中考数学二轮复习平行四边形复习题附解析

中考数学二轮复习平行四边形复习题附解析
一、选择题
1．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
2．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，2BD AD =，
E 、
F 、
G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：
①BE AC ⊥；②EG GF =；③EFG GBE ∆∆≌；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②⑤
D ．②③⑤
4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+2；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（ ）
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是BC 边上一点，将矩形沿AE 折叠，点B 落在点B '处，当△B 'EC 是直角三角形时，BE 的长为（ ）
A ．2
B ．6
C ．3或6
D ．2或3或6
6．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；
②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．线段AB 上有一动点C （不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边向上作等边△ACM 和等边△BCN ，点D 是MN 的中点，连结AD ，BD ，在点C 的运动过程中，有下列结论：
①△ABD 可能为直角三角形；②△ABD 可能为等腰三角形；③△CMN 可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD 的最小值为37. 其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．①②③④
C ．①③④
D ．②③④
8．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )
A．23︒B．28︒C．62︒D．67︒
9．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为( )
A．1 B．10
3
C．4 D．
14
3
10．已知菱形ABCD的面积为83，对角线AC的长为43，∠BCD=60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（）
A．3B．2 C．23D．4
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是_____．
12．如图，正方形ABCD中，DAC
∠的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 19
CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
15．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．
16．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．
18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
19．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
20．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
三、解答题
21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．
22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A 出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
23．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．
（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．
24．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．
（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；
（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．
25．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
26．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
27．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,3BC AD ==EF 的长.
28．已知：如图，在ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作//
CF BA交PQ于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若8
AC ，AE=5，则求菱形AECF的面积．
29．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因
为S△AOB＝1
4
S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；
（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝1
4
S矩形ABCD，若AB＝a，
AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝1
4
S▱ABCD，若AB＝
3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，
∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；
④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．
【详解】
①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；
②∵四边形ABDC 是平行四边形，
∵A′与D 重合时，
∴AC=CD ，
∵四边形ABDC 是平行四边形，
∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；
③连结A′D ，如图，
∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，
∴CA′=CA=BD ，AB =CD=A′B ，
在△A′CD 和△A′BD 中
CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩
，
∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A′D ∥BC ，
∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；
④设矩形的边长分别为a ，b ，
当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC 是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S △A′CB =S △ABC =12
×2×5=5， ∴S 矩形A′CB D =10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a 2+b 2=25，
∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，
∴5
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC 是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=3，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．
2．C
解析：C
【分析】
连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.
【详解】
连接EG、FH，如图所示，
在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，
∴AE=CH,
在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,
∴△AEF≌△CGH，
∴EF=GH,
同理可得△BGE≌△DFH，
∴EG=FH,
∴四边形EGHF为平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
2
⨯平行四边形EGHF的面积，
求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）-
1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）=14，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
14
2
⨯=7.
【点睛】
此题主要考察矩形的综合利用.
3．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝1
2
BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝1
2 CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝1
2
AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误，∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝1
2 AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合，故⑤错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，
EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF
，得出AF＝AE+EF＝
1
，由勾股定理得出AB
S
正方形ABCD
＝AB2＝
5+
，③正确；EP
AE
，由勾股定理得出BP
，④错
误；即可得出结论．
【详解】
解：∵∠EAB+∠BAP＝90︒，∠PAD+∠BAP＝90︒，∴∠EAB＝∠PAD，
在△APD和△AEB中，
AP AE
PAD EAB AD AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，
∵AE＝AP，∠EAP＝90︒，
∴∠APE＝∠AEP＝45︒，
∴∠APD＝135︒，
∴∠AEB＝135︒，②正确；
∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB⊥ED，①正确；
作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：
∵∠AEB＝135︒，
∴∠EFB＝45︒，
∴EF＝BF，
∵BE＝PD＝2，
∴EF＝BF
，
∴AF＝AE+EF＝1
，
AB ＝22AF BF +＝22(12)(2)++＝522+，
∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝（522+）2＝5+22，③正确；
EP ＝2AE ＝2，
BP ＝22BE EP +＝222(2)+＝6，④错误；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
分以下两种情况求解：①当点B ′落在矩形内部时，连接AC ，先利用勾股定理计算出AC ＝10，根据折叠的性质得∠AB ′E ＝∠B ＝90°，而当△B ′EC 为直角三角形时，只能得到∠EB ′C ＝90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB ＝EB ′，AB ＝AB ′＝6，可计算出CB ′＝4，设BE ＝x ，则EB ′＝x ，CE ＝8﹣x ，然后在Rt △CEB ′中运用勾股定理可计算出x ．
②当点B ′落在AD 边上时．此时四边形ABEB ′为正方形，求出BE 的长即可．
【详解】
解：当△B ′EC 为直角三角形时，有两种情况：
①当点B ′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC ，
在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，
∴AC 2286+10，
∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，
∴∠AB ′E ＝∠B ＝90°，
当△B ′EC 为直角三角形时，得到∠EB ′C ＝90°，
∴点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，如图， ∴EB ＝EB ′，AB ＝AB ′＝6，
∴CB ′＝10﹣6＝4，
设BE ＝x ，则EB ′＝x ，CE ＝8﹣x ，
在Rt △B ′EC 中，
∵EB ′2+CB ′2＝CE 2，
∴x 2+42＝（8﹣x ）2，
解得x ＝3，
∴BE ＝3；
②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示．
此时ABEB ′为正方形，
∴BE ＝AB ＝6．
综上所述，BE 的长为3或6．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质，正方形的判定等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直角三角形的性质得到3AC BC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=
12
BC ，于是得到OE ：3∶6；故③错误；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒
∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，
∴60DCE BCE ∠=∠=︒，
∴CBE △是等边三角形，
∴BE BC CE ==．
∵2AB BC =，
∴AE BE CE ==，
∴90ACB ∠=︒，
∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；
∵AC BC ⊥，
∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；
在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒， ∴3AC BC =．
AO OC =，AE BE =，
∴1OE BC 2
=， 1::33:62
OE AC BC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意并结合图形，我们可以得出当C 为AB 的中点时，可判断所给结论正确与否．
【详解】
解：
当C 为AB 中点时，有图如下，
∵ACM 与BCN 为等边三角形，
∵C 为AB 中点，
∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND ，
∵MCN 60∠=︒
∴CMN CNM 60∠∠==︒
∴CMN 为等边三角形，③正确；
∵AMD BND 120∠∠==︒
∴AMD BND ≅
∴AD=BD，△ABD 此时为等腰三角形，②正确；
当C 为AB 中点时，AD+BD 值最小，
∵D 为MN 的中点，
∴CD 为MN 的垂直平分线， ∴1MD 4
AB =，∵AB=6，
∴CD 2==
∴AD ==∵AD=BD
∴AD+BD=
若△ABD 可能为直角三角形，则ADB 90∠=︒，
∴CD 为AB 的垂直平分线
∴ADC 45∠=︒
∴AC=CD，与所求结论不符，①错误．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C 为AB 中点时的图形是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
【详解】
解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵134A ∠=︒
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12
(180°-134°)=23°
∴BEC ∠=90°-23°=67°
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.
9．D
解析：D
【分析】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF ，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF ，证得∠AED=∠EFH ，由AAS 证得△ADE ≌△EHF 得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF ，
∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH ，
在△ADE 和△EHF 中，
ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△EHF （AAS ），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=143
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
作点B 关于对角线AC 的对称点，该对称点与D 重合，连接DM ，则PB 与PM 之和的最小值为DM 的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM ⊥BC ，CM=BM=2，由勾股定理可求DM=23．
【详解】
解：作点B 关于对角线AC 的对称点，该对称点与D 重合，连接DM ，则PB 与PM 之和的最小值为DM 的长；
∵菱形ABCD 的面积为3，对角线AC 长为3，
∴BD=4，
∵BC=CD ，∠BCD=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵M 是BC 的中点，
∴DM ⊥BC ，CM=BM=2，
在Rt △CDM 中，CM=2，CD=4，
∴2216423CD CM -=- 故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB 与PM 之和的最小值转化为线段DM 的长是解题的关键．
二、填空题
11．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．
【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝
1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为
18cm 2． 故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
12．2【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ
+取最小值的状态，并将它转换成DP'去求解．
13．102
-
【分析】
连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC，交EF于O，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝2OC＝2，
取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝1
2
OC2，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB22
31
+10
在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝
12
OC
∵BG≥BM−MG ，
当B ，M ，G 三点共线时，BG ，
．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．
14．①②④
【分析】
①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据
∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出
∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110
a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =
2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理
得2
a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．
【详解】
解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，
∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，
∵E 是BC 中点，
∴BE=CE=EF ，
∴△EFC 是等腰三角形，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，
∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，
∴AE ∥FC ，故①正确；
②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，
∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，
∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，
∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中
AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），
∴∠FAG=∠GAD ，
又∵∠BAF+∠FAD=90°，
∴2∠EAF+2∠FAG=90°，
即∠EAF+∠FAG=45°，
∴∠EAG=45°，
由全等得：BE=FE ，DG=FG ，
∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；
③对于Rt △ECG ，
S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216
a ， ∵EF ：FG=2a ：3
a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =
2110a ， 又∵S ABCD =a 2，
则S △CEF ：S △ABCD =
2110
a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2
a =EC ，
由勾股定理得=
2， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2
a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（
2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23
a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．
【点睛】
本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
15．
【分析】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．证明QM ＝QK ，QG ＝DQ ，求出DQ ＋QM 的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM2222
+=+5，
63
AB AM
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥5
∴△QGK的周长的最小值为5，
故答案为5
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
16．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，
∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED ，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DH E−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=
12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．17．②③
【分析】
根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设
∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出
∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=1
2
∠ABE=36°，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，
∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BF=AF．故③正确
∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°
∴∠AFD=∠EAD
∴AD=FD
又∵AD=AB=AE
∴AE=FD，故②正确
∴正确的有②③
故答案为：②③
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．
18．2或14
【分析】
利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长
【详解】
解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm
同理可得：CF=CB=6cm
∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)
如图2，当AD=10cm,AB=6cm,
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm
同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）
故答案为：2或14.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．
19．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，22
BC
∴BE=12
BC =，DF=2DE ， 在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt △EMD 中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， 20．663
【分析】
通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．
【详解】
解：如图，设NE 交AD 于点K ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE ==，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC ，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN ⊥BE ，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt △KME 中，=
∴NE=NK+KE=6+
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+
∴6=+
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
三、解答题
21．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝
2DF或|AF－CF|2
【分析】
（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；
（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得
△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=1
2
（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰
直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得
△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设
∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三
角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=1
2
∠BFE=45°，则△HDF是等腰
直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得
∠NFC=∠BFC=1
2
∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS
证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出2DF；。