江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第3课时)教案 新人教A版选修2-2

导数的计算（第3课时）
一、教学目标：
1．掌握两个函数的商的求导法则．
2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．
3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．
二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；
教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．
三、教学用具：投影仪
四、教学过程
1．复习引入
（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：
v u v u '±='±)(
（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．
（3）复习两个函数的积的求导法则：
.)(v u v u uv '+'='
（4）学生练习：求函数x x y sin 2
⋅=的导数． （5）问题：如何求函数x
x y sin 2
=的导数？ 2．新授
1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．
)0( 2≠'-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim
)(00 证明：设.0)(,)
()()(≠==x v x v x u x f y 则 )
()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆
[][])
()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)
()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u '
'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导． 例如，设x
x x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．
2．范例
①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．
222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222x
x x x x x x x x x y -='⋅-'=
③求3
32++=x x y 在点3=x 处的导数． 解：.)3(36)3(2)3()3(12
22222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6
114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数． 解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='
变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求x
x y 2sin sin 12+=的导数． 解：将函数变形为：.cot 2
1tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 2
1sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求x
x x x x y 9532-+-=的导数． 解：2123953--+-=x
x x y ∴232121
23
)2
1(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=x
x 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
3．应用 ①求曲线1
22+=x x y 在点（1，1）处的切线方程． 回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．
解：222
2222)
1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04
221=-=
'=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线1
22+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度． 回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=
解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．
.21121212222222t t
t t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s
即运动物体在3=t 时的速度为.272611
（三）小结（纳入知识体系）
1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．
（四）练习
五、布置作业。