北师大版九年级数学下册：第三章 圆——回顾与思考 教案

圆回顾与思考
【教学设计】
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：
通过《圆》的整章内容的学习，学生能初步掌握圆的相关知识，对与圆有关的基本概念及定理有了清楚的认识。

但本单元知识点较多，学生在知识体系建构以及应用定理解决实际问题方面均需要一个循序渐进的过程。

学生活动经验基础：
在初中阶段各个单元的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了归纳总结所学知识的习惯。

同时在以往的数学学习中学生已经具备了一定的分析问题的能力，且在解决具体问题时会运用转化等数学思想方法。

二、教学任务分析
本课为单元的复习课，需要引导学生对所学知识进行系统梳理。

同时针对圆的相关定理，配以典型例题，以习题讲练的形式进行，以点带面，将本单元中各种典型的图形展现，使学生对定理的应用得到进一步的深化。

【教学目标】
1．逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”的知识网络体系；
2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法，特别是辅助线添加和转化思想等难点问题。

【教学过程】
本课共分三个环节：知识回顾、精选精练、归纳小结。

第一环节：知识回顾
在课前，先让学生自行回顾本单元内容，并尝试建构单元的知识框架，并在课堂上展示。

之后老师给出参考框图如下：
对于每一个知识点，可以在利用学案填空的形式让学生回顾。

1．圆的对称性
圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；
圆又是 中心 对称图形， _圆心____是它的对称中心。

2．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的两、条弧。

3．圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧，两条弦，中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。

4．圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等 ，都等于它所对弧的圆心角 度数的一半 。

直径所对的圆周角是直角，905．与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 ①点P 在圆外 d > r ；
圆 基本概念与性质
与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 定义
对称性
点与圆的位置关系 弧长
确定圆的条圆周角与圆心角的关系 垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
直线与圆的位置关系 圆的内接四边形 扇形面积
切线长定内接正多边形
· O
A
B
D E
C
O
A
B
A ′
B ′
·
A
C
B
O
P
②点P 在圆上 ⇔d = r ； ③点P 在圆内 ⇔d < r 。

（2）直线与圆的位置关系 ①直线和⊙O 相交 ⇔ d < r ； ②直线和⊙O 相切 ⇔ d = r ； ③直线和⊙O 相离 ⇔ d > r 。

6．圆的切线的性质
圆的切线 垂直于 过切点的半径； 符号语言：∵l 是⊙O 的切线， 切点为A ，OA 是⊙O 的直径， ∴OA ⊥l 。

7．圆的切线的判定
经过 半径 的外端，并且垂直于 这条 半径 的直线是圆的切线。

符号语言∵OA 是⊙O 的半径， l ⊥OA 于A ， ∴ l 是⊙O 的切线。

8． 切线长定理
从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。

符号语言：∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， ∴PA=PB 。

9．圆的内接多边形 圆的内接四边形对角互补。

10.弧长与扇形面积的计算
n °的圆心角所对的弧长计算公式为 180
n R
l π=，
n °的圆心角所在的扇形面积为 2360
n R S π=扇形。

本环节主要由学生自主填写，课堂上可以用大概5分钟左右时间让学生去完成，之后老师和同学以前回顾，并指出当中规范符号语言表达。

第二环节：精选精练
对于圆的各种定理，学生学习完本单元后往往只停留在表面的理解之上。

对于定理的具体
l
l l · O l
A
A
P
O
. B
应用及之间的联系是不够深刻的。

本环节设计了6道习题，从不同的角度对问题进行分析，以达到精练而有效的目的。

问题1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACO=30°，∠B=_______。

『分析』本题考察的是同弧所对的圆周角的问题，题目只给出了部分图形，需要学生挖掘相关条件，因此，添加辅助性是一个关键。

方法一：连接OA ，可知∠B=
2
1∠ACO ，由等腰三角形性质易求∠ACO=120°；
方法二：延长CO 交⊙O 于D ，连接DA ，则∠B 与∠D 均为AC 所对的圆周角，而CD 为直径，可得∠DAC=90°，则∠B=∠D=90°-30°=60°。

教师点拨：通过辅助线的添加，建立同弧所对的圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所求对象的转换。

问题2．如图2，在⊙O 中，弦AB=1．8cm ，圆周角∠ACB=30°，则⊙O 的直径等于______cm 。

『分析』本题所求的对象——直径并非显性对象，需要构造出来，同时要与题目中的已知条件有联系，因此构造直角三角形是关键点和难点。

解：连接AO ，并延长交⊙O 于D ，连接BD ， ∵弧AB=弧AB ， ∴∠D=∠C=30°，
∵AD 是直径，∴∠B=90°， ∴2 3.6AD AB ==
教师点拨：当所求对象非显性存在时，可先将其作出，并寻找与之相关的已知条件。

问题3．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ， 且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明。

B
A
O
C B
A
O C
D
C
D
『分析』本题需要先通过观察，对线段的数量关系进行判断，对于证明线段相等的问题，学生往往会选择使用较多的全等方法，此时可以提出对称形的思想方法，利用垂径定理的结论直接解答，当然，辅助性的添加是个难点。

解法一：连接OA 、OB ，可知△AOB 为等腰三角形，因此可以找到全等三角形的三组条件OA=OB ，∠A=∠B ，AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF ，可得OE=OF 。

解法二：过O 作AB 的垂线OG ，由垂径定理可得AG=BG ，又已知AE=BF ，所以得EG=GF ，从而知道OG 为EF 的垂直平分线，所以OE=OF 。

教师点拨：图形呈轴对称性时，可利用垂径定理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角形的对称性求解。

问题4．某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人 王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长就计 算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？请你用圆的 相关知识加以解释。

『分析』本题需要先表示出圆环的面积，而大小圆的 半径未知，但利用圆的切线可以将两半径OA 与OC 联 系在一起，从而达到解决问题的目的。

解：连接圆心O 与切点C ，连接AO ， ∵OC ⊥AB ，
∴在△AOC 中，AO 2-OC 2=AC 2 ∴S 圆环面积=π(AO 2-OC 2)=πAC 2 =π(
2
AB )2
， 教师点拨：遇到相切问题经常需要作出过切点的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角形，并利用勾股定理求解三边。

问题5．如图，过圆外一点O 作⊙O ′的两条切线OA 、 OB ，A 、B 是切点，且OO ’圆O 半径长两倍，则∠AOB=______。

『分析』本题的基本图形是切线长定理的模型，但问题却转
O
A
B
C
D
E F O
A
B
C
D
E F G
化为求切线的夹角，此时连接过切点的半径是解决问题的关键。

同时直角三角形的边角关系也是一个考察的知识点。

解：连接OA ，OB ，OO ’， ∵OA ，OB 与⊙O ′相切，
∴OA=OB ，且O ’A ⊥OA ，O ’B ⊥OB ，
在Rt △AOO ’中，∵21
' OO OA ，∴∠AOO ’=30°
同理可得∠BOO ’=30°，即∠AOB=60°。

教师点拨：过圆外一点可作两条与圆相切的直线，该点与两切点的距离相等，且OO ’平分∠AOB 。

问题6．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，延长斜边AB 到D ，使BD 等于⊙O 半径，求证：DC 是⊙O 切线。

『分析』本题是综合应用定理解决问题，表面是考察切线的判定问题，但实际需要使用辅助线，实现直角三角形的判定。

证明：连OC ，如图， ∵∠A=30°，OA=OC ， ∴∠COB=60°，
∵△COB 为等边三角形，∴BC=BO ， 而BD 等于⊙O 半径， ∴BC=BO=BD ，
∴△OCD 为直角三角形，即∠OCD=90°， 所以DC 是⊙O 切线。

教师点拨：求证圆的切线问题除了需要作出过切点的半径，还要注意观察图形的特征，例如包涵的特殊三角形的性质。

第三环节 课堂小结
1．本章知识结构和重点内容； 2．观察——猜想——关联；
3．辅助线的添加以及转化的数学思想在解决圆的问题时的相关应用。

【教学反思】
本课是在完成北师大九年级下《圆》的一整章教学后的一节复习课，但本课并没有过多地进行知识的归纳和直接的梳理，而是以习题讲练的形式进行，以点带面，将本单元中各种典型
A
的图形展现，特别是突出辅助线添加和转化思想等难点问题，内容充实。

学生通过自己的练习发现每个题目均有多种不同的方法，并发现其之间的联系，实现了巩固知识，突破难点的目的。

为了更高效的复习，可以选用学案的形式，先以图表的形式展示了《圆》知识结构，并通过填空的形式重温了重要的定理。

之后由学生随堂动笔解决问题，并由学生自己提出解答方案，将课堂还给学生，一题多解，探索效果较好。

但实际教学中的时间有限，对于转化思想的几个难题较作更深入的探究，老师也会急于提示相关的方法。

实际上学生可能有更多的解答方法，甚至可以提出更多的新的问题，这需要在教学中为学生创设更宽广的空间。