广东省惠州市2017届高三第一次模拟(4月)考试数学(文)试题

若 AF 3FB ，则直线 l 的斜率为（ ）
(A) 2
1
(B)
2
3
(C)
2
(D) 3
（11）某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个
球面上，则该球面的表面积是（
）
(A) 4
28
(B)
3
44
(C)
3
(D) 20
2
3
正视图 1 1
俯视图
2 侧视图
（12）设正实数 x, y, z 满足 x2 3xy 4y2
为 f (x) 的导函数） ．
请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答， 做答时请在答题卡的对应答题区写上题号， 并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分 10 分）选修 4－ 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x 1 t cos （ t 为参数），以原点 O 为
1 y
2 z
1 y
1 y
1 y2
1 (
1)2
1
1，当且仅当
y
1 时等号成立，因此
2
1
2
的最大值为
1，故选
y
xyz
B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
13.
16
1
14.
3
25
15.
13
16. 0，1 e
13.【解析】由 a1 a3
5 , a2 a4
2
5
，可得
4
a1
2, q
17. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由已知 B
， a2 ab 2b2 0 结合正弦定理得：
6
2sin 2 A sin A 1 0, ， sin A 1或 sin A
1
（舍）． …………………４ 分
2
0 A ,A ,C
2
3
…………………６ 分
（Ⅱ） 由 a2 ab 2b2 0 ，可得 a 2b
………………８ 分
（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ex ax b(a, b R) 在 x ln 2 处的切线方程为 y x 2ln 2. （Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若 k 为整数，当 x 0 时，(k x) f ( x) x 1恒成立，求 k 的最大值（其中 f (x)
i1
7
2794, xi 2
i1
708 ．
参考公式： b?
n
xi yi
i1 n 2
xi
i1
nx y
, a?
2
nx
y b?x ．
（19）（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1A 面 ABC ， ACB =90 ， M 是 AB 的中点，
AC CB CC1 2．
A
（Ⅰ）求证：平面 A1CM 平面 ABB1 A1 ．
c 5 ，则输出的 N （ ）
(A) 6
(B) 9
(C) 12
(D) 21
（7）在 △ABC 中， AB AC 3 AB AC ，
AB AC 3 ，则 CB CA 的值为（ ）
(A)3
(B) 3
9
(C)
9
(D)
2
2
（8）设 an 是公差不为 0 的等差数列，满足 a42 a52
a6 2 a7 2 ，则
z 0 ，则当 xy 取得最大值时， 2
1
2
的
z
xy z
最大值为（ ）
(A)0
(B)1
9
(C)
(D)3
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13题～第 21题为必考题， 每个考生都必须做答。 第
22题、第 23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。
5
（13）已知等比数列 { an} 中， a1 a3
, a2 a4
2
5 ，则 a6
4
______ ．
（14）已知 sin(
3
)
，则 cos( 2 ) ______ ．
63
3
（15）设实数 x, y 满足约束条件
3x y 6 0
xy20 ，若目标函数 z ax by (a 0, b 0) 的最
x0
y0
大值为 10，则 a 2 b2 的最小值为 ________．
an 的前 10 项和 S10 =（ ）
(A) 10
(B) 5
(C) 0
(D) 5
2
（9）函数 f (x)
( 1
ex
1) cos x 图象的大致形状是 (
)
开始
输入 a,b,c
N0
N N1
否 N 0(mod a)
是 否
N 0(mod b) 是 否
N 1(mod c) 是
输出 N
结束
（10）已知过抛物线 y2 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限） ，
708 7 82
1.7 …………………３ 分
a? y b?x 28.4 …………………５ 分
y 关于 x 的线性回归方程是 y 1.7x 28.4 …６分
（Ⅱ） 0.75 0.93, 二次函数回归模型更合适．
当 x 3 万元时，预测 A 超市销售额为 33.47 万元．
19．（本小题满分 12 分） 证：（Ⅰ）由 A1A⊥平面 ABC ，CM 平面 ABC，则 A1A⊥ CM ．
(A) 2
(B)0
（4）甲、乙等 4 人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个
(C)2
(D)4
1元，一个 5 元，
则甲、乙的红包金额不相等的概率为（
）
1 (A)
4
11
3
(B) (C) (D)
23
4
x2 y2
2
2
（5）双曲线 a 2 b2 1 a 0, b 0 的一条渐近线与圆 x 3
y 1 1相切，则
此双曲线的离心率为（ ）
(A)2
(B) 5
(C) 3
(D) 2
（6）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 N n(mod m) ，
例如 10 4(mod 6) ，如图程序框图的算法源于我国古代 《孙子算
经》中的 “孙子定理 ”的某一环节， 执行该框图， 输入 a 2 ，b 3 ，
（16）已知函数 f ( x) | xex | m （ m R ）有三个零点，则 m 的取值范围为
．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分）
已知 ABC 中，内角为 A， B， C ，相应的对边为 a,b,c ，且 a2 ab 2b2 0 ．
（Ⅰ）若 B （Ⅱ）若 C
(B) 1,3
(C) 5,7
(D) 5,7
（2）已知 z 1 3i （ i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数的虚部为（
）
3i
(A) i
(B) i
(C) 1
(D) 1
（3）已知函数 f ( x)
log 2 (x a), 10 ,
|x| 3
x1
，若 f (0) 2 ，则 a f ( 2) （ ） x1
1 2
a6
1
.
16 ( 3
1 ). 63
15.【解析】因为 a>0 ，b>0，所以由可行域得，当目标函数 z＝ ax＋ by 过点 (4,6)时取最大值，
则 4a＋ 6b＝10.a2＋ b2 的几何意义是直线 4a＋ 6b＝ 10 上任意一点到点 (0,0)的距离的平方，
3b a 1，计算 e 2 ， 选 A.
c
6.【解析】经验证 N 1,2,3,4,5 必须返回， N 6 时通过，
选 A.
10 11 12
D
B
B
选 B．
7.【解析】 AB AC 3 AB AC ，两边平方可得 CB CA = (CA AB ) CA 9 2
BAC ， 3
8.【解析】化简可得： (a62 a42) (a72 a52 ) 0，即 2d(a6 a4) 2d( a7 a5) 0 ，
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（1）集合 A 1,3,5,7 , B
2
x | x 4x 0 ，则 A B （ ）
(A) 1,3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
D
C
B
A
A
D
C
B
1.【解析】因为 B= 0,4 ， 选 B ．
2.【解析】 3.【解析】
z i z i ， 选 D． f (0) 2 a 4 . a f ( 2) 2 ， 选 C．
4.【解析】总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，
5.【解析】 由题意可得
由题意及余弦定理可知： a 2 b2 ab 196 ，与 a 2b 联立，
解得 a 4 7, b 2 7 ……………… 10 分 1
S ABC ab sin C 14 3 ……………… 12分 2
18. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） b?
n
xi yi
i1 n
xi 2
i1
nx y
2
nx
2794 7 8 42
由 AC＝ CB， M 是 AB 的中点，则 AB⊥ CM ．
又 A1A∩AB＝ A，则 CM ⊥平面 ABB1A1，
又 CM 平面 A1CM ，所以平面 A1CM ⊥平面 ABB1A1． （Ⅱ）设点 M 到平面 A1CB1 的距离为 h，
A1
（Ⅱ）求点 M 到平面 A1CB1 的距离．
M
C B
C1 B1
（20）（本小题满分 12 分）
设 F1 、 F2 分别是椭圆 x2 y 2 1的左、右焦点． 4
（Ⅰ）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1 PF2
5
，求点
P 的坐标；
4
（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AOB 为锐角
惠州市 2017 届高三模拟考试
注意事项：
数 学 ( 文科 )
2017.04
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时， 选出每个小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
S
， 选 B．
3
12.【解析】 z x2 3xy 4 y2 ，又 x, y, z 均为正实数，
xy
xy
z x2 3 xy 4 y2
1
1
1 ，当且仅当 x 2 y 时等号成立， 因此当 xy 取得最大
x y
4y x
3
2 x 4y yx
3
z
值 1时， x 2 y ，此时
z x2 3xy 4y2
2 y2 ，因此， 2 x
已知函数 f x x x 1.
（Ⅰ）若 x R ，恒有 f x
成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 m R ，使得 m2 2m f t 0 成立，求实数 t 的取值范围 .
惠州市 2017 届高三模拟考试 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
y t sin
极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为
2 2 cos
.
4
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，若点 P 的直角坐标为 1,0 ，
试求当
时， PA PB 的值 . 4
（23）（本小题满分 10 分）选修 4－ 5：不等式选讲
（Ⅱ）若用二次函数回归模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程： y? 0.17x2 5x 20 ，
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的
R2 分别约为 0.93 和 0.75 ，请用 R2 说明
选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测
A 超市广告费支出 3 万元时的销售额．
7
参考数据： x 8, y 42, xi yi
a5 a6 0 ， S10 0 ， 选 C.
9.【解析】 f (x)
1 1
ex ex
cos
x
，
f ( x) 为奇函数，令 x 1 ，则 f (1) 0 ， 选 B .
10.【解析】 设 A( x1, y1), B( x2 , y2 ) ，由条件 AF 3FB 容易得到 y1 3y2 ，又因为直线 l 过
25 那么最小值是点 (0,0)到直线 4a＋ 6b＝ 10 距离的平方，即 a2＋ b2 的最小值是 13.
16.【解析】问题转化为 y | xex | 与y m 有三个交点时， m 的取值范围。 y | xex |的图象
如下：
m 0，1 ． e
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
抛物线的焦点
y1y 2
p2
4 ，解得 A(3, 2
1 3), B( ,
23 ),
k
3 选 D.
33
11.【解析】 由三视图可知该几何体为棱长均为 2 的正三棱柱， 设球心为 O ,小圆的圆心为 O1
球半径为 R ,小圆的半径为 r ，则 O1R2
r2
O1O 2 ，即 R2
2 (
3) 2
1
7
，
3
3
28
，求角 C ． 6 2
, c 14 ，求 3
ABC 的面积．
（18）（本小题满分 12 分）
某市春节期间 7 家超市广告费支出 xi （万元）和销售额 yi （万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告费支出 xi
1
2
4
6
11
13
19
销售额 yi
19
32
40
44
52
53
54
（Ⅰ）若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 与 x 的线性回归方程．