概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt

类似地有下列若干性质
（1）(t1, t2 , , tn )在 Rn 中一致连续，且
(0, ,0) 1, (t1,t2, ,tn) 1 (t1, t2, , tn) (t1,t2, ,tn)
（2）若 (t1, t2 , , tn ) 为 (X1, X 2, , X n ) 的特征函数，则
Y c1X1 cn X n 的特征函数为
Y (t) (c1t1, c2t2 , , cntn )
（3）若矩
E
(
X
k1 1
X
kn n
)
存在，则
E
(
X k1 1
n
kn
kj
j1
k1 kn f (t1 ,t2 ,
X ) i [ n
t1k1 tnkn
] ,tn ) t1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为

1 2
lim lim
y T
T eity eitx (t)dt
T it
而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。
由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特 征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积 时，有以下更强结果。
定理3（Fourier逆变换）若


eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx

|x|a
|x|a
eihx 1 p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
|x|a
2sin hx p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a

n
E{
eitk X k
k 1
n l 1
l eitl X }
E

k
n 1
k
eit
k
X
n l 1
eitl X l


0

(3)
(t h) (t)

E{ei(th) X
eitX }
E{eitX (eihX 1)}
e itx (eihx 1)p(x)dx eitx (eihx 1) p(x)dx
2
四、分布函数的再生性
许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生 性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个
例子来说明。
EX5 若 X1 b(n, p), X 2 b(m, p) 且 X1, X 2 独立，则
Y X1 X 2 B(m n, p) 证明： X1 (t) ( peit q)n,X2 (t) ( peit q)m
i2t 12 22t2
X1
X2
所以
(t) ei
(
1

2
)t

1 2
(12

2 2
)t2
Y
Y
N (1

2
,

2 1
22 )
五、多元特征函数
若随机向量 ( X1, X 2, , X n ) 的分布函数为
F (x1, x2 , , xn ) 则它的特征函数定义为


lim
T
IT


limg
T
(T
,
x,
x1
,
x2
)dF
(
x)
x2 p(x)dx x1
F (x2 ) F (x1)
定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定
证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y
沿F(x)连续点趋于 时，有
F(x) F ()
X (t) EeitX


eitx
pX
(x)dx
即为 pX (x) 的Fourier变换.
重要分布的特征函数:
EX1 退化分布I(x-c)的特征函数
X (t) EeitX eict
EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数
X (t) EeitX
X (t) peit q
(t) (0) 1 (t) (t) 性质3 (t) 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2
的特征函数为 Y (t) eic2t (c1t)
性质4 X (t),Y (t) 为某随机变量X，Y 的特征函数，
若X，Y 独立，则
X Y (t) X (t) Y (t)

lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1/ 2, x 1, x1
x
x1, or x2
x

x2
证明: 根据Dirichlet积分：
1/ 2, 0
D( ) 1

0
s in t
t
dt

0,
1/
0
2,

0
lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

X (t) EeitX


eitx
dFX
(
x)
Remark1: Euler公式为 eix cosx i sin x
Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于
| eitx || cos(tx) i sin(tx) | 1, 所以特征函数对一切实
数t 均有意义.
nn
nn
(tk tl )kl
Eei(tk tl ) X kl
k 1 l 1
k 1 l 1
nn
E{
e e } itk X itl X kl
k 1 l 1
n
n
E{ຫໍສະໝຸດ eitk X kl eitl X }
k 1
l 1
因此
F ( x

) F(x
2

)

lim
T
1
2
T T
sin t
t
eitx (t )dt
由于 sin t eitx(t) (t) t
因此由控制收敛定理知：
F(x) lim F (x ) F (x )
T
2
1 eitx(t)dt
tn 0
（4） ( X1, X 2, , X n ) 的特征函数为 (t1, t2 , , tn )
则k维随机向量 ( X1, X 2, , X k ) 的特征函数为
(t1, t2 , , tk ) (t1, t2, , tk , 0, , 0)
（5）（逆转公式）若 (t1, t2 , , tn ) 为 ( X1, X 2, , X n )
所以 Y (t) X1 (t)X2 (t) ( peit q)mn
由唯一性定理知
Y B(m n, p)
EX6 X1 p(1), X 2 P(2 ) 且独立，则
证明：
Y X1 X 2 P(1 2 )
X1 (t) e1(eit 1) , X2 (t) e2 (eit 1)
2
|x|a
0,
先取定a,使
2 p(x)dx / 2 |x|a
对于
x (a, a) , 取

2a
,当 | h |
时，有
2sin hx | ha | / 2
2
从而
(t h) (t)
从而 (t) 是连续函数.且一致连续。
性质2 (t) 为某随机变量的特征函数，则
D(
x

x1
)

D(
x

x2
)
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 (t)
且 x1 , x2 为 Ｆ(x)的连续点，则
F
(
x2
)

F
(
x1
)

lim
T
1
2
e e T itx1
itx 2
p(x)dx
T
it
证明：不妨设 x1 x2 由于
IT

1 2
§ 4.5 特征函数
一、概念
Def. 1. 设X,Y 为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,
则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY
性质2 Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究
二维r.v. (X, Y) , 有如下性质：
EX3 二项分布B（n，p)的特征函数
X (t) ( peit q)n
EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数
X
(t )

eibt eiat it(b a)
EX5 Gamma分布 (, ) 的特征函数

X
(t
)

1

it


pX
(x)

(
)
x
Y (t) X1 (t)X2 (t) e(12 )(eit 1)
所以 Y P(1 2 )
EX7 X1
N
(1
,

2 1
),
X
2
N
(
2
,

2 2
)
且独立，则
X1 X2
N
(1

2
,
2 1


2 2
)
证明：
(t) e , (t) e i1t1212t2
(x1, x2, , xn ) 落在平行线 ak xk bk
的面上的概率等于0

(t) dt

则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有
F(x) 1 eitx(t)dt
2
证明：由逆转公式，如 x , x 为F(x)的连续点，则
F
(
x


)

F
(
x


)

lim
T
1

T T
sin t
t
e itx (t)dt
it ( xx2 )
[
dt ]dF ( x)
T
it

1
2

[2
T sin(x x1) sin(x x2 ) dt]dF(x)
0
it

g(T , x, x1, x2 )dF (x)
由引理1知 g(T, x, x1, x2) 有界， 因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得
的特征函数，而 F (x1, x2 , , xn ) 为分布函数，则
P(ak xk bk )
lim 1
T1
Tj (2 )n T1
j1, ,n
(t ,t , Tn
n e itkak e itkbk
Tn k 1
itk
12
, tn )dt1
dtn
其中 ak , bk 为任意实数，但满足唯一的要求：
性质5 X (t)为某随机变量X 的特征函数，EX l 存在
则
EX
k


(k X
)
(0)
ik
,
k
1,2,,l
三、逆转公式与唯一性定理
引理1 设 x1 x2 ,
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1

T 0

sin
t
(
x t

x1 )

sin
t(x t

x2
)
dt
则
0，x x1 or x x2
e 1 x
I
(x

0)
EX6 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
it 1 2t 2
X (t) e 2
exp{it
1 2t 2}
2
二、性质
性质1 (t) 为某随机变量的特征函数，则
(1) (0) 1
(2) (t) 非负定，即 n N ,t1,t2 , ,tn R,
(t1, t2 , , tn )
e i(t1x1

tnxn )dF (x1, x2 ,
, xn )
通常记 t (t1, t2 , , tn )T , x (x1, x2 , , xn )T
则上式表示为
(t) EeitT X eitT xdF (x)
Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的 特征函数
•若离散型随机变量X的分布律为 P( X xi ) pi ,i 1,2,
则其特征函数为

X (t) EeitX p jeitx j j 1
•若连续型随机变量X的p.d.f.为 pX (x)
则其特征函数为
T T
eitx1
eitx2 (t)dt
it

1 2
T T
eitx eitx1 eitx2 dF (x)dt

it
由Fubini定理交换积分次数得到
IT

1
2
e e T itx1
itx2
[
dt]dF (x)
T
it

1
2
e e T it ( xx1 )