2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第7章第5节空间向量的运算及应用含答案

第五节空间向量的运算及应用
[考纲传真] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量的有关概念
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．
位置关系
向量表示
直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2
l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m
l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β
n ⊥m ⇔n ·m ＝0
[常用结论]
1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线． 2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面．
3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧
n·
a ＝0，n·
b ＝0.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面． ( )
(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( )
(3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．
( )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
C [∵α⊥β，则u ·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0， ∴t ＝5.]
3．(教材改编)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是(
)
A ．－12a ＋1
2b ＋c B.12a ＋1
2b ＋c C ．－12a －1
2b ＋c D.12a －1
2b ＋c
A [BM →＝B
B 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1
2b ＋c .]
4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33
，－33，－33
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
33
，33，－33
C [设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB →
＝0，n ·AC →＝0，
化简得⎩
⎨⎧
－x ＋y ＝0，
－x ＋z ＝0，
∴x ＝y ＝z .故选C.]
5．(教材改编)已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 26 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即－8＋6＋x ＝0，∴x ＝2. ∴b ＝(－4,2,2)，∴|b |＝16＋4＋4＝2 6.]
空间向量的线性运
算
1.，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，则x ＋y ＋z ＝________.
5
6 [连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，
则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋1
3c .
又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝1
3， 因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝5
6.]
2.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，
P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，设用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. [解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，
所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1
2b . (2)因为N 是BC 的中点，
所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋1
2c . (3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋c ＋12b
＝12a ＋1
2b ＋c ，
又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝1
2c ＋a ，
所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋12c
＝32a ＋12b ＋3
2c .
【例1】 ，CD ，DA 的中点．
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .
[证明] (1)连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →
＝EB →＋12⎝⎛⎭⎫BC →＋BD →
＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →.
所以E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →
. 所以EH ∥BD .
又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
共线，
A ．2，1
2
B ．－13，12
C ．－3,2
D ．2,2
(2)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于________．
(1)A (2)65
7 [(1)∵a ∥b ，∴设b ＝x a ，
∴⎩⎨⎧
x (λ＋1)＝6，2μ－1＝0，2x ＝2λ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
μ＝12，λ＝2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
μ＝12，
λ＝－3.
故选A.
(2)∵a 与b 不共线，故存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，
∴⎩⎨⎧
2x －y ＝7，
－x ＋4y ＝
5，3x －2y ＝λ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝337，
y ＝177，
λ＝657.
故填657.]
空间向量的数量
积
【例2】 1111A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60° .
(1)求AC 1的长；
(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． [解] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，
〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1
2.
|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，
∴|AC 1→
|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →
＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →
|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.
∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →
|BD 1→||AC →|＝6
6.
∴AC 与BD 1夹角的余弦值为6
6.
111＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．
(1)求BN →
的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
[解] (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．
由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， 所以|BN →|
＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.
(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， 所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→
＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→
|BA 1→||CB 1→|＝30
10.
(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)， M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，2，
A 1
B →
＝(－1,1，－2)， C 1M →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，0，
所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →
，即A 1B ⊥C 1M .
利用向量证明平行与垂直问
题
【例3】 ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角，求证：
(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .
[解] (1)证明：由题意知，CB ，CD ，CP 两两垂直，以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .
∵PC ⊥平面ABCD ，
∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.
∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，
∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0，32，
∴DP →＝(0，－1,2)，DA →
＝(23，3,0)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，0，32.
(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧
DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，
即⎩
⎨⎧
－y ＋2z ＝0，
23x ＋3y ＝0， 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．
∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×3
2＝0， ∴n ⊥CM →
.又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .
(2)法一：由(1)知BA →＝(0,4,0)，PB →
＝(23，0，－2)， 设平面P AB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，
即⎩⎨⎧
4y 0＝0，
23x 0－2z 0＝0，
令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．
又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面P AB ⊥平面P AD .
法二：取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2,1)，BE →
＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A.
又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →
.∴BE ⊥D A. 又P A ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .
如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．
[解] 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a.
(1)证明：A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，1，0，B 1(a,0,1)，
故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 2，1，－1.
因为B 1E →·AD 1→
＝－a
2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 因此B 1E →⊥AD 1→， 所以B 1E ⊥AD 1.
(2)存在满足要求的点P ，
假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，
使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →
＝(0，－1，z 0)， 再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，1，0.
因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋z ＝0，ax
2＋y ＝0，
取x ＝1，则y ＝－a
2，z ＝－a ，
则平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，－a 2，－a .
要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝1
2. 所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ， 此时AP ＝1
2.。