中考数学狙击重难点系列专题16----由二次函数图像的平移求面积

由二次函数图像的平移求面积
1. 如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）
A. y=（x﹣2）2+4
B. y=（x﹣2）2+3
C. y=（x﹣2）2+2
D. y=（x﹣2）2+1
2. 如图，将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B （4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A. B. C. D.
3. 如图，两条抛物线y1=－x2＋1、y2=－x2－1 与分别经过点（－2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )
A. 8
B. 6
C. 10
D. 4
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
5. 如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所
围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（）
A. ，
B. ，﹣
C. ，﹣
D. ﹣，
7. 如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A，B，把抛物线与线段AB围成的图形记为C1，将C l绕点B中心对称变换得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2绕点C中心对称变换得C3，连接C，与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为（）
A. 32
B. 24
C. 36
D. 48
8. 如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶
点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣3x2的图象经过平移得到二次函数y=﹣3x2+6x﹣6的图象，则二次函数y=﹣3x2图象的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为________．
10. 如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为
________（面积单位）．
11. 如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为
________．
12. 如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=-x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为________
13. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是________．
15. 如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向下平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣4，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则s与m的函数关系式为________ （不写自变量取值范围）．
16. 如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是________ ，顶点坐标为________ ；
（2）阴影部分的面积________ ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为________ ，开口方向________ ，顶点坐标为________ ．
17. 如图，二次函数y= x2（0≤x≤2）的图象记为曲线C1，将C1绕坐标原点O逆时针旋转90°，得曲线C2．
（1）请画出C2；
（2）写出旋转后A（2，5）的对应点A1的坐标________；
（3）直接写出C1旋转至C2过程中扫过的面积________．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解：连接BC，
∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，
∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；
∵抛物线l1的解析式是y=（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，
∴OA=4；
∴OA•AB=16，
∴AB=4；
∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，
∴l2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2+4，即y=（x﹣2）2+2．
故选C．
【分析】根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的．
2.【答案】D
【解析】【解答】∵函数y= （x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m= （1-2）2+1=1 ，n= （4-2）2+1=3，
∴A（1，），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），
∴AC=4-1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y= （x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y= （x-2）2+4．
故答案为：D．
【分析】因为图中的阴影部分不规则，所以可作辅助线，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，用待定系数法易求得点A、B的坐标，则点C的坐标可求解，AC的长易得，然后根据曲线段AB扫过的面积为9可求得AA′的长，则可得抛物线向上平移的距离，由抛物线向上平移的特征可求得新图象的函数表达式。

3.【答案】A
【解析】
【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．
【解答】∵两解析式的二次项系数相同，
∴两抛物线的形状完全相同，
∴y1-y2=-x2+1-（-x2-1）=2；
∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8，
故选A．
【点评】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题
4.【答案】B
【解析】【分析】过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于CAO的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积。

【解答】∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）。

∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4。

故选B。

5.【答案】B
【解析】【解答】解：如图，我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣2所围成的阴影部分的面积S可以看做和矩形BB′C′C等积，于是可以看出S与m是正比例函数关系
故选：B．
【分析】根据图形平移后形状不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（矩形）即可判断．6.【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵y=ax2+bx= x2+bx= （x+ ）2﹣，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x=﹣，
当x=﹣时，y= ，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（+ ）×（﹣）= ．
解得b=﹣，
故选：C．
【分析】确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
7.【答案】A
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴C1的顶点坐标为（﹣1，4）．
当y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．
∵将C l绕点B中心对称变换得C2，将C2绕点C中心对称变换得C3，
∴C2的顶点坐标为（3，﹣4），点C的坐标为（5，0），C3的顶点坐标为（7，4），
∴S阴影=[7﹣（﹣1）]×（4﹣0）=8×4=32．
故选A．
【分析】将抛物线的一般式变形为顶点式即可得出C1的顶点坐标，由二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，根据中心对称的性质即可得出C2、C3的顶点坐标，再根据对称性即可得出阴影部分的面积．
二、填空题
8.【答案】
【解析】【解答】过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，
得出二次函数解析式为：y= （x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0= （﹣6+3）2+h，
解得：h=﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|﹣3|×|﹣|= ．
故答案为：．
【分析】可转化阴影部分面积，进行分割，根据两抛物线形状相同，具有对称性，因此把x轴上侧的阴影面积补到下侧空白部分，构成完整的矩形.
9.【答案】3
【解析】【解答】解：y=﹣3x2+6x﹣6=﹣3（x﹣1）2﹣3，即平移后抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），所以抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线y=﹣3x2+6x﹣6，
所以对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积= ×1×6=3．
故答案为：3．
【分析】先利用配方法得到抛物线y=﹣3x2+6x﹣6的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线y=﹣3x2+6x﹣6，然后利用阴影部分的面积等于三角形面积进行计算．
10.【答案】9
【解析】【解答】解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，∴曲线CMB在
平移过程中扫过的面积= OC•OB+ OC•BD= ×3×3+ ×3×3=9，
故答案为9．
【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．
11.【答案】12
【解析】【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO=sin45°•OA= ×3= ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 × =12．
故答案为：12．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．12.【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），
∴抛物线m的对称轴为直线x=3，
∵抛物线y=-x2通过平移得到抛物线m，
∴设抛物线m的解析式为y=-（x﹣3）2+k，
将O（0，0）代入，得-（0﹣3）2+k=0，
解得k=4，
∴抛物线m的解析式为y=-（x﹣3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），
由勾股定理，得OA=5．
连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，﹣4），
阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积=•π•52﹣×8×3=
故答案为：
【分析】先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．
13.【答案】③④
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，
∴a>0,
又∵对称轴，
∴b<0
∴结论①是错误的；
∵x=-1时，y>0,
∴a-b+c>0,
∴结论②是错误的；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y=-2,
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是 ,
∴结论③是正确的；
∵，c=-1,
∴b2=4a,
∴结论④是正确的；
故答案是③④。

【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对称轴为x=->0，可得b<0，据此判断即可;
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=-1时，y>0，即a-b+c>0，据此判断即可;
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可.
④根据函数的最小值是=-2，可求出c的值，就可得出a、b的关系。

综上所述，就可得出答案。

14.【答案】1
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，即平移后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），所以抛物线y=x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x2﹣2x，
所以对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积= ×1×2=1．
故答案为1．
【分析】先利用配方法得到抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标为（1，﹣1），则抛物线y=x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x2﹣2x，然后利用阴影部分的面积等于三角形面积进行计算．
15.【答案】s=6m
【解析】【解答】解：我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣4所围成的阴影部分的面积s可以看做和矩形等积，
于是可以看出S与m是正比例函数关系：s=6m．
故答案是：s=6m．
【分析】根据图形平移后面积不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（矩形）即可判断．16.【答案】y2=﹣（x﹣1）2+2；（1，2）；2；y3=（x+1）2﹣2；向上；（﹣1，﹣2）
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，
∴抛物线y2的解析式是y2=﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）．
故答案为：y2=﹣（x﹣1）2+2，（1，2）；
（2）阴影部分的面积是：1×2=2．
故答案为：2；
（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2﹣2，开口方向向上．
故答案为：y3=（x+1）2﹣2，向上，（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线y2的解析式，再根据y2的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据阴影部分的面积等于底×高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的解析式．
三、综合题
17.【答案】（1）解：如图，曲线C2即为所求
（2）（﹣5，2）
（3）π
【解析】【解答】解：（2）由图可知，A1（﹣5，2）．故答案为：（﹣5，2）；（3）∵OA= =
，
∴C1旋转至C2过程中扫过的面积= = π．
故答案为：π．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出曲线C2即可；（2）根据点A1在坐标系中的位置即可得出结论；（3）先求出OA的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．。