(上)《圆》单元复习(最新)人教版九年级数学全一册课件(34张)-公开课
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又∵点 C 是弧 AD 的中点，∴弧 AC＝弧 CD，
∴弧 AE＝弧 CD，∴∠ACP＝∠CAP， ∴AP＝CP，∠QCP＝∠CQP，
∴PQ＝CP，∴AP＝PQ.
(2)解：连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB，CE＝16，∴CF＝8，
根据勾股定理，得 OF2＋CF2＝OC2，即 OF2＋82＝2352， 解得 OF＝37，∴BF＝332，∴BC＝430，∴AC＝10. (3)解：由(1)知，弧 AE＝弧 AC，弧 AC＝弧 CD， ∴弧 CE＝弧 AD，∴AD＝CE＝16.
第二十四章 圆
第15课时 《圆》单元复习
知识要点
知识点一： 垂径定理及其推论 如图，在⊙O 中，①CD 是⊙O 的直径；②AM＝BM；③CD
︵︵ ︵︵
⊥AB；④AC＝BC；⑤AD＝BD，由二推三．
对点训练
1.如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，若 AB＝4，OC＝
1，则⊙O 的半径为( B )
变式练习
︵
11.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB 于 F，点 C 是AD的
中点，AD 分别交 CE，BC 于点 P，Q，⊙O 的半径为235，CE ＝16. (1)求证：AP＝PQ； (2)求 AC 的长； (3)求 AD 的长．
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB，∴弧 AE＝弧 AC，
9.【例 2】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上一点， 点 D 在⊙O 上，且∠A＝30°，∠ABD＝2∠BDC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)过点 O 作 OF∥AD，分别交 BD， CD 于点 E，F，若 OB＝2，求 OE 和 CF 的长．
(1)证明：如图，连接 OD.
︵
3.如图，已知 OA，OB 均为⊙O 的半径，点 D 在AB上， 若∠AOB＝80°，则∠ACB＝ 40 °，∠ADB＝ 140 °.
知识点四：与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系； (2)直线与圆的位置关系.
4.⊙O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，则点 A
与⊙O 的位置关系为( C )
∴四边形 OECF 是矩形． ∵OE＝OF，∴四边形 OECF 是正方形．
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∴OD⊥AB，
∴OE＝12OA＝25，AE＝BE， ∴AE＝ OA2－OE2＝5 2 3，∴AB＝5 3， 即 AB 的长为 5 3.
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∵BD＝OB＝2，∴DE＝BE＝21BD＝1， ∴OE＝ OB2－BE2＝ 3.
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∵OD＝OB＝2，∠DOC＝60°，∠DOF＝30°，
∴CD＝2 3，DF＝23 3， ∴CF＝CD－DF＝2 3－32 3＝34 3.
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(1)证明：∵点 E，F 是⊙O 的切点， ∴OE⊥BC，OF⊥AC， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
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(2)如图，连接OD，交AB于点E. ∵OA＝OD＝AD＝5，
13.如图，△ABC 的外接圆为⊙O，I 为△ABC 的内心，∠ACB ＝50°，CI 的延长线交⊙O 于点 D. (1)若∠ACB＝50°，求∠AOB 及∠AIB 的度数； (2)若⊙O 的半径为 5，AD＝5，求 AB 的长．
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12.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD＝BA， BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：∠1＝∠BAD； (2)求证：BE 是⊙O 的切线．
知识点六： 正多边形与圆 (1)正多边形的中心； (2)正多边形的半径； (3)正多边形的中心角； (4)正多边形的边心距.
6.如图，⊙O 是正三角形 ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 2 cm， 则： (1)正三角形 ABC 的半径为 2 cm； (2)中心角为 120 °； (3)边心距为 1 cm； (4)边长为 2 3 cm.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°. ∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝12∠ABD＝30°. ∵OD＝OB，∴△ODB 是等边三角形，∴∠ODB＝60°， ∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，∴CD 是⊙O 的切线．
(2)解：∵OF∥AD，∠ADB＝90°， ∴OF⊥BD，∠BOE＝∠A＝30°.
A. 3
B． 5
C．2 5
D．6
知识点二：弦、弧、圆心角关系定理
︵︵
如图，在⊙O 中，①AB＝BC；②AB＝BC；③∠AOB＝∠BOC， 由一推二．
︵︵
2.如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠AOB＝125°，则∠BOC 的度 数为 110°.
知识点三：圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理； (2)圆周角定理的推论； (3)圆内接四边形的性质.
∴⊙O 的面积＝π×22＝4π.
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∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO， ∴∠CBO＋∠BCD＝180°，∴OB∥DE， ∵BE⊥DE，∴EB⊥OB， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线．
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解：(1)连接 OA. ∵BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，AD＝8，∴AH＝4. ∵OH＝3，∴在 Rt△AOH 中，OA＝ 42＋32＝5， ∴⊙O 的半径为 5. (2)∵∠EBA＝∠EAB，∴AE＝BE.设 BE＝x，则 AE＝x. 在 Rt△BEH 中，BH＝5－3＝2，EH＝4－x， 有 22＋(4－x)2＝x2，解得 x＝2.5，即 BE 的长为 2.5. (3)不变，BQ 的长度为 2 5.
∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD.
(2)如图，连接 BO，
∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠BCO＋∠BCD＝180°，
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10.【例 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是 D，E，F. (1)求证：四边形 OECF 是正方形； (2)若 AF＝10，BE＝3，求⊙O 的面积．
∴△ OAD 是等边三角形． 又∵I 为△ ABC 的内心， ∴∠ACD＝∠BCD，
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知识点七：弧长、扇形面积、圆锥侧面积
(1)弧长公式：l＝n1π8R0 (或 l＝3n60·2πR)； (2)扇形的面积公式： ①S＝n3π6R02； ②S＝12lR. (3)圆锥的侧面积：S 侧＝πrR.
7.(1)圆心角为 120°的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 3π ，弧长为 2π ；
︵
(2)扇形 AOB 的半径为 3 cm，AB的长为 4 cm， 则扇形面积为 6 cm2 ； (3)已知圆锥的底面圆半径为 3 cm、高为 4 cm， 则圆锥的侧面积是 15π cm2.
精典范例
8.【例 1】如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，垂足为 H，
︵
AD＝8，OH＝3，P 是AC上一个动点，BP 交 AD 于点 E. (1)求⊙O 的半径； (2)若∠EBA＝∠EAB，求线段 BE 的长； (3)若在运动过程中，AQ 平分∠PAD，线 段 BQ 的长度改变吗？若不变，求出其值； 若改变，说明理由．
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解：(1)∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB＝2∠ACB＝100°. 又∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IAC＝∠IAB，∠IBA＝∠IBC， ∴∠IAB＋∠IBA＝12×(180°－50°)＝65°， ∴∠AIB＝180°－(∠IAB＋∠IBA)＝180°－65°＝115°， 即∠AOB 及∠AIB 的度数分别为 100°与 115°.
(2)解：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AF＝AD，BE＝BD， ∴AB＝AD＋BD＝10＋3＝13.
设⊙O 的半径为 r，则 AC＝10＋r，BC＝3＋r. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2＋BC2＝AB2，
即(10＋r)2＋(3＋r)2＝132， 解得 r＝2 或 r＝－15(舍去)，
A．点 A 在圆上
B．点 A 在圆外
C．点 A 在圆内
D．无法确定
知识点五：切线 (1)切线的性质； (2)切线的判定； (3)切线长定理.
5.如图，点 P 在⊙O 外，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两 点，∠APB＝50°，AP＝12 cm，OP＝13 cm，则： (1)∠AOB＝ 130 °； (2)∠APO＝ 25 °； (3)BP＝ 12 cm； (4)OA＝ 5 cm.
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证明：(1)∵BD＝BA，
∴弧 AE＝弧 CD，∴∠ACP＝∠CAP， ∴AP＝CP，∠QCP＝∠CQP，
∴PQ＝CP，∴AP＝PQ.
(2)解：连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB，CE＝16，∴CF＝8，
根据勾股定理，得 OF2＋CF2＝OC2，即 OF2＋82＝2352， 解得 OF＝37，∴BF＝332，∴BC＝430，∴AC＝10. (3)解：由(1)知，弧 AE＝弧 AC，弧 AC＝弧 CD， ∴弧 CE＝弧 AD，∴AD＝CE＝16.
第二十四章 圆
第15课时 《圆》单元复习
知识要点
知识点一： 垂径定理及其推论 如图，在⊙O 中，①CD 是⊙O 的直径；②AM＝BM；③CD
︵︵ ︵︵
⊥AB；④AC＝BC；⑤AD＝BD，由二推三．
对点训练
1.如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，若 AB＝4，OC＝
1，则⊙O 的半径为( B )
变式练习
︵
11.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB 于 F，点 C 是AD的
中点，AD 分别交 CE，BC 于点 P，Q，⊙O 的半径为235，CE ＝16. (1)求证：AP＝PQ； (2)求 AC 的长； (3)求 AD 的长．
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB，∴弧 AE＝弧 AC，
9.【例 2】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上一点， 点 D 在⊙O 上，且∠A＝30°，∠ABD＝2∠BDC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)过点 O 作 OF∥AD，分别交 BD， CD 于点 E，F，若 OB＝2，求 OE 和 CF 的长．
(1)证明：如图，连接 OD.
︵
3.如图，已知 OA，OB 均为⊙O 的半径，点 D 在AB上， 若∠AOB＝80°，则∠ACB＝ 40 °，∠ADB＝ 140 °.
知识点四：与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系； (2)直线与圆的位置关系.
4.⊙O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，则点 A
与⊙O 的位置关系为( C )
∴四边形 OECF 是矩形． ∵OE＝OF，∴四边形 OECF 是正方形．
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∴OD⊥AB，
∴OE＝12OA＝25，AE＝BE， ∴AE＝ OA2－OE2＝5 2 3，∴AB＝5 3， 即 AB 的长为 5 3.
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∵BD＝OB＝2，∴DE＝BE＝21BD＝1， ∴OE＝ OB2－BE2＝ 3.
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∵OD＝OB＝2，∠DOC＝60°，∠DOF＝30°，
∴CD＝2 3，DF＝23 3， ∴CF＝CD－DF＝2 3－32 3＝34 3.
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(1)证明：∵点 E，F 是⊙O 的切点， ∴OE⊥BC，OF⊥AC， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
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(2)如图，连接OD，交AB于点E. ∵OA＝OD＝AD＝5，
13.如图，△ABC 的外接圆为⊙O，I 为△ABC 的内心，∠ACB ＝50°，CI 的延长线交⊙O 于点 D. (1)若∠ACB＝50°，求∠AOB 及∠AIB 的度数； (2)若⊙O 的半径为 5，AD＝5，求 AB 的长．
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12.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD＝BA， BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：∠1＝∠BAD； (2)求证：BE 是⊙O 的切线．
知识点六： 正多边形与圆 (1)正多边形的中心； (2)正多边形的半径； (3)正多边形的中心角； (4)正多边形的边心距.
6.如图，⊙O 是正三角形 ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 2 cm， 则： (1)正三角形 ABC 的半径为 2 cm； (2)中心角为 120 °； (3)边心距为 1 cm； (4)边长为 2 3 cm.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°. ∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝12∠ABD＝30°. ∵OD＝OB，∴△ODB 是等边三角形，∴∠ODB＝60°， ∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，∴CD 是⊙O 的切线．
(2)解：∵OF∥AD，∠ADB＝90°， ∴OF⊥BD，∠BOE＝∠A＝30°.
A. 3
B． 5
C．2 5
D．6
知识点二：弦、弧、圆心角关系定理
︵︵
如图，在⊙O 中，①AB＝BC；②AB＝BC；③∠AOB＝∠BOC， 由一推二．
︵︵
2.如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠AOB＝125°，则∠BOC 的度 数为 110°.
知识点三：圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理； (2)圆周角定理的推论； (3)圆内接四边形的性质.
∴⊙O 的面积＝π×22＝4π.
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∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO， ∴∠CBO＋∠BCD＝180°，∴OB∥DE， ∵BE⊥DE，∴EB⊥OB， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线．
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解：(1)连接 OA. ∵BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，AD＝8，∴AH＝4. ∵OH＝3，∴在 Rt△AOH 中，OA＝ 42＋32＝5， ∴⊙O 的半径为 5. (2)∵∠EBA＝∠EAB，∴AE＝BE.设 BE＝x，则 AE＝x. 在 Rt△BEH 中，BH＝5－3＝2，EH＝4－x， 有 22＋(4－x)2＝x2，解得 x＝2.5，即 BE 的长为 2.5. (3)不变，BQ 的长度为 2 5.
∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD.
(2)如图，连接 BO，
∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠BCO＋∠BCD＝180°，
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10.【例 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是 D，E，F. (1)求证：四边形 OECF 是正方形； (2)若 AF＝10，BE＝3，求⊙O 的面积．
∴△ OAD 是等边三角形． 又∵I 为△ ABC 的内心， ∴∠ACD＝∠BCD，
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知识点七：弧长、扇形面积、圆锥侧面积
(1)弧长公式：l＝n1π8R0 (或 l＝3n60·2πR)； (2)扇形的面积公式： ①S＝n3π6R02； ②S＝12lR. (3)圆锥的侧面积：S 侧＝πrR.
7.(1)圆心角为 120°的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 3π ，弧长为 2π ；
︵
(2)扇形 AOB 的半径为 3 cm，AB的长为 4 cm， 则扇形面积为 6 cm2 ； (3)已知圆锥的底面圆半径为 3 cm、高为 4 cm， 则圆锥的侧面积是 15π cm2.
精典范例
8.【例 1】如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，垂足为 H，
︵
AD＝8，OH＝3，P 是AC上一个动点，BP 交 AD 于点 E. (1)求⊙O 的半径； (2)若∠EBA＝∠EAB，求线段 BE 的长； (3)若在运动过程中，AQ 平分∠PAD，线 段 BQ 的长度改变吗？若不变，求出其值； 若改变，说明理由．
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解：(1)∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB＝2∠ACB＝100°. 又∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IAC＝∠IAB，∠IBA＝∠IBC， ∴∠IAB＋∠IBA＝12×(180°－50°)＝65°， ∴∠AIB＝180°－(∠IAB＋∠IBA)＝180°－65°＝115°， 即∠AOB 及∠AIB 的度数分别为 100°与 115°.
(2)解：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AF＝AD，BE＝BD， ∴AB＝AD＋BD＝10＋3＝13.
设⊙O 的半径为 r，则 AC＝10＋r，BC＝3＋r. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2＋BC2＝AB2，
即(10＋r)2＋(3＋r)2＝132， 解得 r＝2 或 r＝－15(舍去)，
A．点 A 在圆上
B．点 A 在圆外
C．点 A 在圆内
D．无法确定
知识点五：切线 (1)切线的性质； (2)切线的判定； (3)切线长定理.
5.如图，点 P 在⊙O 外，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两 点，∠APB＝50°，AP＝12 cm，OP＝13 cm，则： (1)∠AOB＝ 130 °； (2)∠APO＝ 25 °； (3)BP＝ 12 cm； (4)OA＝ 5 cm.
【名师示范课】上册第24章 第15课时 《圆》单元复习-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT) -公开 课课件 （推荐 ）
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证明：(1)∵BD＝BA，