2018年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷

2018年四川省成都外国语学校中考
数学一诊试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式正确的是（）
A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2
C．D．m4•m2＝m8
3．如图，立体图形的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）
A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是4
5．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5
6．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）
A．2：5B．3：5C．2：3D．5：7
7．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）
（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径；
（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；
（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为（4，6）．若直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能求出
10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．已知a ﹣b ＝2，那么2a ﹣2b +5＝ ．
12．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，
则这个袋中白球大约有个．
13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．
14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．
三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）
15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；
（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．
16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？
17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）
（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为，C级学生所在的扇形圆心角的度数为；
（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内；
（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：
，
所以．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝；AC＝；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；
当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是．
22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．23．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，AF、CE交于G，则四边形BEGF 与四边形ADCG的面积的比值为．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：
①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，
其中正确的结论有．
25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为．
二．解答题（共30分）
26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；
（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．
（1）求a的值；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．
参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：|﹣2|＝2，
﹣（﹣2）2＝﹣4，
﹣（﹣2）＝2，
（﹣2）3＝﹣8，
﹣4，﹣8是负数，
∴负数有2个．
故选：B．
2．下列各式正确的是（）
A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2
C．D．m4•m2＝m8
【解答】解：A、合并同类项，正确；
B、（﹣ab）2＝a2b2，错误；
C、＝2，错误；
D、m4•m2＝m6，错误．
故选：A．
3．如图，立体图形的俯视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．
故选：C．
4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）
A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是4
【解答】解：把数据1，5，6，5，5，6，6，6，按从小到大排列为1，5，5，5，6，6，6，6，中位数＝＝5.5，众数为6，平均数＝＝5，极差为＝6﹣1＝5，
故C正确，
故选：C．
5．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5
【解答】解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．
故选：A．
6．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）
A．2：5B．3：5C．2：3D．5：7
【解答】解：∵BE：EC＝2：3，
∴BE：BC＝2：5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴BE：AD＝2：5，△ADF∽△EBF，
∴＝＝．
故选：A．
7．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）
（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径；
（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；
（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：（1）平分（非直径）弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧，所以此命题不正确；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径，正确；
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角的度数是它所对的圆周角的两倍，错误；
（4）根据对角线相等且相互平分的四边形是矩形可判断此命题正确；
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6）．若直线y＝kx+3k 将▱ABCO分割成面积相等的两部分，则k的值是（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F，如下图所示：
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ME ＝
BF ＝3，OE ＝
OF ＝2，
∴点M 的坐标为（2，3），
∵直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分， ∴该直线过点M ， ∴3＝2k +3k ， ∴k ＝
．
故选：A ．
9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能求出
【解答】解：根据题意得：，
把（2）变形为：y ＝7z ﹣3x ， 代入（1）得：x ＝3z ， 代入（2）得：y ＝﹣2z ， 则x +y ﹣z ＝3z ﹣2z ﹣z ＝0． 故选：A ．
10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【解答】解：∵D 是BC 的中点，且DE ⊥BC ， ∴DE 是BC 的垂直平分线，CD ＝BD ， ∴CE ＝BE ，故①正确；
∴∠C ＝∠7， ∵AD ＝AB ，
∴∠8＝∠ABC ＝∠6+∠7， ∵∠8＝∠C +∠4， ∴∠C +∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，即∠CAD ＝∠ABE ，故②正确；
作AG ⊥BD 于点G ，交BE 于点H ， ∵AD ＝AB ，DE ⊥BC ， ∴∠2＝∠3，DG ＝BG ＝
BD ，DE ∥AG ，
∴△CDE ∽△CGA ，△BGH ∽△BDE ，DE ＝AH ，∠EDA ＝∠3，∠5＝∠1， ∴在△DEF 与△AHF 中，，
∴△DEF ≌△AHF （AAS ）， ∴AF ＝DF ，EF ＝HF ＝EH ，且EH ＝BH ，
∴EF ：BF ＝1：3， ∴S △ABF ＝3S △AEF ， ∵S △DEF ＝S △AEF ，
∴S △ABF ＝3S △DEF ，故③正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠3+∠4， ∴∠5≠∠4，
∴△DEF ∽△DAE ，不成立，故④错误． 综上所述：正确的答案有3个．
故选：C．
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．已知a﹣b＝2，那么2a﹣2b+5＝9．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴原式＝2（a﹣b）+5＝4+5＝9，
故答案为：9
12．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．
【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，
∴＝，
解得：n＝2．
故答案为：2．
13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．
【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，
解得x＝．
14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．
【解答】解：∵A n B n+1∥x轴，
∴tan∠A n B n+1B n＝．
当x＝1时，y＝x＝，
∴点B1的坐标为（1，），
∴A1B1＝1﹣，A1B2＝＝﹣1．
∵1+A1B2＝，
∴点A2的坐标为（，），点B2的坐标为（，1），
∴A2B2＝﹣1，A2B3＝＝﹣，
∴点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，）．
同理，可得：点A n的坐标为（，）．
故答案为：．
三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）
15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；
（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．
【解答】解：（1）|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+
＝2﹣1+4﹣2×+2
＝2﹣1+4﹣+2
＝5+；
（2）÷（2+）
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝﹣1．
16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？
【解答】解：两边都乘（x+1）（x﹣2），得
m＝x2﹣2x﹣x2+1，
解得x＝，
由分式方程的解为负数，得
＜0且≠﹣1，
解得m＞1且m≠3．
17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）
（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为4%，C级学生所在的扇形圆心角的度数为72°；
（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级B内；
（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
【解答】解：（1）总人数为25÷50%＝50人，D成绩的人数占的比例为2÷50×100%＝4%，
表示C的扇形的圆心角360°×（10÷50）＝360°×20%＝72°，
故答案为：4%，72°；
（2）由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内；
故答案为：B；
（3）×500＝380（人），
答：估计这次考试中A级和B级的学生共有380人．
18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：
，
所以．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝60°；AC＝20；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）【解答】解：（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；
故答案为：60°，20；
（2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里）
∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°．
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°．
∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°．
∴∠A＝45°．
在△ABC中，，
即，
解之得：AB＝10≈24.49海里．
所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．
19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；
当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，＝y，
解得y＝6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m＝6，
解得m＝5，
∴一次函数的解析式为y1＝x+5；
（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，
∴点C的横坐标为3，
∴y＝＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5＝2，
解得x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
点A到CD的距离为6﹣2＝4，
联立，
解得（舍去），，
∴点B 的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B 到CD 的距离为2﹣（﹣1）＝2+1＝3， S △ABC ＝S △ACD +S △BCD ＝
×6×4+
×6×3＝12+9＝21．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长
线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连结CE ． （1）求证：△ECF ∽△GCE ； （2）求证：EG 是⊙O 的切线；
（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝
，AH ＝3
，求EM 的值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC ∥EG ， ∴∠G ＝∠ACG ，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，
∴r＝，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝．
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是±．
【解答】解：由题意得，a2+b2﹣5＝0，ab+3＝0，
即a2+b2＝5，2ab＝﹣6，
（a﹣b）2＝11，
则a﹣b＝±，
故答案为：±．
22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，
则△＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
＝（x2+x1）2﹣x1x2
＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
＝3m 2﹣3m +2
＝3（m 2﹣m +
﹣）+2 ＝3（m ﹣
）2 +； ∴当m ＝
时，有最小值； ∵＜，
∴m ＝成立；
∴最小值为；
故答案为：
． 23．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，AF 、CE 交于G ，则四边形BEGF 与四边形ADCG 的面积的比值为 ．
【解答】解：如图：
连接BG ，设S △AEG ＝a ，S △CFG ＝b ，
∵点E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB ，BC 的中点，
∴S △BEG ＝a ，
∴S △BGF ＝S △FGC ＝b ，
∴S △ABF ＝S △BCE ＝S 矩形ABCD ，S △ABF ＝2a +b ，S △BCE ＝2b +a ，
∴a ＝b ，S 矩形ABCD ＝12a ，
∴＝＝．
故答案为：．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：
①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，
其中正确的结论有①⑤．
【解答】解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0
∵﹣2+x1＝﹣，1＜x1＜2，
∴0＜＜1，
∴b＞a．
故①正确；
②∵抛物线交x轴与点（﹣2，0）
∴4a﹣2b+c＝0
∵c＞2
∴4a﹣2b＝﹣c＜﹣2
即2a﹣b＜﹣1．
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0
∵b＞a，
∴2b＞2a，
∴4a﹣2b＜2a，
∴4a﹣2b+c＜2a+c，即0＜2a+c，
∴2a+c＞0，
故③错误；
⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．
则k＝﹣．
AD和BD的长度都在1.5和2之间，也就是说1.5＜BD＜2，又因为CD＞2，
所以CD除以BD＞1，所以k＜﹣1
∴k＜﹣1，
故⑤正确；
④∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＞2，
∴a+b＞﹣2．
又由⑤知，k＜﹣1，
∴k与a+b的大小无法判断，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①⑤．
故答案是：①⑤．
25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当
点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为2或s．
【解答】解：①如图1中，连接KC、BC．设PB的中点为K．
∵PK＝PC，∠KPC＝60°，
∴△PKC是等边三角形，
∴KC＝PK＝BK，
∴∠PCB＝90°，
∴当∠PCA＝90°时，点C在线段AB上，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠APC＝30°，∵∠CPK＝60°，
∴∠APB＝90°，
∴BP⊥OA，
∵BO＝BA，
∴OP＝PA＝2，
∴t＝2．
②如图2中，当∠PAC＝90°时，作BH⊥OA于H，BG⊥AC于G，连接KC、BC．
则四边形BHAG是矩形，△PAC∽△CGB，
∴＝＝＝，设OP＝x，则AP＝4﹣x，
∵AH＝BG＝2，
∴AC＝，GC＝（4﹣x），
∵BH＝AG＝2，
∴+（4﹣x）＝2，
∴x＝．
∴t＝，
综上所述，t＝2或s时，△PAC是直角三角形，
故答案为2或s．
二．解答题（共30分）
26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
【解答】解：（1）设x，y的解析式为y＝kx+b，
把x＝2时，y＝12，x＝8时，y＝6得：
解得：，
∴y＝﹣x+14（2≤x≤8），
∴x＝5时，y＝9，
答：A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨9万元；
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，易得：W A＝（10﹣3﹣1）×4＝24（万元），
W A＝6×（9﹣3）﹣（12+3×6）＝6（万元），
∴W＝24+6＝30（万元），
答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；
（3）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨，
①当2≤x＜8时，
w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x，
w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，
∴w＝w A+w B﹣3×20
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
当x≥8时，
w A＝6x﹣x＝5x，
w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
∴w＝w A+w B﹣3×20
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48，
∴w关于x的函数关系式为：
w＝，
②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意，
当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18，
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．
27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；
（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠AEF＝90°，
∴∠EAB＝∠DAF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠AFD＝∠E，
∵AG＝GE，
∴GB＝GE＝GA，
∴∠E＝∠GBE＝∠AFD，
∵∠GBE+∠GBC＝180°，
∴∠AFD+∠GBC＝180°．
（2）证明：如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．
∵∠BGH＝∠BOH＝90°，BK＝KH，
∴GK＝KH＝OK＝KB，
∴O、H、G、B四点共圆，
∵AG＝GE，AO＝OC．
∴OG∥CE，
∴∠GOB＝∠OBC＝45°，
∴∠GOH＝∠GBH＝45°，∵∠BGH＝90°，
∴∠GBH＝∠GHB＝45°，
∴GH＝GB．
（3）解：如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．
∵OG∥EC，
AB⊥CE，
∴OG⊥AB，
易证∠EAB＝∠GBP＝∠PGT＝∠HBO，
∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝，
∵CH＝3AH，OA＝OC＝OB，
∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝＝，
∵AB＝AD＝2，
∴BE＝DF＝，
在Rt△HMF中，易证FM＝，HM＝，
∴HF＝＝5．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．
（1）求a的值；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣10x+16＝0，得x＝2或x＝8，
∴点A（2，0），B（8，0），
∴AB＝8﹣2＝6，
∵AB＝2DH，
∴DH＝3，
∵OH＝2+，
∴D（5，﹣3），
∴﹣3＝a×52﹣10a×5+16a，得a＝；
（2）如图1，过点D作PQ的垂线，交PQ的延长线于点M，∵NE⊥PD，
∴∠DPN+∠PNE＝90°，
∵NF⊥DE，
∴∠FEN+∠FNE＝90°，
又∵DH⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴DE∥PQ，
∴∠FEN＝∠PNE，
∴∠DPM＝∠ENF，
∴△EFN∽△DMP，
∴，
设点P（t，），
则FN＝DM＝t﹣5，PM＝+3，
∴，
解得，EF＝3；
（3）如图2，作QG⊥DN于点G，
∵DF∥PQ，
∴∠FDN＝∠DNQ，
∵2∠NDQ+∠DNQ＝90°，
∴2∠NDQ+∠FDN＝90°，
∵∠FDM＝90°，
∴∠NDM＝2∠NDQ，
∴∠NDQ＝∠MDQ，
∴QG＝QM＝DH＝3，
设QN＝m，则DN＝2m，
∵sin∠DNM＝，sin∠QNG＝，sin∠DNM＝sin∠QNG，
∴，得DM＝6＝DG，
∴OQ＝5+6＝11，
∴点P的纵坐标是：，
∴点P（11，9），
∵NG＝DN﹣DG＝2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2＝QN2，
∴32+（2m﹣6）2＝m2，
解得，m＝3（舍去）或m＝5，
设点C的坐标为（n，），作CK⊥x轴于点K，作NF⊥CK于点K，则CT＝，NT＝11﹣n，
∵P（11，9），则BQ＝11﹣8＝3，PQ＝9，
∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴，
∴△CTN∽△BQP，
∴，
即，解得，n＝﹣1或n＝10（舍去），∴点C（﹣1，9）．。