高考数学大一轮复习 数学思想专项训练(三)分类讨论思想 理(含解析)

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想
一、选择题
1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
－32，－1 B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－32
C.(]－∞，－1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞
2．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤0，
2x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )
＝x 的解集为( )
A.{}－2
B.{}2
C.{}－2，2
D.{}－2，1，2
3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )
4．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n ＋12
，n 为奇数，
－n ＋12
，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3
＋…＋a 100的值为( )
A ．100
B ．－100
C ．102
D ．101
5．有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在两行三列的格内(如图)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为( )
A ．36
B ．48
C ．72
D ．64
6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )
A ．{4,5}
B ．{3,4,5}
C ．{3,4,6}
D ．{3,4,5,6}
二、填空题
7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是____________________．
9．定义运算：a b＝a
2－b
，若关于x的不等式x(x＋1－m)＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝4x2－4ax，x∈[0,1]，关于x的不等式|f(x)|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围是________．
三、解答题
11．在公差d＜0的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|的值．
12．(2015·唐山统一考试)已知函数f(x)＝e x
x e x＋1
.
(1)证明：0＜f(x)≤1；
(2)当x＞0时，f(x)＞1
ax2＋1
，求a的取值范围．
答案
1．选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .
①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－3
2；
②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
－a ＜a ＋3，－a ≥1，
a ＋3＜5，
解得－3
2
＜a ≤－1.
由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．
2．选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
－22－2b ＋c ＝c ，
－1
2
－b ＋c ＝－3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝－2，
故f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －2x ≤0
，
2x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2
＋2x －2＝x ，解得x
＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．
3．选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x ＋10≤x ≤1，
2x ＋1－1≤x <0.
讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤1
2，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)
＋1＝4x －1；
若1
2
＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3，
所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4x －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜x ≤1，
故选A.
4．选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2
－(n ＋2)2
＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2
＋(n ＋2)2
＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n
(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.
5．选C 分两种情况，①第一行放红色卡片，有A 3
3·A 3
3＝36种放法；②第一行放蓝色卡片，有A 3
3·A 3
3＝36种放法，所以符合题意的放法共有72种．
6．选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．
7．解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立．
∵－1≤cos x ≤1，
①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；
③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]
8．解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q
，所以当公比q ＞0
时，S 3＝1＋q ＋1
q
≥1＋2
q ·1
q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝
⎛
⎭⎪⎫
－q －1q ≤1－2
－q ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．解析：由x
(x ＋1－m )＞0知，
x 2－
x ＋1－m
＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论
得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即
m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－
4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
10．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a
2
.
①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34
时，
不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；
②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤5
4
时，
不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；
③当0＜a 2≤12
，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2
≥－1,4－
4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以3
4
≤a ≤1；
④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2
≥－1，即－
1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．
综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 11．解：由已知可得(2a 2＋2)2
＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2
＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2
＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2
＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝
n 10＋11－n
2
＝
n 21－n
2
；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋
a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝
2×
11
21－112
－
n 21－n
2
＝
n 2－21n ＋220
2
.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝
⎩⎪⎨⎪⎧
n 21－n 2，1≤n ≤11，n 2
－21n ＋220
2
，n ≥12.
12．解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x
. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1
＞0.
又e x
＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝
e
x
1－e x
x e x ＋1
2
.
当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.
(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1
ax 2
＋1
，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1
－a
时，
1
ax 2
＋1
＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞
1ax 2
＋1
等价于(ax 2－x ＋1)e x
－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2
－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x
.
若a ≥1
2
，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.
若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，
1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式
不恒成立．
于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥1
2
.
综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.。