
当且仅当时a b ，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立， ………10分 所以ABC 面积的最大值是 ………12分
18.【解析】（Ⅰ）连接AE ，AF ，在ABC 中，AE BC AC AB 2
1
120sin 21 ，
故1 AE .
由于三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，故1AA 平面ABC AE AA 1，
直角三角形AE A 1中，因为31 AA ，1 AE ，所以2
1
21 EF E A ，
又因AFE AE
E A E
F AE 1为直角，即AF E A 1. ………3分
再由E 为BC 中点并且ABC 为等腰三角形可知BC AE ,
结合BC AA 1，A AE AA 1得BC 平面1A AE ，BC AF ， 综合AF
E A 1，A
F BC ，E E A
BC 1 ，得到AF 平面1A BC ， ………6分
（Ⅱ）由于BC AE
，如图以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系，
60
tan AE
BE
3 ，故 B ， 1A ， 0,0,0E ， 1B ，
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B B
EB
， 1
EA ， 1EB
，
设面E BA 1法向量为 1111,,z y x n ， 面E A B 11法向量为 22
22,,
z y x n ，
1111110000n EB n EA y
，取11 z ,得
10,
n
212221220000
n EB n EA y
，取12 z ，得2(1,n
，
则二面角11B
A E
B 的余弦值55
25
44cos
. ………12分
19.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.0160.04)50.15(0.04
0.0560.016)50.4(0.0160.008)50.40.32 5000.32160 ，
故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. ………3分
（Ⅱ）每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有
5000.0080.0160.040.040.0560.0165440 人， ………4分
其中获得一、二等奖学金学生有 5000.0080.0160.0450.05
5000.040.0560.01650.250.0592
………5分
每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有5000.1260 人， ………6分 其中获得一、二等奖学金学生有 600.350.2536 人, ………7分 列22 联表如图所示：
2
50034836922442.3610.83
44060128372
K 故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；…8分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,600,1500,3000
(600)0.32,P X (1500)0.198,P X (3000)0.058,P X
(0)10.320.1980.0580.424P X ………11分
其期望为00.4246000.3215000.19830000.058EX
=192+297+174=663元. ………12分
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20．【解析】（Ⅰ）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，
,a
b
，即3,a b ，
所以椭圆E 的方程为22
193
x y ； ………5分
（Ⅱ）圆22:2O x y ， 直线y kx m 与圆22:2O x y 相切，
，即 2221m k ， ………7分
联立方程：22
193
x y y kx m
得： 222
136330k x kmx m 设 1122,,,M x y N x y ， 2121222
336,1313m km x x x x k k
………8分 由弦长公式得：
12MN x x
将
2
2
21m
k
代入得：
MN
………10分
222
22712132
k k k 当且仅当：222271k k 即2
15
k
时等号成立，弦长MN 最大值为2.……12分 21．【解析】（Ⅰ） 2'e 1,1,1
ax
f x x x ， ………2分
由 '1e a f 知e e a
，1a ； ………4分
（Ⅱ）由题知： 0,x 时， 2
e 101
ax
f x x
有解 当 1,x 时， 2
'e 101ax
f x x
恒成立，不存在单调递减区间；………5分 当 0,1x 时， 2e 101ax
f x x 有解等价于1ln 01x ax x
有解 ………6分
设 212
ln ,',0,111x x ax x a x x x ，因为 2
20,1,21
x x …8分 ①当2a 时， 22
'01
x a x 恒成立，
1ln 1x
x ax x
在 0,1x 单调递减， 00x
恒成立，不符合题意…10分
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②当2a 时，201a a
，当x
时， 22
'01x a x ， 1ln 1x x ax x
在x 单调递增， 00x 即1ln 01x
ax x ， 综上所述，2a ． ………12分
22.【解析】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y
（ 0,2, 为参数），得224x y
所以曲线C 的直角坐标方程为224x y ； ………2分 曲线C 经过伸缩变换得到1C 的参数方程为'4cos '2sin x y
，得22416x y ，
所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos 4sin 16 ； ………5分
（Ⅱ）将 0 代入2
2
2
2
cos 4sin 16 得2221
cos sin 164
即222
1
cos sin 164OA
， ………8分 同理222
cos (sin ()122164OB
22sin cos 164 ， 2
2
11115
16416
OA
OB
． ………10分
23．【解析】（Ⅰ）由题意，当1a 时， 23,1,1,1223,2x x f x x x x
＜＜
当1x 时， 233f x x ，解得0x ；当12x ＜＜时， 13f x ，无解 当2x 时， 233f x x 解得3x ;
所以 3f x 的解集为 ,03, ． ………5分
（Ⅱ）由题关于x 的不等式 f x g x 解集包含 1,2
21|||1|41a x x x a 在 1,2x 恒成立；210,2a a a
1,2x 不等式2113a x x x a 恒成立，即1
4a x a
在 1,2x 恒成立
12a a 又1
0,21a a a a
即a 的取值集合是 1． ………10分。