辽宁省大连市高三3月双基测试数学(理科)试卷有答案
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3．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
4．已知函数 则 的值为（）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是 ， ， ， ，若正视图以 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的渐进线与圆 相切，则双曲线的离心率为（）
（ii）3人中女生人数 服从二项分布： ，
∴ （ ）
的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望 ．
19．解：（Ⅰ）由于 ， ，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）以 为原点， 所在直线为 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ， ， ， ， ，
且 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
（Ⅱ）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中小学体育运动知识竞赛．
（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；
（ii）设3人中女生人数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
19．如图，已知长方形 中， ， 为 的中点，将 沿 折起，使得平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
A． B． C． D．
7．若实数 ， 满足约束条件 则目标函数 最大值为（）
A． B． C． D．
8． 的展开式中各项二项式系数之和为 ，则展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．
9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 ， ， ，则输出的 （）
（Ⅱ）若 ，求二面角 的正弦值．
20．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 的图象与直线 相切，求 的值．
21．已知椭圆 ： 的左焦点 与抛物线 的焦点重合，椭圆 的离心率为 ，过点 （ ）作斜率存在且不为0的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，点 ，且 为定值．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
， ，
所以平面 的一个法向量 ．
又平面 的一个法向量 ，
所以， ，所以二面角正弦值 ．
20.解：（Ⅰ） ，
∵函数 在区间 上单调递增，∴ 在 上恒成立，∴ ，
即 在 上恒成立，
∵ ，∴ ，∴ ，取等号条件为当且仅当 ，
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）设切点为 ，则 ， ， ，
∴ ①且 ②
由①得 代入②得
即 ，
令 ，则 ，
设 ， ，则 ，即 ，
代入 ，
得 ，∴ ；
（不写 累计扣1分）
（Ⅱ）设 ， ，
设点 处切线 的倾斜角为 ，
由 斜率范围 ，可得 ，
而 ，∴ ，
∴ ，
所以，点 横坐标的取值范围是 ．
23．解：（Ⅰ） ，
解得 ．
（Ⅱ）当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴不等式解集为 ．
∵ 的 ，
∴ 恒成立．
∴ 在 上恒为正值，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ 代入①式得 ．
21．解：
（Ⅰ） 的焦点为 ，
∴ ．
又 ，
∴ ， ．
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由题意， 存在且不为零，设直线 方程为 ，
联立方程组 消元得
∴ ， ，
= ，
∵ 为定值∴ ，即 ∴
∵ ，∴ ．
∴ ，
同理 ，．22．来自：（Ⅰ）由 ，得 ，A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 _________．
14．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为_________．
15．已知平面内三个单位向量 ， ， ， ，若 ，则 的最大值是_________．
16．已知正方体 的棱长为1，过正方体 的对角线 的截面面积为 ，则 的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）向量 ， ，若函数 的图象关于直线 对称，求角 、 ．
18．为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：
15．
16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得： ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理可得： ．
， ．
（Ⅱ）解法一： ，
其中 ，
∵ 的图像关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由（Ⅰ）得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
解法二： ，
∵ 的图像关于直线 对称，∴ ，
即 ，
由（Ⅰ）得 ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
18．解：（Ⅰ）男生成绩优秀的人数为： 人，非优秀的人数为： 人，
A． B． C． D．
10．已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 、 两点（点 在第一象限），若 ，则直线 的方程为（）
A． B．
C． D．
11．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 有四个零点，则 的取值范围为（）
男生成绩：
分数段
频数
9
10
21
57
23
女生成绩：
（Ⅰ）根据上述数据完成下列 列联表：
优秀
非优秀
合计
男生
女生
合计
根据此数据你认为能否有 以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关？
参考公式： ，（ ），
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
辽宁省大连市高三3月双基测试数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 为复数单位，复数 在复平面内对应的点在直线 上，则实数 的值为（）
A．4B．3C．2D．1
女生成绩优秀的人数为： 人，非优秀的人数为： 人，
优秀
非优秀
合计
男生
80
40
120
女生
40
60
100
合计
120
100
220
∴有 以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关．
（Ⅱ）（i）设3人中至少有2名男生为事件 ，3人中至少有1名女生为事件 ，则
，
3人中有2男1女的概率为 ，
∴在其中2人为男生的条件下，另1人为女生的概率 ，
（Ⅱ）若轨迹 上点 处的切线斜率的取值范围是 ，求点 横坐标的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）若 最小值为4，求 的值；
（Ⅱ）求不等式 的解集．
辽宁省大连市高三3月双基测试数学（理科）试卷
答案
一、选择题
1~5．CBDCB6~10．CADAD11~12．BA
二、填空题
13．
14．36
（Ⅱ）过点 且垂直于 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，点 是曲线 （ ）上的动点， ，线段 的中点为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求点 的轨迹 的直角坐标方程；
A． B． C． D．
4．已知函数 则 的值为（）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是 ， ， ， ，若正视图以 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的渐进线与圆 相切，则双曲线的离心率为（）
（ii）3人中女生人数 服从二项分布： ，
∴ （ ）
的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望 ．
19．解：（Ⅰ）由于 ， ，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）以 为原点， 所在直线为 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ， ， ， ， ，
且 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
（Ⅱ）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中小学体育运动知识竞赛．
（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；
（ii）设3人中女生人数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
19．如图，已知长方形 中， ， 为 的中点，将 沿 折起，使得平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
A． B． C． D．
7．若实数 ， 满足约束条件 则目标函数 最大值为（）
A． B． C． D．
8． 的展开式中各项二项式系数之和为 ，则展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．
9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 ， ， ，则输出的 （）
（Ⅱ）若 ，求二面角 的正弦值．
20．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 的图象与直线 相切，求 的值．
21．已知椭圆 ： 的左焦点 与抛物线 的焦点重合，椭圆 的离心率为 ，过点 （ ）作斜率存在且不为0的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，点 ，且 为定值．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
， ，
所以平面 的一个法向量 ．
又平面 的一个法向量 ，
所以， ，所以二面角正弦值 ．
20.解：（Ⅰ） ，
∵函数 在区间 上单调递增，∴ 在 上恒成立，∴ ，
即 在 上恒成立，
∵ ，∴ ，∴ ，取等号条件为当且仅当 ，
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）设切点为 ，则 ， ， ，
∴ ①且 ②
由①得 代入②得
即 ，
令 ，则 ，
设 ， ，则 ，即 ，
代入 ，
得 ，∴ ；
（不写 累计扣1分）
（Ⅱ）设 ， ，
设点 处切线 的倾斜角为 ，
由 斜率范围 ，可得 ，
而 ，∴ ，
∴ ，
所以，点 横坐标的取值范围是 ．
23．解：（Ⅰ） ，
解得 ．
（Ⅱ）当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴不等式解集为 ．
∵ 的 ，
∴ 恒成立．
∴ 在 上恒为正值，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ 代入①式得 ．
21．解：
（Ⅰ） 的焦点为 ，
∴ ．
又 ，
∴ ， ．
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由题意， 存在且不为零，设直线 方程为 ，
联立方程组 消元得
∴ ， ，
= ，
∵ 为定值∴ ，即 ∴
∵ ，∴ ．
∴ ，
同理 ，．22．来自：（Ⅰ）由 ，得 ，A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 _________．
14．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为_________．
15．已知平面内三个单位向量 ， ， ， ，若 ，则 的最大值是_________．
16．已知正方体 的棱长为1，过正方体 的对角线 的截面面积为 ，则 的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）向量 ， ，若函数 的图象关于直线 对称，求角 、 ．
18．为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：
15．
16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得： ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理可得： ．
， ．
（Ⅱ）解法一： ，
其中 ，
∵ 的图像关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由（Ⅰ）得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
解法二： ，
∵ 的图像关于直线 对称，∴ ，
即 ，
由（Ⅰ）得 ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
18．解：（Ⅰ）男生成绩优秀的人数为： 人，非优秀的人数为： 人，
A． B． C． D．
10．已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 、 两点（点 在第一象限），若 ，则直线 的方程为（）
A． B．
C． D．
11．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 有四个零点，则 的取值范围为（）
男生成绩：
分数段
频数
9
10
21
57
23
女生成绩：
（Ⅰ）根据上述数据完成下列 列联表：
优秀
非优秀
合计
男生
女生
合计
根据此数据你认为能否有 以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关？
参考公式： ，（ ），
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
辽宁省大连市高三3月双基测试数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 为复数单位，复数 在复平面内对应的点在直线 上，则实数 的值为（）
A．4B．3C．2D．1
女生成绩优秀的人数为： 人，非优秀的人数为： 人，
优秀
非优秀
合计
男生
80
40
120
女生
40
60
100
合计
120
100
220
∴有 以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关．
（Ⅱ）（i）设3人中至少有2名男生为事件 ，3人中至少有1名女生为事件 ，则
，
3人中有2男1女的概率为 ，
∴在其中2人为男生的条件下，另1人为女生的概率 ，
（Ⅱ）若轨迹 上点 处的切线斜率的取值范围是 ，求点 横坐标的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）若 最小值为4，求 的值；
（Ⅱ）求不等式 的解集．
辽宁省大连市高三3月双基测试数学（理科）试卷
答案
一、选择题
1~5．CBDCB6~10．CADAD11~12．BA
二、填空题
13．
14．36
（Ⅱ）过点 且垂直于 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，点 是曲线 （ ）上的动点， ，线段 的中点为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求点 的轨迹 的直角坐标方程；