高中生学习微积分的困境及教学策略

［摘要］介绍高中生在学习微积分中遇到的一些问题及相对应的教学策略，探讨微积分在高中教学中的现状，包括微
积分中有关问题的处理与研究、导数与积分在高考中的命题、微积分与其他知识点相关联的应用举例，并列举了高中生学习微积分的困境，最后还提出了一些针对高中生微积分的学习策略，包括重视教学策略和教育观念的更新、重视现代教育技术的使用、利用数形加强学生对抽象概念的理解，营造积极的课堂氛围。

［关键词］微积分；高中数学教育；教学策略
［中图分类号］G633.6
［文献标志码］A
［文章编号］2096-0603（2021）20-0180-02
高中生学习微积分的困境及教学策略
张家瑞，王
鑫
（济宁学院数学系，山东济宁273155）
一、引言
微积分经历了数百年的发展，其思想在实际生活中逐渐渗透，教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《数学课程标准》）对高中微积分的教学提出了更高的要求，通过学习微积分的相关知识，对学生在解题思路的拓展及后续的学习中都有十分重要的影响。

因此，对高中微积分教学方法的研究成为数学教师教学研究的新课题，文章最后提出了几点针对《数学课程标准》背景下高中微积分的教学策略。

二、微积分在高中教学中的现状（一）微积分中有关问题的处理研究
《数学课程标准》对微积分的教学这一方面进行了重大调整，主要加强了对导数和积分应用的教学。

《数学课程标准》在导数及其应用课程的教学上做出的调整主要包括：（1）强调微分概念的本质。

在以往的教科书中，学生一开始对极限的概念并不理解，这会影响学生对导数本质的理解和掌握。

因此，《数学课程标准》在这方面有了很大的改变，极限的概念暂且不谈，而是通过对实际的背景和具体例子的应用，在速度、效率、成长率等实例中来反映导数的思想和本质，引导学生从函数的平均变化率到瞬间变化率再到导数的概念的过程，从具体到抽象，这样可以更好地引导学生对导数本质的理解和掌握。

（2）强调导数在研究事物变化速度、变化率以及对函数的基本性质和优化问题等方面的应用。

通过与之前方法相比较，可以感受到导数在处理这些问题中的有效性和一般性。

这部分教育内容的改革确实具有创新性，体现了数学理论的新应用。

（二）导数与积分在高考中的命题
导数这部分的派生词在高考的各种问题中都出现过。

研究的方向一般是验证导数和函数的单调性，验证导数和函数的最大值和最小值，验证导数和函数图象的切线问题，考查导数和函数不等式的证明，将导数问题和函数建模（应用题）作为导数与其他知识点相结合来考查，其考查范围比较广，因此进入中学的课程时间虽不长，但已经是一个重要的考点了，同时也受到许多
命题老师的青睐。

对导数这方面具体考查的方向在判定函数的单调性和极值、讨论方程的根，证明不等式和恒等式、求切线方程以及求平面区域面积等方面的应用。

（三）微积分与其他知识点相关联的应用举例
微积分在解决数学问题上的用途更为广泛。

在新课标中，中学微积分的导数教学主要将讲课重点放在应用价值上。

以下是应用举例。

例：某种产品的总成本C （万元）与产量q （万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为C=C （q ）=100+4q -0.2q 2+0.01q 3。

求生产水平为q =10（万件）时的平均成本及边际成本，并判断继续提高
产量是否有利于降低成本。

解：当q =10时，总成本为：
C （10）=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）所以平均成本（单位成本）为：C （10）÷10=130÷10=13（元/件）边际成本MC=C ′（q ）=4-0.4q +0.03q 2MC =4-0.4×10+0.03×102=3
因此，在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

边际收益函数：
总收益函数R=R （Q ），平均收益函数R ⎺=R
（Q ）Q 边际收益函数R′=R′（Q ）
当商品销售量为Q 0时的边际收益用R′（Q 0）来表示，其经济意义为：当销售量达到Q 0时，如果增加或减少一个单位产品，则收益将相应地增加或减少R′（Q 0）个单位。

总收益TR 为产量Q 与价格P 的乘积，即TR=P×Q ，总利润为总收益TR 与总成本TC 的差值，即π=TR-TC 。

作者简介：张家瑞（2000—），男，山东济宁人，济宁学院2018级数学与应用数学（公费师范）1班，在读本科，研究方向：数学与应用数学。

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三、高中生微积分学习困境分析
高考对微积分内容的考查在难度及分量上的要求比较严格，这便使影响学生学习微积分的问题层出不穷，文章主要对以下三个问题进行分析。

（一）高中生的“自主性”学习习惯未能及时形成，学习枯燥无味
初中阶段，教师在课堂中的主体性比较明显，学生基本上是接受知识的对象，主体对客体的主动性影响很大。

有的教师盲目追求班级的升学率，让学生靠死记硬背来解决一些常见的数学难题。

利用充足的上课时间讲更多的题，但是一些学生根本不懂其知识本身的意义。

在高中阶段，学生逐渐成为课堂的主体，教师变成了引导和延伸学生的知识的存在。

由于高中的学科比初中多，而且数学的内容比初中要深得多，每节课学习的知识量非常大，容易造成学生神经疲劳、注意力不集中、兴趣减弱，甚至导致每节课学到的知识微乎其微，长此以往，以前学过的知识也会逐渐丢弃。

（二）学生的文化基础知识较差，尤其是以数学为甚
如今，中考成为进入理想中学，进而进入重点大学的基石。

初中生为了将来进入理想的大学，在老师和家长的陪伴下超负荷学习，数学对部分学生来说是众多学科中最困难的课程，尤其是抽象和难以理解的数学。

进入中学后，数学基础差的学生很难适应中学数学学习，甚至有厌学的倾向。

微积分的陌生内容让成绩好的学生也觉得很难，而到了这个阶段数学基础差的学生会更加处于劣势从而失去自信，甚至会选择放弃，这直接影响到对微积分及未来课程的学习。

（三）微积分的抽象性增加学习难度，学生对微积分概念的理解不够充分
数学的基本特征是“抽象推理”，微积分在内容上更加抽象，逻辑性也更强。

主要表现在以下几个方面：概念和定理虽然很简洁，但是很难理解，涉及的相关知识点也有很多。

对于一般学生而言，简单的几行字可能就会使他们绞尽脑汁推理思考，还有可能弄不清楚。

证明和导出过程复杂多变，计算过程烦琐，容易出错，而且对公式的运用更是难以理解。

而且一些教师在课堂中的教学重心放在对题目的直观讲解，这也造成了学生对一些基本概念的理解出现偏差
四、面向高中生的微积分教学策略
（一）重视教学策略和教学观念的更新
在教学策略中，教师应学会综合运用多种教学策略。

因为传统的教学方法和学习方法已经不能适应时代的发展，这是教师应该明白的。

教师必须告诉学生的不是怎样吃鱼而是如何捕鱼，他们是学生学习的推动者。

数学学习的构建过程要使学生自主进行，充分发挥学生在课堂上的主体作用，注重培养学生的创新思维，加强和规范教师教育行为的转变。

微积分的学习给学生的思想及能力带来了很大的变化。

教师要深入理解学生的学习情况，有针对性地选择合适的时期进行适当的指导。

（二）重视现代教育技术的使用，利用数形结合增强学生对概念的理解
课堂在现代教育技术的帮助下表现出了传统教育无法达到的高效性，给教师的教学方法和学生的学习方法带来了很大的变化，图像、语音、视频等各种各样的表现方式更直观有效。

微积分中的变化率概念，如果仅仅通过讲解和徒手画，其课堂效率必然低下，但如果教师能合理运用多媒体技术动态地呈现其变化过程，在讲授一些较为抽象的数学概念时，结合它们的“形”进行讲解，这样才能更加直观地向学生传递知识，不仅有利于学生对一些抽象的微积分概念的理解，还可以使学生充分认识到如今所学习的微积分和初等数学之间的差异。

（三）营造积极的课堂氛围，体会学习微积分的乐趣
多样化的教学形式有助于提高学生对数学的学习兴趣和积极性。

在积极思考的课堂环境中，许多独特的想法和新颖的方案会不断被提出，教师也会注意到一些上课前忽略的问题，瞬间迸发出来的灵感也是从这里来的。

教师和学生双赢的课堂才是教师和学生共同成长、相互促进的课堂。

这有助于培养学生思维的广度和深度，更有助于培养学生充分利用所学到的数学知识来解决问题的能力。

在这种积极的课堂氛围中，学生便可以很快摆脱学习微积分的枯燥，从而激发学习微积分的兴趣。

五、结语
在新一轮的课程改革中，微积分的学习难度和深度都有了一定的提高，同时也给学生的学习带来了一定的挑战。

因此，文章主要探讨了学生学习微积分的困境，并且针对这些问题提出了相对应的解决策略。

在课堂教学中，教师应充分发挥学生的主体作用，从学生的角度出发，以学生的认知水平来讲解微积分，使学生体会到微积分中所包含的数学的乐趣。

教师通过更新教学观念，利用现代教育技术、数形结合，营造积极的课堂氛围，从而达到学生更好地理解微积分的概念的目的，激发学生未来对数学的学习兴趣。

总而言之，在高中课程中，微积分在教育中的价值仍具有很大的研究空间，对微积分教学方法的研究将一直是一个热点课题，供广大数学教师进行研究。

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◎编辑郑晓燕
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