极小值原理及其应用

假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
④ 在最优轨线末端哈密顿函数应满足：
x(t0 ) 0
则有
x(t) t0 ea(ts)b(s)ds, tf
t [t0 , t f ]
用增量法证明定理5-1的过程如下
（1）性能指标泛函在 u(t) u*(t) 时的增量
（2） 状态增量的表达式
（3） 对状态 x(t)的估计
（4） 极小值条件的推证 （5） 哈密顿函数沿最优轨线的性质
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
H (x, ,u,t) T (t) f (x,u,t)
对于终端（Mayer）型，由于L＝0，因而：
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
若性能指标中包含末值项 x(t f ) 0
则横截条件为：
(t
f
)
x(t
x(t f
f) )
否则横截条件为： (t f ) 0
P64 例题： P66例题给出了控制量有无约束的区别。
定理5-4 对于如下定常系统、末值型性能指标、 末端自由、控制受约束和控制受约束的最优控 制问题
t
（2） 对于积分型性能指标问题的推广
定理5-3 对于如下定常系统、末值型性能指标、 末端自由、控制受约束的最优控制问题
min J (u) t f L[x(t), u(t)]dt
u (t )
t0
s.t. x(t) f (x, u, t), x(t0 ) xo
t [t0 , t f ] t f 未定
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u,t) T (t) f (x,u,t)
线 x* (t) ，必存在非零的 n 维向量函数 (t)，使得
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
（5-1）
(t) H
x式中哈密顿函数Fra bibliotek（5-2）
H (x,u, ) T (t) f (x,u) （5-3）
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t
f
)
不再成立，故不能在用古典变分法解决u该类问题。
5.1 连续系统的极小值原理 5.1.1自由末端的极小值原理
定理5-1 对于如下定常系统、末值型性能指标、末端 自由、控制受约束的最优控制问题
min
u (t )
J
(u)
[ x(t
f
)]
s.t. x(t) f (x, u), x(t0 ) xo , t [t0 , t f ]
当 t f 自由时
H[x* (t f *), u* (t f * ), (t f * )] 0
（5-7）
与经典变分法相比，极小值的重要意义如下： 1）容许条件放宽了。 2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值 3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。 4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
[x(t f )] 0
(t
f
)
[ x(t
x(t f
f )] )
T [x(t f
x(t f )
)]
式中后两个条件表明末端状态x(t f ) 要落在目标集上，以
及在最优轨线的末端协态向量(t f )横截于目标集
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
式中 x(t) Rn ，为系统状态控制向量；u(t) Rm
为系统控制向量； 为容许控制域；u(t) 是在
内取值的任何分段连续函数；末端时刻 t f 未知； 末态 x(t f )自由。
假设：
① 函数 f (x, u)和 (x)都是其变量的连续函数；
② 函数 f (x, u) 和 (x)对于 x 是连续可微的，
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
[x(t f ), t f ] 0
(t
f
)
[x(t f ), t f
x(t f )
]
T [x(t f ), t f x(t f )
]
式中后两个条件表明末端状态x(t f ) 要落在运动目标集上，
以及在最优轨线的末端协态向量 横(t截f )于运动目标集。
J
(u)
[x(t f
), t
f
]
s.t. ① x(t) f (x, u, t), x(t0 ) xo
t [t0 , t f ] t f 未知
② [x(t f ), t f ] 0
假设同定理5-1。
t f是使状态轨线 x(t) 与运动目标集 [x(t f )] 0
首次相遇的末端时刻。
若 u* (t) 和 t f *是使性能指标取最小值的最优解，
即 f 和 存在且连续。
xT
x
③ 函数 f (x, u) 在任意有界集上对变量 x 满足 李卜希茨条件：当 1 为有界集时， 存在一常数 a 0，使得只要 x1, x2 x ，对 于任意 u 1 ，有
f (x1, u) f x3, u a x1 x2
则对于最优解 u* (t) 和 t f * ，以及相应的最优轨
例5-1 设二阶系统的状态方程及初始条件为
x1(t) x1(t) u(t), x1(0) 1 x2 (t) x1(t), x2 (0) 0 式中标量控制 u(t) 的约束条件为 | u(t) | 1
若系统的末端状态 x(t f )是自由的，试求最优控 制 u* (t) ，使性能指标 J x2 (1) 取最小值
即
1(t) 1 et1 0, t [0,1)
故所求最优控制为
u*
(t
)
1,
0,
t [0,1) t 1
5.1.2 极小值原理的证明
引理 3-1
d | x || x | dt
引理 3-2
设 b(t)为分段连续函数。且 b(t) 0 ，
若函数满足下列不等式
d x(t) ax(t) bx(t), dt
第5章 极小值原理及其应用
极小值原理是前苏联学者庞特里亚金在1956年 提出的。
用古典变分法求解最优控制问题，都是控制变量
u (t )在取值范围内不受约束，取值是任意的，因 而最优控制 u* (t) 应满足 H 0，但若控制 变量 u(t) 受容许控制的约束，u 即满足不等式约
束条件 gx(t), u(t), t 0 ， 此时 H 0 已
min
u (t )
J (u)
[ x(t
f
)]
s.t. ① x(t) f (x, u, t), x(t0 ) xo
t [t0 , t f ] t f 未知
② [x(t f )] 0
假设同定理5-1。
t f是使状态轨线 x(t) 与目标集 [x(t f )] 0
首次相遇的末端时刻。
若 u* (t) 和 t f *是使性能指标取最小值的最优解，
5.1.3 极小值原理的一些推广形式
（1） 对于时变问题的推广 定理5-2 对于如下时变系统，末值型性能指标、 末端自由、控制受约束的最优控制问题
min
u (t )
J
(u)
[ x(t
f
)]
s.t. x(t) f (x, u, t), x(t0 ) xo
t [t0 , t f ] t f 未知
假设同定理5-1。
H[x* (t
f
* ),
(t
f
* ),
u* (t
f
* ),
t
f
*
]
[ x*
(t f *), t t f
f
*]
⑤ 沿最优轨线哈密顿函数变化律
H[x* (t), (t), u* (t), t]
H[x* (t f ), (t f ), u* (t f ), t f ]
t f H[x, , u, ]d
H[x* (t f *), u* (t f * ), (t f * )] 0
对于时变系统，末端约束一般表示为
[x(t f ), t f ] 0
这时，等价的末值型性能指标为
~
~
J (u) [x(t f ), t f ] [x(t f ), t f ] T [x(t f ), t f ]
解 本例为定常系统、末值型性能指标、末端自由、
固定t和f 控制受约束的最优控制问题。
由题意 [x(t f )] x2 (1), t f 1
令哈密顿函数
H (x,u, ) 1(x1 u) 2x1
根据正则方程
1
(t )
H x1
1 2
2
(t )
H x2
0
因而 1(t) c1et c2
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f
)
x(t f ), t f
x(t f )
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t), t] min H[x*(t), (t), u(t), t] u (t )
④ 在最优轨线末端哈密顿函数应满足
~
[x* (t f
* ), t f
*]
x(t f )
[x* (t f * ), t f * ] T T [x* (t f * ), t f * ]
x(t f )
x(t f )
（5-75）
定理5-5 对于如下时变系统、末值型性能指标、 末端受约束和控制受约束的最优控制问题
min
u (t )
（5-73）
因此，定理5-2中凡包含 及其导数的地方，都要
以
~
相应地替代，从而有
~
(t
f
)
[ x(t
x(t f
f )] )
[ x(t
x(t f
f )] )
T [x(t f
x(t f )
)]
（5-74）
以及
H[x* (t f * ), (t f * ), u* (t f ), t f * ]
2 (t) c2
式中 c1 和 c2为待定常数
由横截条件（5- 4）得
1(t f
)
t f 1
x1 (1)
0
2 (t f
)
t f 1
x2 (1)
1
解出 c1 e1, c2 1 ，故有
1(t) 1 et1
由极小值条件（5-13），得
u*(t) sgn{1(t)} 不难发现：1(0) 1 e1 0, 1(1) 0
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)] H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
当 t f 自由时
H[x* (t f *), u* (t f * ), (t f * )] 0
该定理表明，哈密尔顿函数为：
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
H [ x* (t ),
(t ),
u* (t )]
min
u (t )
H [ x* (t
f
),
(t ),
u(t)]
④ 在最优轨线末端哈密顿函数应满足：
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)] H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
当 t f 自由时