第3章 光纤光学课件阶跃折射率分布光纤
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i
n1 n( r ) n2
0r a
n2 n1
–导光条件: ni sin i n n –临界角: arccos( n /n )
2 1 2 2
zc
2
1
7
SIOF中光线的传播:子午光线
2 ni sin i n12 n2 – 导光条件: – 临界角: zc arccos(n2 / n1 ) – 数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入 射媒质折射率与最大入射角的正弦值 之积,即 2 2
16
17
18
场解的选取
J0
依据：导模场分布特点：在 空间各点均为有限值；在芯 区为振荡形式，而在包层则 为衰减形式；导模场在无限 远处趋于零。 本征解选取：在纤芯中选取 贝赛尔函数Jl，在包层中选 取变态汉克尔函数Kl。
J1
K0
K1
19
本征解的确定
纤芯(0<r<a)： E zI A Ur jl I J l ( )e a H z B
12
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
极限情况，当满足cosθφ＝n2/n1时，Δτs→∞，尽管光 线依然可以满足内全反射条件而被约束在纤芯中，但 光线仅仅在光纤横截面上频繁反射而不沿z轴向前传 播。显然，若考虑偏斜光线的传播，光纤的传输带宽 比仅考虑子午光线时要小。
13
§3.3 波导场方程及导模本征解
NA ni sin im n1 n2 n1 2
– 相对折射率差: – 最大时延差：
8
(n n ) / 2n
2 1 2 2
2 1
n1 / c
SIOF的传输容量
传输容量: 时延差的倒数 多模光纤: n1=1.5, ∆=1%, ∆t =50 ns/km 传输带宽: 1/ ∆t = 20 MHz·km 结论1：多模光纤通信容量并不高! 由一点发出的光线不能会聚在另一点: 结论2：多模光纤不适合于传输图像!
3
§3.2 几何光学方法分析
光线分类
光线轨迹：子午光线
光线轨迹：倾斜光线
4
光线分类
子午光线： – 限制在子午平面内传播的光线 – 与光轴相交 倾斜光线： – 轨迹曲线不限制在一个平面内 – 不过光轴
5
子午平面
z
6
SIOF中光线的传播:子午光线
–折射率分布: ra –光线轨迹: 限制在子午平面内传播 的锯齿形折线。 光纤端面投影线是 过园心交于纤壁的直线。
为确定光线的传播方向，需要两个参量： 轴向角与方位角。
轴向角 z 是光线与轴线方向的夹角。
方位角 是光线在光纤截面上的投影与 反射点处纤壁切线的夹角。
11
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
数值孔径： NAS NA / sin (大于子午光线)
最大时延差： (大于子午光线)
n n1 1 s 1 2 n 2 NA c S 1
21
§3.4 本征值方程
22
§3.4 本征值方程
23
本征值方程的物理意义
J K k J k K 1 2 2 2 1 ( )( )l ( 2 2) UJl WK l UJl WK l U W
' l ' l 2 1 ' l 2 2 ' l
又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系，因此它实际是关于β的一 个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时， 对于 不同的l值，可求得相应的β值。由于贝塞尔函 数及其导数具有周期振荡性质，所以本征值方 程可以有多个不同的解βlm(l=0,1,2,3... m=1,2,3...),每一个βlm都对应于一个导模。
形式2：
2 2 n1 2 n1 1 1 1 1 J U K W 2 J U K W 2 2 2 2 2 W U W n2 n2 U
定义：
J U J U UJ U
六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz 波导场方程：
E 2 z ( 2 2 j ) 0 r rr H z
2 2
2 2 2 n1 k0 2 2 2 2 j n j k0 2 2 2 n k 2 0
(纤芯中, j 1) (包层中, j 2)
14
§3.3 波导场方程及导模本征解
由于光纤具有圆对称折射率分布，其场 分布也必然具有圆对称形式，及沿角向 场分布为周期函数。 令 EZ A il H B F ( r )e Z
其中，A，B为待定系数，l 为整数。
§3.4.2模式本征值
模式的本征值β可由U或W求得 在一般情况下由本征值方程求本征值很复杂, 只能利用计算机进行数值计算。 两种情形可很容易地确定本征值:
– 导模处于临近截止 – 导模处于远离截止
32
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式： J 1/ 2J 1 U J 1 U U
第三章 阶跃折射率分布光纤
1
§3.1 引言
数学模型
圆柱坐标系中的波导场方程
边界条件
本征解与本征值方程
本征值与模式分析
2
数学模型
数学模型：阶跃折射率分布光纤
(SIOF)是一种理想的数学模型，即 认为光纤是一种无限大直园柱系统， 芯区半径a，折射率为n1；包层沿径 向无限延伸，折射率为n2 ；光纤材 料为线性、无损、各向同性的电介 质。
9
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
光线轨迹：偏斜光线传播时不与纤轴相交， 因而不限于单一平面之内，其光线轨迹是螺 旋状折线，限制在 ri 0 r a 圆筒内传播，轨 迹折线在光纤端面上的投影形成一个多边形， 其内接圆称为内散焦面，半径为 ri 0
10
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
33
贝塞尔函数递推公式(II)
微分公式： KW
1 K 1 W K 1 W 2
1 K W K 1 W K 1 W 递推公式： W 2
1 W lim K W e 大宗量近似：W W 1!2 1W
0 r a r a 0 r a r a 0 r a r a 0 r a r a
a 2 1l Ur U Ur il i i AJ BJ e l l U r a a a Hr 2 Wr W Wr il a 2l i i CK DK e l l W r a a a a 2 U l Ur Ur il BJl i e i 1 AJ l r a a U a H 2 l Wr Wr il a a i C K i DK e l W W 1 l a r a
递推公式： / U J U 1/ 2J 1 U J 1 U
2 lim J U cosU 大宗量近似： U U 4 2
1 U lim J U 小宗量近似： U 0 ! 2
lim K W 2 小宗量近似：W 0 ln W
34
1 0
1.123 ln W
TE0m模式(ι=0, q= ∞ )
J0’=(1/2)(J-1－J1)=－J1
K0’=(－1/2)(K-1＋1)=－K1
K1=n1k0
30
K1=n2k0
模式分类的 q 参数
1 1 J U K W 2 2 W U 2 2 n1 n1 1 1 J U K W 2 2 2 2 n2 W n2 U
31
15
§3.3 波导场方程及导模本征解
纵向场分量满足：贝塞尔方程
2 d 2 F (r ) dF (r ) 2 l 2 ( k i ) 2 F ( r ) 0 2 dr rdr r
ki2 2 i 0 ni2 k02 ,
i 1,2
贝塞尔方程的解： – 第一类和第二类贝塞尔函数：Jl, Nl – 第一类和第二类汉克尔函数：Hl (1) , Hl (2) – 第一类和第二类变态汉克尔函数：Il , Kl
§3.4 模式分析
26
形式1：
2
本征值方程
2 2 J U K W J U KW 1 1 k k 2 2 1 2 l 2 2 U W UJ U WK W U J U W K W
包层(r>a)：
E C Wr jl K l ( )e a H D
II z II z
横向分量： 可由纵横关系式求得
20
a 2 U Ur il Ur il i A J BJ e l l r a a U a Er 2 Wr il Wr il a W i C K DK e l l W a a r a a 2 il Ur U Ur il AJl BJl e i U r a a a E 2 Wr W Wr il a il i CK DK e l l W r a a a
27
K W K W WK W
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合 右手定则)，EH模偏振旋转方向则与光波行 进方向相反。
28
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
K1=n1k0
29
K1=n2k0
ห้องสมุดไป่ตู้
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
24
课堂测验（2）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
25
说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。 波导场方程具有什么样的数学特征？ 说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。 传播常数的的物理意义是什么。 说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。 说明光波导数值孔径的物理意义 子午光线的主要特征是什么? 光线时延差影响光通信的什么性能？ 在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？ 在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学 特征？
n1 n( r ) n2
0r a
n2 n1
–导光条件: ni sin i n n –临界角: arccos( n /n )
2 1 2 2
zc
2
1
7
SIOF中光线的传播:子午光线
2 ni sin i n12 n2 – 导光条件: – 临界角: zc arccos(n2 / n1 ) – 数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入 射媒质折射率与最大入射角的正弦值 之积,即 2 2
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场解的选取
J0
依据：导模场分布特点：在 空间各点均为有限值；在芯 区为振荡形式，而在包层则 为衰减形式；导模场在无限 远处趋于零。 本征解选取：在纤芯中选取 贝赛尔函数Jl，在包层中选 取变态汉克尔函数Kl。
J1
K0
K1
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本征解的确定
纤芯(0<r<a)： E zI A Ur jl I J l ( )e a H z B
12
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
极限情况，当满足cosθφ＝n2/n1时，Δτs→∞，尽管光 线依然可以满足内全反射条件而被约束在纤芯中，但 光线仅仅在光纤横截面上频繁反射而不沿z轴向前传 播。显然，若考虑偏斜光线的传播，光纤的传输带宽 比仅考虑子午光线时要小。
13
§3.3 波导场方程及导模本征解
NA ni sin im n1 n2 n1 2
– 相对折射率差: – 最大时延差：
8
(n n ) / 2n
2 1 2 2
2 1
n1 / c
SIOF的传输容量
传输容量: 时延差的倒数 多模光纤: n1=1.5, ∆=1%, ∆t =50 ns/km 传输带宽: 1/ ∆t = 20 MHz·km 结论1：多模光纤通信容量并不高! 由一点发出的光线不能会聚在另一点: 结论2：多模光纤不适合于传输图像!
3
§3.2 几何光学方法分析
光线分类
光线轨迹：子午光线
光线轨迹：倾斜光线
4
光线分类
子午光线： – 限制在子午平面内传播的光线 – 与光轴相交 倾斜光线： – 轨迹曲线不限制在一个平面内 – 不过光轴
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子午平面
z
6
SIOF中光线的传播:子午光线
–折射率分布: ra –光线轨迹: 限制在子午平面内传播 的锯齿形折线。 光纤端面投影线是 过园心交于纤壁的直线。
为确定光线的传播方向，需要两个参量： 轴向角与方位角。
轴向角 z 是光线与轴线方向的夹角。
方位角 是光线在光纤截面上的投影与 反射点处纤壁切线的夹角。
11
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
数值孔径： NAS NA / sin (大于子午光线)
最大时延差： (大于子午光线)
n n1 1 s 1 2 n 2 NA c S 1
21
§3.4 本征值方程
22
§3.4 本征值方程
23
本征值方程的物理意义
J K k J k K 1 2 2 2 1 ( )( )l ( 2 2) UJl WK l UJl WK l U W
' l ' l 2 1 ' l 2 2 ' l
又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系，因此它实际是关于β的一 个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时， 对于 不同的l值，可求得相应的β值。由于贝塞尔函 数及其导数具有周期振荡性质，所以本征值方 程可以有多个不同的解βlm(l=0,1,2,3... m=1,2,3...),每一个βlm都对应于一个导模。
形式2：
2 2 n1 2 n1 1 1 1 1 J U K W 2 J U K W 2 2 2 2 2 W U W n2 n2 U
定义：
J U J U UJ U
六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz 波导场方程：
E 2 z ( 2 2 j ) 0 r rr H z
2 2
2 2 2 n1 k0 2 2 2 2 j n j k0 2 2 2 n k 2 0
(纤芯中, j 1) (包层中, j 2)
14
§3.3 波导场方程及导模本征解
由于光纤具有圆对称折射率分布，其场 分布也必然具有圆对称形式，及沿角向 场分布为周期函数。 令 EZ A il H B F ( r )e Z
其中，A，B为待定系数，l 为整数。
§3.4.2模式本征值
模式的本征值β可由U或W求得 在一般情况下由本征值方程求本征值很复杂, 只能利用计算机进行数值计算。 两种情形可很容易地确定本征值:
– 导模处于临近截止 – 导模处于远离截止
32
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式： J 1/ 2J 1 U J 1 U U
第三章 阶跃折射率分布光纤
1
§3.1 引言
数学模型
圆柱坐标系中的波导场方程
边界条件
本征解与本征值方程
本征值与模式分析
2
数学模型
数学模型：阶跃折射率分布光纤
(SIOF)是一种理想的数学模型，即 认为光纤是一种无限大直园柱系统， 芯区半径a，折射率为n1；包层沿径 向无限延伸，折射率为n2 ；光纤材 料为线性、无损、各向同性的电介 质。
9
SIOF中光线的传播: 倾斜光线
光线轨迹：偏斜光线传播时不与纤轴相交， 因而不限于单一平面之内，其光线轨迹是螺 旋状折线，限制在 ri 0 r a 圆筒内传播，轨 迹折线在光纤端面上的投影形成一个多边形， 其内接圆称为内散焦面，半径为 ri 0
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SIOF中光线的传播: 倾斜光线
33
贝塞尔函数递推公式(II)
微分公式： KW
1 K 1 W K 1 W 2
1 K W K 1 W K 1 W 递推公式： W 2
1 W lim K W e 大宗量近似：W W 1!2 1W
0 r a r a 0 r a r a 0 r a r a 0 r a r a
a 2 1l Ur U Ur il i i AJ BJ e l l U r a a a Hr 2 Wr W Wr il a 2l i i CK DK e l l W r a a a a 2 U l Ur Ur il BJl i e i 1 AJ l r a a U a H 2 l Wr Wr il a a i C K i DK e l W W 1 l a r a
递推公式： / U J U 1/ 2J 1 U J 1 U
2 lim J U cosU 大宗量近似： U U 4 2
1 U lim J U 小宗量近似： U 0 ! 2
lim K W 2 小宗量近似：W 0 ln W
34
1 0
1.123 ln W
TE0m模式(ι=0, q= ∞ )
J0’=(1/2)(J-1－J1)=－J1
K0’=(－1/2)(K-1＋1)=－K1
K1=n1k0
30
K1=n2k0
模式分类的 q 参数
1 1 J U K W 2 2 W U 2 2 n1 n1 1 1 J U K W 2 2 2 2 n2 W n2 U
31
15
§3.3 波导场方程及导模本征解
纵向场分量满足：贝塞尔方程
2 d 2 F (r ) dF (r ) 2 l 2 ( k i ) 2 F ( r ) 0 2 dr rdr r
ki2 2 i 0 ni2 k02 ,
i 1,2
贝塞尔方程的解： – 第一类和第二类贝塞尔函数：Jl, Nl – 第一类和第二类汉克尔函数：Hl (1) , Hl (2) – 第一类和第二类变态汉克尔函数：Il , Kl
§3.4 模式分析
26
形式1：
2
本征值方程
2 2 J U K W J U KW 1 1 k k 2 2 1 2 l 2 2 U W UJ U WK W U J U W K W
包层(r>a)：
E C Wr jl K l ( )e a H D
II z II z
横向分量： 可由纵横关系式求得
20
a 2 U Ur il Ur il i A J BJ e l l r a a U a Er 2 Wr il Wr il a W i C K DK e l l W a a r a a 2 il Ur U Ur il AJl BJl e i U r a a a E 2 Wr W Wr il a il i CK DK e l l W r a a a
27
K W K W WK W
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合 右手定则)，EH模偏振旋转方向则与光波行 进方向相反。
28
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
K1=n1k0
29
K1=n2k0
ห้องสมุดไป่ตู้
§3.4.1 光纤中的模式及其分类
24
课堂测验（2）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
25
说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。 波导场方程具有什么样的数学特征？ 说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。 传播常数的的物理意义是什么。 说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。 说明光波导数值孔径的物理意义 子午光线的主要特征是什么? 光线时延差影响光通信的什么性能？ 在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？ 在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学 特征？