高一期末考试题

2012-2013学年第一学期
宁夏回族自治区石嘴山市光明中学高一数学期终考试试题
命题人 王建林
一.选择题：本大题共12道小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

请同学们在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

（1）方程260x px -+=的解集M ，方程260x x q +-=的解集N ，M ∩N ={2}， 那么p+q= (A) 7 (B) 6 (C ) 21 (D) 8 （2）0885-化成2(02,)k k Z απαπ+≤≤∈的形式是
(A) 13612ππ-+
(B) 11412ππ-- (C ) 13
412ππ-+ (D) 11612
ππ-+ （3
）已知函数())4
f x x π
=+，则()4f π=
(A) 2
(B)
(C )
(D) 12
（4）7sin()6
π-=
(A)
(B)
(C ) 12
- (D) 12
（5）若cos tan αα⋅< 0，则角 α在
(A)第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C )第三、四象限 (D) 第二、四象限
（6）下列函数中既是偶函数且在区间(0, 2
π
)上单调递减的函数是
(A) sin y x = (B) tan y x = (C ) cos y x = (D) ln y x = （7）函数sin 2y x =的最小正周期为
(A) π (B) 2π (C ) 4π (D) 2
π
（8）函数sin |cos |tan ()|sin |cos |tan |
x x x
f x x x x =
++
的值域为 (A) {}1,0,3- (B) {}1,3- (C ) {}3,1,3- (D) {}1,1,3- （9）（非艺体班做）函数2sin()3
y x π
π=+
的振幅、周期、初相分别是
(A) 2、2、6
π
(B) 2、2π、6π (C ) 2、2π、3π (D) 2、2、3π
（艺体班做）函数sin (0)y a x b a =+<的最大值为
(A) a b + (B) a b - (C ) a b -- (D) b a - （10）在区间[]0,2π内使得sin cos x x >的x 的取值范围是
(A) ,42
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
(B) 50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(C ) 3,
2ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭
(D) 5,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
（11）函数cos |tan |y x x =⋅在区间30,2π⎡⎤
⎢⎥
⎦
的图像是
(C )
(D)
（12）方程sin lg 0x x -=的根的个数为 (A) 4 (B) 3 (C ) 2 (D) 1 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）如果角θ的终边经过点1()2
-，那么tan θ= .
（14）设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a 的值为 . （15）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设
{}()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为 .
（16）下列叙述中其中正确的序号为： .
① 函数tan y x =是单调递增函数.
② 函数1
y x x
=+
是奇函数，在区间()1,+∞上是增函数. ③ 函数sin cos y x x =+的最大值是2.
④ 二次函数2
y ax bx c =++是偶函数的条件是b =0.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
已知3
cos 5
α=-，且α是第三象限角，求sin α、tan α的值。

（18）(本小题满分12分) 求下列函数的定义域：
（Ⅰ）(12)log (32)x y x -=+； （Ⅱ）3tan(2)3
y x π
=+
（19）(本小题满分12分)
已知关于x 的函数2()2(1)26f x x m x m =+-++. （Ⅰ）当函数图象经过点（0,1）时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试证明函数有两个不相等的零点，且分别在区
间()0,1和()6,7内。

（20）(本小题满分12分，含两题，每题6分)
（Ⅰ）求证：sin 1cos 1cos sin x x
x x
+=-；
（Ⅱ）化简：
7sin(2)cos()tan(3)
233sin()sin()sin()cos(2)
22
π
πααπαπ
παπααπα--
-+
--++
（21）(本小题满分12分)
如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周， 它的最低点O 距离地面0.5米。

风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t 秒后与地面的距离为h .
（Ⅰ）试建立适当坐标系，求函数h =()g t
（Ⅱ）画出函数h =()g t 的图像。

（22）(本小题满分12分)
已知函数()y f x =定义在R 上，满足()+()f x f x -
=0，当0x ≥，22)(x x x f -=
（Ⅰ）求0x <时，函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）是否存在这样的正数a 、b ，当[],x a b ∈时，()()g x f x =且()g x 的
值域为11,b a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，若存在求出a 、b 的值；若不存在，说明理由
石嘴山市光明中学高一数学期终考试答题卡
一.选择题： 总分
13、_________________ 14、_____________________ 15、________________ 16、_____________________ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）
18、(本小题满分12分)
（Ⅰ）
（Ⅱ）
19、(本小题满分12分). （Ⅰ）
（Ⅱ）
20、(本小题满分12分，含两题，每题6分)
（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅰ）
（21题图）
（Ⅱ）
光明中学2012—2013学年第一学期高一数学期终考试评分标准
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，把答案填写在相应题号的横线
上）
（13）（14）
（15）6（16）②④
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、解：∵
3
cos
5
α=-，且α是第三象限角
∴
4
sin
5
α===- (5)
分
∴
4
sin4
5
tan
3
cos3
5
α
α
α
-
===
-
(10)
分
18、解：（Ⅰ）函数的定义域等价于不等式组
320
120
121
x
x
x
+>
⎧
⎪
->
⎨
⎪-≠
⎩
的解集，解这个不等
式组，得函数的定义域为
21
,00,
32
⎛⎫⎛⎫
-⋃
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
……………………………6分
（Ⅱ）由不等式2
32
x k
ππ
π
+≠+，k Z
∈解得函数的定义域为
|,
212
k
x x k Z
π
π
⎧⎫
≠+∈
⎨⎬
⎩⎭
(12)
（Ⅰ）∵函数图象经过点（0,1）∴261
m+=，解得
5
2
m=-
∴2
()71
f x x x
=-+………………………………………………………
5分
（Ⅱ）∵24494450
b ac
∆=-=-=>
∴函数2
()71
f x x x
=-+有两个不相等的零点 (8)
分
又∵(0)1,
f f
==-，(6)5,(7)1
f f
=-=，且
(0)(1
f f⋅=-<，
(6)(7)50
f f⋅=-<，
∴根据零点存在定理，函数两个零点分别在区间（0,1）和（6,7）
内 (12)
分
20、（Ⅰ）证明：（法一）由比例性质
∵22
(1cos)(1cos)1cos sin
x x x x
-⋅+=-=
∴
sin1cos
1cos sin
x x
x x
+
=
-
………………………………………5分
（法二）
∵22
sin cos1
x x
+=
∴2
1cos sin sin
x x x
-=⋅，即(1cos)(1cos)sin sin
x x x x
-⋅+=⋅
1-
又∵(1cos )0,sin 0x x -≠≠
∴sin 1cos 1cos sin x x
x x +=- ………………………………………5分
（法三） ∵
∴
sin 1cos 1cos sin x x
x x +=- ………………………………………5分
（Ⅱ）原式=
………………………12分
21、解：（Ⅰ）如图，以O 点为坐标原点，过点O
切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A (
,)x y ，则
0.5h y =+.设1OO A θ∠=，则2cos 2
y
θ-=，
2cos y θ=-，又212t πθ=⨯，即6
t πθ=， 所以2cos 2,()2cos 2.56
6
y t h f t
t ππ
=-+==-+ (6)
分
（Ⅱ）函数2cos
2.56h t π
=-+
的图像如右图…………………12分
22、解：（Ⅰ）∵()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-
∴函数()f x 为R 上的奇函数…………………2分
设0x ≤，则0x -≥，依题意，得 2()2f x x x -=--，即2()2f x x x -=--，
∴当0x <时，2()2f x x x =+……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）()f x =2
2
2,0
2,0
x x x x x x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩， 其图像如右图所示，
假若存在正实数数,a b ，依题意，则
02a b <<<，此时，2()2,0g x x x x =-≥，
①当01a b <<≤，由于函数值域为11,b a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，即min 1y b =，max 1y a =，
此时，函数2()2,0g x x x x =-≥在区间[],a b 上单调递增，所以，
22222sin 1cos sin (1cos )(1cos )
1cos sin (1cos )sin sin (1cos )sin sin 0
(1cos )sin (1cos )sin x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+--+-=
-----===--[]222222
sin()cos 4()tan 2()2sin sin ()sin ()cos 22sin cos()
tan()
2sin()sin sin()cos 22tan sin cos sin cos 1sin cos 1cos cos παπαππαππαπαπαα
π
ααπαπ
π
αααα
ααααααααα
⎡⎤
---⎢⎥
+-⎣⎦+
⎡⎤⎡⎤
+-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
--=
+
--+=-
-===s
/s
x
1()1()g a b g b a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，即2
21212a a b
b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得0a b ==，不符合题意； ②当012a b <<<<时，由图像知1(1)f a =，即1
21a
-=，解得1a =，不符合题意；
③当12a b ≤<<时，函数()g x 在区间[],a b 上单调递减，所以，
1()1()g a a g b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，即2
21212a a a
b b b ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
，解得1,a b ==
综上，存在实数11,2
a b +==
，使得函数()g x 满足题意………………………12分
22、(本小题满分12分)。