(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．函数()()2
3
103
f x ax x x =-
>的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞
C ．(]
[),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞
2．点P 在曲线3
21233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．3
0,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣
⎭⎣⎭
B ．0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢
⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫
+⋅- ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．
B
C
D 4．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016
B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
5．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）
A ．
5
B ．
5
C ．
D ．6．已知函数()ln a
f x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有
()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）
A ．()4,1-
B ．(1,4)-
C ．(,4)
(1,)
-∞-+∞
D ．(,1)(4,)-∞-+∞
8．
已知函数()ln f x x = ，若f x （
） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）
A ．22
12512x x +>
B ．12128x x <
C ．1232x x +<
D
1
2
> 9．曲线32
15()433
f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°
B ．135°
C ．45°
D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e
B ．1或e
C ．0或1
D ．e
11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0
B ．4
C ．0或-4
D ．0或4
12．已知函数()f x 的导函数为()()()2
,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．
9
2
B ．
94
C ．
174
D ．
178
二、填空题
13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1
*
N n y x
n +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为n
x ，则
20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.
16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线1
3
y x =-，那么点P 的坐标为___________．
17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆
22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
18．设函数()()2
f x
g x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为
910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.
19．设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方
程为______________．
20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且
12l l //，则直线2l 的方程是__________.
三、解答题
21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--
（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；
（2）若存在041,ln 3
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．
23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； （2）若()2()f x f x '
=，其中()f x '
是()f x 的导函数,求2
2
1sin cos sin 2x
x x
+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．
（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中
. （Ⅰ）当
时，求曲线
在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证: 当
时，
.
26．已知函数()x f x e =，1
()ln 22
g x x x =-
+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.
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一、选择题 1．B 解析：B
【分析】
求出导函数()'
f x ，由()1f x '
=有正数解求解即可． 【详解】
2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，
∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，
∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．
2．A
解析：A 【分析】
利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】
243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫
∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
.
故选：A . 【点睛】
本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.
3．B
解析：B 【分析】
首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3
()2f x x bx =++.利
用导数的切线过点(2,7)得到1
2
b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2
π
απα+-计算即可.
【详解】
因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.
所以3
()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.
2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.
切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.
因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12
b =. 所以3
1()22f x x x =+
+，21()32
f x x '=+. 1
(0)tan 2
f α'=
=，所以sin α=.
所以51cos()tan()sin tan 2
5210
π
απααα+-==
⨯=
. 故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.
4．D
解析：D 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018
11223
2018201920192019
S =-+-++
-=-=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
5．B
解析：B 【分析】
易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】
由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时
,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1
'1y x
=+.
设()00,Q x y ,则00
1
121x x +
=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=
的距离
d =
=
=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln a
f x x x
=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】
设切点为()00,x y ,则()21'a
f x x x
=
-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000
000113ln a x x y x a
y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+
⎪⎩
,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入
200
11a
x x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
7．A
解析：A 【分析】
首先构造函数()
()x f x G x e
=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =
，则
()()
()23x
f x f x G x x e '-'==+，
可设2()3G x x x c =++，
(0)(0)1G f ==，1c ∴=
所以2
()()31x f x G x x x e
=
=++ 解不等式()5x
f x e <，即
()
5x f x e
<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】
本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．
8．A
解析：A 【分析】
1211x x =-
1
2=
，则1
16
≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x
）=lnx ，得f ′（x
）1
x
=
（x ＞0），
∴
12
11
x x -=，
21
12
x x x x -=
12+=，
∴12=≥
116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．
∴22
12x x +＞2x 1x 2＝512．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
9．B
解析：B
【解析】 【分析】
利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】
()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()210
33313
f '∴=-⨯=-，
所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()
3,3f 处的切线的倾斜角为
135，
故选B ． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；
（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；
（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．
10．B
解析：B 【分析】
设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】
设直线l 与函数()x
f x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2
g x x =+的图象相
切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n x
y e y x ==+
因为'()x
f x e =,()1'
g x x
=
则1
2
1x x k e ==
所以11122212
122
ln 21
1x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪
=+⎪⎪⎪=
⎨⎪
⎪-=⎪
-⎪⎩,则()122
12ln 21x e x x x x -+=- 由1
2
1
x e x =
,可得21ln x x =-,代入上式可得
()222
22ln 2l 1n 1
x x x x x -+=
--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=
即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21
x e
= 代入2
1k x =
可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】
本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2
000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即
可． 【详解】
设切点为000(,)x
x x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)x
y x e '=+⋅，
所以000|(1)x
x x y x e ='=+⋅，则切线方程为0
0000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，
切线过点(,0)A a ，代入得0
0000(1)()x x x e
x e a x -=+⋅-，
所以2001
x a x =+，即方程2
000x ax a --=有两个相等的解，
则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【分析】
求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】
()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x
''=-+⇒=-+
将2x =代入导函数
()()()117'2832'228
f f f '=-+
⇒= 故答案选D 【点睛】
本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.
二、填空题
13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=
【分析】
求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】
cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程
为22y x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，即20x y π+-=．
故答案为：20x y π+-=
14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-
【分析】
求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】
2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①
又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，
由①②得32
b a =⎧⎨=-⎩，所以2
()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.
故答案为：-11. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可
令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-
【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】
1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1
n n
x n =
+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+
20191220182019201912
20181
log ()log ()log 123
20192019
x x x =⋯=⋅⋅
⋅
==-． 故答案为：1-． 【点睛】
本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如
解析：(1,0) 【分析】
先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4
y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率
k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .
【详解】 解:
曲线4
y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13
y x =-
, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,
函数4y x x =-的导数为3
41y x '=-,
设()00,P x y ,
3
0413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,
(1,0)P ∴
【点睛】
本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.
17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-
【解析】 【分析】
利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】
因为(1)12ln11f =+=，2
2()3f x x x
'=+
， 切线的斜率(1)325k f '
==+=，
所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆2
2
:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，
所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】
本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；
（2）由点斜式求得切线方程'
000()()y y f x x x -=⋅-.
18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=
【分析】
由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】
由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2
(1)(1)17f g =+=-，
(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，
所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是
000()()()y f x f x x x '-=-．
19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程
【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=
【分析】
首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】
()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，
即()()()()()3
2
3211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，
()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，
所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.
20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+
【分析】
求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】
ln y x =的导数为1
y x
'=
,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，
∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】
本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．
三、解答题
21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】
试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可
()2法一：等价函数()2112
x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导
()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故
()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2
11
2
x
x x y e ++=与1y =的公共点的个数，
当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定
（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1
g x x
'=
，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()x
f x e =与曲线2
112
y x x =
++公共点的个数等于函数()2112
x x e x x ϕ=---零点的个数
∵
()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…
又()1x
x e x ϕ='--，令()()1x
h x x e x ϕ==--'，则()1x
h x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；
当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，
∴
()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=
即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），
∴
()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，
故曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，
2
1102
x x ++>， ∴曲线x
y e =与曲线2112
y x x =++公共点的个数等于曲线2
112x
x x y e ++=与1
y =的公共点的个数
设()2
11
2x
x x x e ϕ++=
，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．
又()()2221111220x x x x
x e x x e x x e e ϕ⎛⎫
+-++-
⎪⎝⎭='=
≤（当且仅当0x =时等号成立），∴
()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，
故曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =
++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

22．（1）()11y e x =--；（2）1a e
< 【分析】
（1）求出()1f ，得出切点坐标，利用导数求出()1f '，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；
（2）由1x a e x <--，即()a f x <，将问题转化为()max a f x <，然后利用导数求出函
数()y f x =在区间41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的最大值，可求出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）()1x
f x e '=-，()12f e =-，
()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为：()()211y e e x -+=--，即()11y e x =--；
（2）1x a e x <--，即()a f x <，令()10x
f x e '=-=，得0x =.
0x
时， ()0f x '>，0x <时，()0f x '<.
()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,∞+上增，
又041,ln 3
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.
()11111f e e --=-+= 44
4ln 1ln 33
3f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
()414
41141ln 1ln ln 033
333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭，
()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭
，()f x ∴在41,ln 3⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：1a e <.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于
中等题．
23．（1）12
y x π
-=-即12
y x π
=+-
；（2）195
-
. 【分析】
（1）先求导数，代入切点得到斜率，在计算切线方程.
（2）根据条件先计算出tan 3x =，在利用齐次式上下同时除以2cos x 得到答案. 【详解】 解：（1）12f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
因为()cos sin f x x x =+' 切线斜率12k f π'
⎛⎫==
⎪⎝⎭
所以在点,22P f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为：12y x π-=-即12y x π=+- （2）因为()cos sin f x x x =+'，()()2f x f x '= 所以()cos sin 2sin cos x x x x +=- 解得tan 3x =
所以2222222
1sin 1sin 2sin cos cos sin2cos 2sin cos cos 2sin cos x x x x
x x x x x x x x +++==--- 22tan 11912tan 5x x +==--
【点睛】
本题考查了切线的计算，三角恒等变化，利用齐次式上下同时除以2cos x 是解题的关键. 24．（1）1y x =-（2）20a e -<< 【分析】
（1）将0a =代入()()ln f x x a x =+，再对函数()f x 求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；
（2）对函数()f x 求导，通过讨论a 的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】
解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()'ln 1f x x =+．()'11f =，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-． （2）()f x 有极小值⇔函数()'f x 有左负右正的变号零点 . ()()
1'ln ln 1a
f x x x a x x x
=++=++
令()()'g x f x =，则()221'a x a g x x x x
-=
-= 令()'0g x =，解得x a =．x ，g （x ），()'g x 的变化情况如下表： x
（0，a ） a （a ，+∞） ()'g x
﹣ 0
+ g （x ）
减
极小值lna+2
增
①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()'f x 不存在变号零点，不合题意． ②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，()110g a =+>． 所以()0,1x a ∃∈，使得()00g x =；
且当()0,x a x ∈时，()0g x <，当()0,1x x ∈时，()0g x >． 所以当(),1x a ∈时，x ，()'f x ，f （x ）的变化情况如下表：
x
()0,a x
0x
()0,1x
()'f x
﹣ 0 + f （x ）
减
极小值
增
所以0a e <<．【点睛】
本题第一问主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线方程；第二问主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；属于常考题型. 25．(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程； （Ⅱ）法一：
，令f '（x ）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到
函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明
，
，
，设
，其中x ＞2，利用导函数转化求解即可；
法二：设
，其中x ＞0，
，推出F （x ）在区间（0，2）
上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F （x ）在x ＝2时取得最小值
，而，推出结果即可；
法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证
“x＞0时，2e x+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2e x+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2e x﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2e x﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．
【详解】
（Ⅰ）因为
所以
当时，
所以，而
曲线在处的切线方程为
（Ⅱ）法一：
因为，令
得
显然当时，
所以，，在区间上的变化情况如下表:
极小值
所以在上的最小值为，所以只需证明
因为，所以
设，其中
所以
当时，，所以在区间单调递增，
因为，所以，问题得证
法二：
因为，所以当时，
设，其中
所以
所以，，的变化情况如下表:
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以函数在时取得最小值，而
所以时
所以，问题得证
法三：
因为“对任意的，”等价于“对任意的，”
即“，”，故只需证“时，”
设，其中
所以
设，,
令，得
所以，，的变化情况如下表:
极小值
所以
所以时，，所以在上单调递增，得
而，所以问题得证
【点睛】
本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应
用，转化思想以及计算能力． 26．(Ⅰ)y ex =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】
分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得
()f x ex ≥，再证()ex g x >即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，
求得最值大于0即可. 详解：
（Ⅰ）设切点()00,P x y ，则00x
y e =，()/
x f
x e =，()0
/0x
f x e =，
切线方程为：()()/
000y y f
x x x -=-，
即：()0
0x x
y e e x x -=-，将原点()0,0O 带入得： ()00
000x x e e x -=-，01x =，
切线方程为：y ex =.
（Ⅱ）设()()x
h x f x ex e ex =-=-，()0,x ∈+∞，()/
,x
h x e e =- ()/
0h x =，则
1x =.
当()0,1x ∈时，()/
0h x <，当()1,x ∈+∞时，()/
0h x >，则()()min 10h x h ==，
所以()0h x ≥，即：()0,x ∈+∞当时，()f x ex ≥. 设()()11ln 2ln 222v x ex g x ex x x e x x ⎛
⎫=-=--+
=+-- ⎪⎝
⎭，()0,x ∈+∞， ()/112v x e x
=+-，()/0v x =，1
12
x e =
+，
当10,12x e ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪
+⎝
⎭时，，当1,12x e ⎛⎫
⎪∈+∞ ⎪ ⎪
+⎝⎭
时，
，
则()min
1111ln 21112222v x v e e e e ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫==+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝
⎭ 11ln 21ln 202e e ⎛
⎫=++->+-= ⎪⎝
⎭，
所以()0v x >，即：()0,x ∈+∞当时，()ex g x >， 所以()()()0,,x f x g x ∈+∞>当时.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。