第九章电磁感应电磁场理论

§9-1 电磁感应定律 一、电磁感应现象
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结论 当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，不管
这种变化是由什么原因的，回路中有电流产生。 称为电磁感应现象。
电磁感应现象中产生的电流称为感应电流， 相应的电动势称为感应电动势。
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二、楞次定律 楞次定律： 感应电动势产生的感应电流方向，总 是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通 量的变化。
求：感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和
最大感应电流。
解： 2 n 120 s-1
60
Φ B S BS cos
B r2 cos t
2
a
r
b
i
dΦ dt
B r2
2
sin t
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i
dΦ dt
B r2
2
sin t
i max
1 2
B
r2
2.96(V)
Ii
i
R
B r2
2R
sin t
L 0
d
i
0I 2 cos
L
a
cos
ln
a
L cos
a
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二、在磁场中转动的线圈内的感应电动势 矩形线圈为N 匝,面积
S，在匀强磁场中绕固定 的轴线OO' 转动，磁感应 强度与轴垂直。
当 t = 0 时， = 0。
任一位置时：
Φ BScos
i
N
dΦ dt
NBS sin
d
dt
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（2）非闭合回路
∂B
a.
Ei dl
L
cS
∂t
dS
εi Ei dl
a
c d
b.
i
N
dΦ dt
abc
cda
abc cda
b a
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若既有动生电动势，又有感生电动势
b b
i v B dl Ei dl
a
a
或
i
N
L
vB
dl
N
S
B t
dS
L
2
dB
2 dt
(oM 0, No 0)
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例9-8 如图均匀变化磁场B，导体AB=2R，CD=2R
问： AB ,i1,CD ,i2 是否为零？
解：
AB 0 i1 0
0 CD i 0 2
G1
A R B
C
D
G2
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二、电子感应加速器 电子感应加速器是利用感应电场来加速电子的
一种设备。 铁芯
线圈
电子束
环形真空 管道
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r
B
B
真空室处的磁场设计要求：
E R dB 2 dt
d(mv) eE eR dB
dt
2 dt
mv 2 evB mv eRB R
d(mv) eR dB
dt
dt
B1B
2
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一个周期内感生电场的方向
v
v
F
F
只有在磁场变化的第一个四分之一周期， 电子才被加速而沿圆形轨道运动
B
l
- v -F-m
动生电动势：
A
b
i
L Ek dl
(v B) dl
a
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b
说明
i
L Ek dl
(v B) dl
a
1着.式d中l的d方l 的向方，向当任 <意0取时定，，表当明的方0时向，顺表着明dl的的方方向向顺。
2. 动生电动势只存在于运(v动的B导) d线l上，此时 (运 动 导 体)
Iidt
1 R
2 1
dΨ
1 R
(Ψ 2
Ψ1)
感应电量与磁通量的变化成正比，与磁通量变 化的快慢无关。在实验中，可以通过测量感应电量 和电阻来确定磁通量的变化。 磁通计原理
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如果用 Ek表示等效的非静电性场强，则感应电
动势 i可表为
i Ek d l
B d S
S
Ek
d
l
d dt
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三、涡电流
当大块导体放在变化的磁场
中，在导体内部会产生感应电流， 交
由于这种电流在导体内自成闭合
变 电
回路故称为涡电流。
流
I dΦ B
dt t
铁芯
P 2
感应加热
涡电流I′
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电磁阻尼 v
v
F
F
涡流损耗
减小涡电流的方法： a. 增加电阻率
b.
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dS
S
S t
L
Ei
dl
S
B t
dS
电磁场的基本方程
说明
（1）变化的磁场能够在周围空间(包括无磁场区域) 激发感应电场。（2）感应电场的环流不等于零，表 明感应电场为涡旋场，所以又称为“涡旋电场”。
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i
L
Ei
dl
S
B t
dS
式中负号表示感应电场与 磁场增量的方向成左手螺 旋关系。
2
L S
B R
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例9-5 一长直导线中通电流I，有一长为 l 的金属棒
与导线垂直共面(左端相距为a)。当棒以速度v 平行
与长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。
解： B 0I
2 x
di (v B) dx Bvdx
i
al a
0 Iv 2
dx x
0Iv ln a l 2 a
N
dΦ dt
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例9-7 半径为R 的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。
已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量dB/dt。 问
在任意半径r 处感应电场的大小以及棒MN（长为L）
上的感生电动势。
解： r R 时
Φ BS B r2
i
dΦ dt
L Ek dl
M
R
N
r2
dB dt
Ek
产生感生电动势的非静电力是什么？
1861年，麦克斯韦提出了感应电场的假设
变化的磁场在周围空间要激发出电场，称为 感应电场。感生电流的产生就是这一电场作用于 导体中的自由电荷的结果。
感生电动势： i L Ei dl
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由法拉第电磁感应定律：
i
dΦ dt
d dt
B
dS
导体静 止
B
S
B
d
S
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例9-1 电子计算机中作为存储元件的环形磁芯是用横截
面为矩形的铁氧体材料制成的。磁芯原来已被磁化，
磁化方向如图，剩磁为+Br，现在回路1中通以脉冲电 流 I，使磁芯由原来的剩磁状态+Br变为-Br，试估算在 这种剩磁状态翻转过程中，回路2中产生的感应电动势。
已知磁芯截面积为S，翻转时间为。
左的安培力，大小为：Fm IilB
导体棒匀速向右运动，外力（ F Fm ）的功率为：
P F v IilBv Pe
外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收它，
同时感应电动势(非静电场力)在回路中做正功又以电
能形式输出这个份额的能量。
——发电机
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• 动生电动势的计算
（1）对于导体回路
方向： BA
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例9-6 长直导线中通电流I，长为 L 的金属棒与导线
共面(左端相距为a)。当棒以角速度绕o端在纸面内匀 角速转动时，求如图位置 时棒中的动生电动势。
解：
B
0 I
2 a l cos
di v B dl vBdl
A
I
dl
a l
o
l
2
a
0 I l cos
dl
i
解：设回路2的绕向为bca
Φ1 BrS Φ2 BrS
~1
Φ Φ2 Φ1 2BrS
+Br
a c 2b
dΦ Φ 2BrS dt
方向：bca
讨论： 若原来的剩磁为-Br，则回路2中不产生感应电动势。
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例9-2 导线ab弯成如图形状，半径r =0.10m，
B=0.50T ,转速n=3600转/分。电路总电阻为1000。
闭合曲线
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• 感应电场和感生电动势的计算
1. 感应电场的计算
对具有对称性的磁场分布，磁场变化时产生的
感应电场可由
L Ei dl
B
dS
S t
计算，方法类似于运用安培环路定理计算磁场，关 键是选取适当的闭合回路L。
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2. 感生电动势的计算 （1）导体为闭合回路
i
N
dΦ dt
Ek
r
L
MN 0Ek cos dx
R r M
dx
L 1 dB R2 L2 4
0
r 2
dt
dx r
Ek M
Ek
N
N
L
R2
L
2
dB
2
2 dt
方向： MN
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另解：
作辅助线，构成一个闭合回路
Φ BL
R2
L
2
2
2
O R M N
MN
i
dΦ dt
L 2
R2
B t
E感
与稳恒电流产生的 磁场作类比。
B dl L
0I
I
B
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场源 环流 通量 力线
感应电场与静电场的比较
静电场 Es
感应电场 Ei
静电荷
Es dl 0
l 无旋场
S
Es
dS
q
0
有源场
变化的磁场Bຫໍສະໝຸດ Eildl
S
t
dS
有旋场
Ei dS 0
S
无源场
始于正电荷， 止于负电荷
i
N
dΦ dt
NBS sin
d
dt
t
i NBS sin t 令 NBS 0
交变电动势
i 0 sin t
交变电流
I I0 sin(t )
发电机原理
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交变电动势和交变电流
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§9-3 感生电动势 感生电场 一、感生电场
导体静止，磁场变化时出现感生电动势。显然 产生感生电动势的非静电力一定不是洛仑兹力。
a. v B dl
I
b.
i
dΦ dt
（2）对于一段导体
b
a. ab v B dl
a
I
b. 设想构成一个回路，则
ab
dΦ dt
v
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例9-4 长为L的铜棒，在磁感强度为 B的均匀磁场中以 角速度 在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端o 匀速
转动，求棒中的动生电动势。
特例：
dΦ B d S Bl d x
i
dΦ dt
Bl d x Blv
dt
在一般情况下，运动导线内总的动生电动势：
i (v B) dl
L
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解释
运动导体内电子受到洛仑 兹力的作用。
Fm e(v B)
B
Ii ++ Fe
非E静k 电 场Fqm：
v
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三、法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通 量对时间的变化率成正比。
i
dΦ dt
式中的负号反映了感应电动势的方向，是楞次定律 的数学表示。
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i
dΦ dt
0 0
表示与 L 绕向相同 表示与 L绕向相反
Φ 0
dΦ 0 dt
2
r
r dB
Ek
2
dt
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rR时
Φ B R2
i
dΦ dt
L Ek dl
r
R2
dB dt
Ek
2
r
R2 dB
Ek
2r
dt
感应电场分布为：
Ek
R2r2
dB
dt dB
2r dt
rR
rR
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L L
MN 0 Ek dx 0Ek cos dx
cos R2 L2 4
§9-4 自感应和互感应 一、 自感应
由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在 自己回路中激发感应电动势的现象叫做自感现象， 这种感应电动势叫做自感电动势。
I (t) B(t) Ψ (t) i L
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以长为 l 的无铁芯长直螺线管为例，截面半径为R，
线圈总匝数为N，通以电流 I。
此时螺线管内磁场：
3. 此结果也适用于非匀强磁场中。
dt 时间内扫过 面积的磁通量
4. 此式与法拉第定律是一致的。
非闭合回路：
i
b
(v
a
B) dl
dΦ dt
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5. 动生电动势过程中的能量转化关系。
如图，设电路中感应电流为Ii ， 则感应电动势做功的功率为：
Pe Ii i Ii Blv
通电导体棒AB在磁场中受到向
i 0
L
Φ 0
dΦ 0 dt
i 0
L
判断i 的方向: 先规定回路正向，从而确定磁通量 (及变化率)的正负，再得感应电动势的正负。若为 正，则与规定的回路方向相同。若为负，则相反。
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磁通链数： Ψ NΦ
i
dΨ dt
N
dΦ dt
感应电流：
Ii
R
1 R
dΨ dt
感应电量：
q
t2 t1
B
0
N l
I
Ψ
NBS
0
N2 l
IS
L
dΨ dt
0R2 N 2
l
dI dt
自感电动势：
L
L
dI dt
螺线管的自感（系数）：
L 0
N 2 R2
l
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一般情形，
L
dΨ dt
dΨ dI
dI dt
L dI dt
L dΨ dI
若空间不存在铁磁质，由毕奥-萨伐尔定律：
B I Ψ I Ψ LI
Ii m ax
B r2
2R
2.96
(mA )
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例9-3 一长直导线通以电流 I I0 sin t ，旁边有一
个共面的矩形线圈abcd。求：线圈中的感应电动势。
解：
Φ
B dS
S
r l1 r
0 I 2 x
l2dx
0I0l2 sin t ln r l1
2
r
i
dΦ dt
0 I 0 2
l2
cos
t
ln
r
r
l1
讨论：若线圈同时以速度v向右运动?
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§9-2 动生电动势 根据磁通量变化的不同原因，把感应电动势
分为两种情况加以讨论。
动生电动势：在稳恒磁场中运动着的导体内产生 的感应电动势。 感生电动势：导体不动，因磁场的变化产生的感 应电动势。
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一、在磁场中运动的导线内的感应电动势
解：取线元 d l ，方向沿o指向A
v