230.因式分解,提取公因式(试题+参考答案)

因式分解与提取公因式
【要点梳理】
〖知识点一〗 因式分解的定义
问题1．计算下列各题，看谁算得又准又快： ⑴7.6×99.8＋4.3×99.8－1.9×99.8＝ ； ⑵=-2
2
99101 ；
⑶=+⨯⨯+2
2
434357257 ． 问题2．把下列多项式写成几个整式乘积的形式： ①=+x x 2
；②=-2
2
b a ；
③=+-122
x x ；④=++mc mb ma
定义：把一个多项式化成几个整式积．．．的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这
个多项式分解因式． 说明：⑴因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算． ⑵因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
问题3．下式从左到右的变形哪些是因式分解? ⑴()12
-=-x x x x ；
⑵()ab a b a a -=-2
；
⑶()12122
+-=+-a a a a ；
⑷()2
2
244-=+-x x x ；
⑸⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+a a a 111．
〖知识点二〗 提取公因式 问题4．观察问题2中的①和④，你发现什么特点？ 指出：多项式mc mb ma ++中，各项都含有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．
问题5．指出下列多项式中各项的公因式：
⑴a ay ax ++； ⑵2
63mx mx -； ⑶22912y x xyz -；⑷c ab ab b a 3
2
2
2
24128+- ⑸()()3
2
223143221x y a y x b a ---；
⑹()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+
【典例剖析】
例1．用提取公因式法将下列各式因式分解： ⑴4
3
63x x +； ⑵c ab b a 3
2
3
128+； ⑶()()c b c b a +-+32；⑷()()b a b a b a ---+；
⑸()()2
3
2x y y x ---；⑹23++-n n
n
a a
a ；
⑺()()()()y x n m y x n m +--+-2387．
例2．计算： ⑴3
3131939⨯-⨯；
⑵2006
2005200520032005220052
323-+-⨯-．
【课堂操练】
1．把下列各式分解因式：
⑴=+2
2
28mn n m ； ⑵=-2
2912y x xyz ； ⑶()()=---y z b z y a 32 ； ⑷=-+-ma ma ma 12632
3
； 2．分解因式：
⑴ab abx aby 61236+-； ⑵x xy x +-632；
⑶()()q p q q p p +-+46；
⑷xy xy y x -+22；
⑸()()()()m y m x m y m x m x -----；
⑹()()11+---++b a b a b a ；
⑺()()()2
3
2
x y c x y b y x a -+-+-．
⑻()()3
2
22x y xy y x y x --- ⑼11
+-+-n n n x x x
3．利用因式分解计算： ⑴978×85＋978×7＋978×8；
⑵98992
3
⨯+-．
4．已知40,13==+ab b a ，求2
2
ab b a +的值． 5．（2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝
6．多项式32
2
2
3
3
20515b a b a b a -+提公因式后
的另一个因式是 ．
7．多项式b ab b a +-632
分解因式的结果是（ ） A ．()b a a 23- B ．()123+-b a a C ．()a a b 632- D ．()
1632+-a a b 8．下列各式分解因式正确的是( ) A ．()
()()()122-++=+-+b a b a b a b a B ．()y x x x xy x 63632-=-- C ．()b a ab ab b a -=-
44
1412
32
2
D ．()c b a a ac ab a -+-=-+- 9．分解因式： ⑴（ 2011重庆江津 ） 2x 3－x 2；
⑵（2011四川凉山州）：3
2
2
14
a a
b ab -+-；
⑶()()2
3
126m n n m ---；
⑷()()1315----+ay ax m ay ax m ； ⑸()()()()b a b a b a b a 28287--+--； ⑹()()()3
3
4
m n n n m m n m -+-+-．
10．两个小孩的年龄分别是x ，y ，且992
=+xy x ，试求这两个小孩的年龄．
【课后巩固】
1． 判断下列变形过程，哪个是因式分解？ ⑴()()4222
-=+-x x x ；（ ）
⑵()()x x x x x 322342
++-=+-；（ ）
⑶()17777--=--n m n m ；（ ）
⑷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-x x x x 14442
．（ ）
2．下式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．b a b a 3262
2
⋅=
B ．()43432--=--x x x x
C ．()222-=-b ab ab ab
D ．()()2
422a a a -=+-
3．（2011河北）下列分解因式正确的是（ ） A ．3
2
(1)a a a a -+=-+
B ．2a －4b ＋2=2（a －2b ）
C ．a 2－4=(a －2)2
D ．a 2－2a ＋1=(a －1)2
4．把()()a m a m -+-222
分解因式等于（ ） A ．()()m m a +-2
2 B ．()()
m m a --2
2
C ．()()12--m a m
D ．()()12+-m a m 5．因式分解()()x y x 2552-+-的结果是( ) A ．()()y x +-152 B ．()()y x --152 C ．()()y x +-125 D ．()()y x --125 6．分解因式()()3
2
86b a b a a ---时，应提取的
公因式是（ ）
A ．a
B ．()2
6b a a -
C ．()b a a -8
D ． ()2
2b a -
7． 2008
2007
2121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪
⎭
⎫
⎝⎛-的结果是（ ）
A ．21-
B ．2008
21⎪
⎭
⎫
⎝⎛-- C ．2007
21⎪
⎭
⎫
⎝⎛-- D ．2
1
答案：B
8．观察下列各式：①adx abx -；②2262xy y x +；③12482
3
++-m m m ④3
2
2
3
b ab b a a -++；⑤()()()2
2265q p q p x y x q p +++-+；
⑥()()()x y b y x y x a +--+42其中可以用提取公因式法分解因式的有 ．（填序号） 9．()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+ 各项的公因式为 ．
10．多项式23224128xy z xy y x -+-各项的公因式是 ．
11．若()()()A y x y x xy y x ⋅+=+-+3
，
则A 为 ． 12．将n n y x -分解因式，其结果为
()
()()y x y x y x
-++22
，则n 的值为 ．
13．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的有（ ）
A ．y x -2
B ．x x 22
+
C ．2
2
y x + D ．2
2
y xy x +-
14．下列多项式中，公因式是b a 2
5的是（ ）
A ．2222015b a b a +
B ．b a ab 2
21030- C ．3
2
2010ab b a + D ．b a ab 2
155+ 15．填空：
⑴=--x xy x 2422
()12--y x ；
⑵2
232232104b a b a b a =-（ ）； ⑶()=-+-11a mn a ； ⑷()()()=----2
2
1m n n m m mn ；
⑸()()=+-+y x y x 332
；
⑹()()=---3
2
a b b a ；
16．把下列各式分解因式： ⑴xy x +2 ⑵x x x ++2
3
⑶x xy x 2812242+--
⑷()y x a y x +-- ⑸2
3
2
363a na ma +- ⑹()()2
2
64a b y b a x ---
⑺()()2
3
2x y x y x -+-
⑻()()()()b a b a b a b a +++-+252322 ⑼()()()()y x n m y x n m +--+-2387 ⑽()()x x x x -+-22622
17．利用因式分解计算： ⑴6.15×3.16＋13.2×0.316＋2.53×3.16 ⑵2
2
3
9899⨯--
18．计算：=⨯+⨯-3103432
3
；
=⨯+⨯-234310343 ；
=⨯+⨯-345310343 ；根据计算过程，
猜想下列各式的结果：
=⨯+⨯-200320042005310343 ； =⨯+⨯-++n n n 31034312 ．
19．求证：对于任意自然数n ，n n 224
-+能被5
整除．
20．化简并求值，其中2-=x ，
()()()
2008
2
1111x x x x x x x ++++++++ ．
21．若232
=+x x ，求x x x 4622
3
-+的值．
因式分解与提取公因式
参考答案：
问题1．⑴998;⑵400;⑶10000 问题2．①x (x ＋1); ②(a ＋b )(a －b );
③(x －1)2; ④m (a ＋b ＋c )
问题3．⑴⑷。

问题4．⑴a (x ＋y ＋1);⑵3mx (1－2x );
⑶3xy (4z －3xy );⑷ ⑷4ab 2 ⑸7a (2x －3y ); ⑹x ＋y －z
【典例剖析】
例1．（1）3x 3(1＋2x ); ⑵224(23)ab a bc + （3）（b ＋c )(2a －3); ⑷ (a ＋b )(a －b －1) ⑸(x －y )2(x －y －2); ⑹a n (1－a 2n ＋a 2); （7）2(x ＋y )(2m －3n )
例2．（1）3
3131939⨯-⨯
＝39×19－39×9
＝39×(19－9) ＝390;
⑵
22
2005(20052)2003
2005(20051)2006
--+- ＝22200520032003200520062006
∙-∙- ＝22
2003(20051)2006(20051)--＝2003
2006
.
【课堂操练】
1．（1）2mn (4m ＋n )，（2）3xy (4z －3xy ) （3）(y －z )(2a ＋3b )
（4）−3ma (a 2−2a ＋4)＝ −3ma (a −2) 2 2．
（1）6ab (y −2x ＋1)
（2）x (3x −6y ＋1)
（3）2(p ＋q )(3p −2q ) （4）xy (x ＋y −1) （5）−(m −x )2(m −y ) （6）(a ＋b －1)2
（7）(y －x )2(a －by －bx ＋c ) （8）xy (x －y )2(3x －2y )
（9）x n －
1(1－x ＋x 2) 3．
（1）978×(85＋7＋8) ＝978×100 ＝98700.
（2）9(81－9＋8)＝720. 4．2
2
ab b a +
＝ab (a ＋b ) ＝40×13 ＝520.
5．3m (2x －y ＋n )(2x －y －n ) 6．3ab ＋1－4b 7． D 8． C 9．⑴x 2(2x －1)
⑵2
12a a b ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
⑶－6(n －m )3－12(n －m )2 ⑷＝m (5ax ＋ay －1－3ax ＋ay ＋1) ＝ m (2ax ＋2ay ) ＝ 2a m (x ＋y ) ⑸＝(a －2b )(7a －8b ＋a －8b ) ＝(a －2b )(8a －16b ) ＝8 (a －2b )2 ⑹＝(m －n )3(m －n ＋m －n ) ＝2(m －n )4
10．x (x ＋y )＝99＝1×99＝3×33＝9×11
199x x y =⎧⎨
+=⎩或333x x y =⎧⎨+=⎩或9
11x x y =⎧⎨+=⎩, 198x y =⎧⎨=⎩或330x y =⎧⎨=⎩或9
2
x y =⎧⎨
=⎩ 因为是两个孩子，所以分别为2岁和9岁
【课后巩固】
1．（3） 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B 8．①②⑤⑥ 9．x ＋y －z 10．－4xy 2 11．x 2＋xy ＋y 2
12．4 13．B 14．A 15．（1）2x ⑵2a －5b ⑶ (1－a )(mn －1) ⑷ (m —n )2(m 2n －m －1) ⑸(x ＋3y )(x ＋3y －1) ⑹(a －b )2(1＋a －b ) 16．（1）x (x ＋y ) ⑵x (x 2＋x ＋1) ⑶－4x (6x ＋3y －7) ⑷ (x －y )(a －1) ⑸3a 2(m －2na ＋1) ⑹2(a －b )2(2x －3y ) ⑺＝(x －y )2(x －y ＋2x ) ＝(x －y )2(3x －y ) ⑻()()()()b a b a b a b a +++-+252322 ＝(2a ＋b )(2a －3b ＋2a ＋5b ) ＝(2a ＋b )(4a ＋2b )
⑼()()()()y x n m y x n m +--+-2387 ＝(x ＋y )(7m －8n －3m ＋2n ) ＝(x ＋y )(4m －6n ) ＝2(x ＋y )(2m －3n ) ⑽()()x x x x -+-22622
＝x (x －2)[6(x －y )－x ]
＝x (x －2)(5x －6y ) 17． ⑴
＝6.15×3.16＋1.32×3.16＋2.53×3.16 ＝3.16×(6.15＋1.32＋2.53) ＝3.16×10 ＝31.6
⑵2
2
3
9899⨯-- ＝92×(9－1－8) ＝0
18．21,63,189,32003×7, 3n ×7
19． 2n ＋
4－2n
＝2n (24－1) ＝2n ×15 ＝2n ×3×5
n n 224-+能被5整除
20．
()()()
2008
2
1111x x x x x x x ++++++++ ．
＝1＋x ＋x （1＋x ）＋x （1＋x ）2＋…＋x （1＋x ）2008
＝（1＋x ）[1＋x ＋x （1＋x ）＋…＋x （1＋x ）2007] ＝（1＋x ）{（1＋x ）[1＋x ＋…＋x （1＋x ）2006]} ＝（1＋x ）2[1＋x ＋…＋x （1＋x ）2006] ……
＝（1＋x ）2009
当x ＝－2时，原式＝（1＋x ）2009 ＝（1－2）2009 ＝－1
21．x x x 4622
3
-+
＝2x (x 2＋3x －2) ＝2x (2－2) ＝0。