广东省潮州市瓷都中学高三数学文测试题含解析

广东省潮州市瓷都中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知：
命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q：?m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）
A．②③B．②④C．③④D．①④
参考答案：
D
【考点】2K：命题的真假判断与应用；2E：复合命题的真假．
【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．
【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；
当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，
当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，
即p真q假，
故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．
综上可得真确命题为①④．
故选：D．
2. 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为（）
A．13,12 B．12,12 C. 11,11 D．12,11
参考答案：B
平均重量为
中位数为，选B.
3. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
直接直观想象举出可能满足条件的几何体即可.
【详解】对A,此时该几何体为圆锥,满足.
对B,此时该几何体为正四棱锥.满足.
对C,此时该几何体为正四棱锥的一半.满足.
故选：D
【点睛】本题主要考查了直观想象能力与三视图的辨析.属于基础题型.
4. 已知复数z满足（i为虚数单位），则为（）
A．2 B．C．D．
1
参考答案：
C
由，得，，故选C.
5. 设是的对角线的交点，为任一点，则（）
A． B．
C. D．
参考答案：
A
试题分析：由向量的加法法则可得：，，则
,
故选A.
考点：向量的加法.
6. 已知命题：，则是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
7. 已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为( )
A．ln2 B．﹣ln2 C．D．e2﹣3
参考答案：
A
考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2?﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．
解答：解：不妨设g（a）=f（b）=m，
∴e a﹣2=ln+=m，
∴a﹣2=lnm，b=2?，
故b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）
令h（m）=2?﹣lnm﹣2，
h′（m）=2?﹣，
易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，
且h′（）=0，
故h（m）=2?﹣lnm﹣2在m=处有最小值，
即b﹣a的最小值为ln2；
故选：A．
点评：本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．
8. 已知函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣1，1] B．C．D．
参考答案：
D
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．
【解答】解：由题=，
当时，f（x）∈[﹣1，]
当时，f（x）∈（﹣1，）
故可求得其值域为．
故选：D．
9. 设，则不等式的解集是( )
（A）．（B）．
（C）．（D）．
参考答案：
D
10. 已知，P，Q分别是f(x)图象上的最高点和最低点，若P 点横坐标为1,且，则下列判断正确的是
A. 由可得
B. f(x)的图像关于点(－2,0)对称
C. 存在，使得为偶函数
D. 存在，使得参考答案：
D
【分析】
根据根据周期确定零点间距离；根据最值确定，再代入验证(－2,0)是否为对称中心；根据偶函数性质求，再判断是否在(0,2)上有解；设Q坐标，再根据，解得A，即可作出判断.
【详解】因周期，故由可得，排除A；
由是图象的最高点，横坐标为，又周期，所以是最靠近轴的最高点，，得，满足，所以.由于
，排除B.
若为偶函数，可得，，在找不到合适的值，排除C，故选D.
事实上，；由，，，可得.所以存在，使得
.
【点睛】本题考查三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f
（）＜f（﹣1），则x 的取值范围是
．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f
（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），
即|log2|x+1||＜1
∴﹣1＜log2|x+1|＜1，
解得x的取值范围是．
故答案为．
12. 在中，若，则的大小为 .
参考答案：
或
试题分析：由正弦定理得：，故或，当
时，；当时，
考点：解三角形
13. △ABC 为边长为
2的正三角形，则．
参考答案：
－2
由向量数量积定义可知，
14. （如图，在四边形ABCD 中，已知AB=3，DC=2，点E 、
F
分别在边AD、BC上，且=5，
=5，若向量与的夹角为60°，则?的值为_________ ．
参考答案：
8
15. 已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，?=﹣2，则||的最小值是．
参考答案：
【考点】向量的模；三角形五心．
【专题】计算题．
【分析】根据点G是△ABC的重心，故=（+），又由∠A=120°，?=﹣2，我们可以求
出||?||=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到||的最小值．
【解答】解：∵∠A=120°，?=﹣2，
∴||?||=4，
又∵点G是△ABC的重心，
∴||=|+|==≥=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出
|+|的取值范围是解答本题的关键，另外根据点G是△ABC的重心，得到=（+），也是
解答本题的关键．
16. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 .
参考答案：
;
略
17. 若复数满足是虚数单位），则参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，
表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，
当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；
当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；
当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2
综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；
（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；
当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；
当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，
综上，f（x）=；
画出函数f（x）的图象如图所示；则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：
A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）
由题设可得：S=（﹣）?3=6，
化简得2a2+3a﹣2=0，
解得a=﹣2或a=（不合题意，舍去）；
故a的值是﹣2．
19. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河流上游六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5，
现已知近20年的X值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200，
140,110,160,220,140,160.
（Ⅰ）求频率分布表中a,b,c的值，并求近20年降雨量的中位数和平均数；
近20年六月份降雨量频率分布
年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2015年六月份该水力发电站的发电量不低于505万千瓦时的概率.
参考答案：
（Ⅰ）中位数是160，平均数是156；（Ⅱ）.
解析：（Ⅰ）由题意可得，………………………（2分）
中位数是，…………………………………………………………………（4分）
平均数.……（6分）
（Ⅱ）由已知可设，因为当时，，所以，
所以，当时, ，……………………………………（8分）
所以发电量不低于万千瓦时包含降雨量和三类，它们彼此互斥，………………………………………………………………………………………………（10分）
所以发电量不低于万千瓦时的概率.…………………（12分）
略
20. 已知m=（2cos（x+），cosx），n=（cosx，2sin（x+）），且函数f（x）=?+1
（1）设方程f（x）﹣1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求f（x1+x2）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在上的单调增区间．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可得f（x）=cos（2x+）+2，由题意解得cos
（2x+）=﹣，结合范围x∈（0，π），解得x1，x2的值，即可得解．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=cos（2x+）+4，由
2k≤2x+≤2k即可解得函数g（x）在上的单调增区间．
【解答】解：（1）f（x）=?+1
=2cos（x+）cosx+cosx2sin（x+）+1=﹣2sinxcosx+2cosxcosx+1
=﹣sin2x+1+cos2x+1
=cos（2x+）+2，…
而f（x）﹣1=0，得：cos（2x+）=﹣，而x∈（0，π），得：或，
所以f（x1+x2）=f（）=cos（+）+2=3．…
（2）f（x）=cos（2x+）+2左移个单位得f（x）=cos（2x+）+2，再上移2个单位
得g（x）=cos（2x+）+4，…
则g（x）的单调递增区间：2k≤2x+≤2k，所以﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，而x∈，得：f（x）在x∈和x∈上递增…
【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
21. 如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：
（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；
（Ⅱ）AP⊥CP．
参考答案：
【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【专题】直线与圆．
【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．
（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．
【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：
△ABD≌△BCE，…
∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．
所以四点P，D，C，E共圆．…
（II）如图，连结DE．
在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，
由正弦定理知∠CED=90°．…
由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，
所以AP⊥CP．…
【点评】本题考查四点共圆的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．
22. ．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T n，求证：≤T n＜.
参考答案：
(1) ＝4n＋2(n∈N*)(2)略解析：解：(1)：因为数列是等差数列，
所以，
依题意，有即
解得或 (舍去)．所以数列{an}的通项公式为＝4n＋2(n∈N*)．(2)证明：由(1)可得Sn＝＋4n，
所以＝＝＝.
所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝＝－.
因为Tn－＝－＜0，所以Tn＜.
因为Tn＋1－Tn＝＞0，所以数列{Tn}是递增数列，所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.
略。