湖南省常德市2018年八年级下学期期中考试数学试题(含答案)

湖南省常德市2018年上学期八年级期中考试试卷
数学
一、填空题
1. 已知菱形的两条对角线长为10和6,那么这个菱形的面积为_________.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．
3. 在△ABC中，∠C=90°若BC＝2，则AB＝4，则∠B＝____________°
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，•BC=•12，D为AB边上的中点，则CD=____________
5. Rt△ABC的两边长分别为1cm、cm，则第三边长为__________cm
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
7. 如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k=________
8. 如图，正方形ABCD边长为1，动点P沿正方形的边按A→B→C→D逆时针方向运动，当它的运动路程为
2009时，点P所在位置为_____点
二、选择题
9. 点A(1，－2)关于x轴对称的点的坐标是()
A. (1，－2)
B. (－1，2)
C. (－1，－2)
D. (1，2)
10. 已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是（）
A. 正五边形
B. 正六边形
C. 正七边形
D. 正八边形
11. 如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）
A. BE=DF
B. BF=DE
C. AE=CF
D. ∠1=∠2
12. 在□ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是()
A. ∠E＝∠CDF
B. EF＝DF
C. AD＝2BF
D. BE＝2CF
13. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是()
A. 165°
B. 120°
C. 150°
D. 135°
14. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为()
A. 2
B. 2
C. ＋1
D. ＋1
15. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形
CDOE的面积的两倍；③CD＋CE＝OA；④AD2＋BE2＝DE2.其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16. 如图所示，Rt△ABC中，∠ ACB =90°，AC=6，•BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，使CE+EF的和最小，则这个最小值为（）
A. B. C. 3 D. 6
三、解答题
17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连结CE，AF.
求证：AF=CE.
18. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，求∠BAE与∠AEB的大小
19. 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.求△ABC的面积与 BD 的长．
20. 如图，已知BE=DF，AE=CF，AE∥CF，求证：AD∥BC
21. 如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

22. 如图把长方形沿对角线折叠，重合部分为△EBD。

(1) △EBD是等腰三角形吗？为什么？
（2）若AB＝12cm，BC＝18cm，求AE的长。

23. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
24. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．
25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
26. 已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，
求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图① 图②
答案解析
一、填空题
1. 已知菱形的两条对角线长为10和6,那么这个菱形的面积为_________.
【答案】30
【解析】分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．
详解：S=10×6÷2=30．
点睛：本题主要考查的是菱形的面积计算，属于基础题型．明白菱形的面积计算公式是解决这个问题的关键．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．
【答案】6.5
【解析】试题分析：依题意作图可知EF为Rt△ABC中位线，则EF=AB。

在Rt△ABC中
AB=
所以EF=6.5
考点：中位线定理
点评：本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线定理知识点的掌握。

3. 在△ABC中，∠C=90°若BC＝2，则AB＝4，则∠B＝____________°
【答案】60°
【解析】分析：根据直角三角形的三边关系得出角的度数．
详解：∵AB=2BC，∴∠A=30°，∴∠B=90°－30°=60°．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的三边关系，属于基础题型．明白在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半是解决这个问题的关键．
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，•BC=•12，D为AB边上的中点，则CD=____________
【答案】7.5
【解析】分析：首先根据勾股定理得出直角三角形的斜边长，然后根据斜中线的性质得出答案．
详解：根据勾股定理可得：，∵D为斜边上的中点，
∴CD==7.5．
点睛：本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理以及直角三角形斜中线的性质，属于基础题型．明白斜中线的性质是解题的关键．
5. Rt△ABC的两边长分别为1cm、cm，则第三边长为__________cm
【答案】2或
【解析】分析：本题分第三边为直角边和斜边两种情况进行讨论，从而得出第三边长．
详解：当第三边长为斜边时，则第三边长=；
当第三边长为直角边时，则第三边长=；
综上所述：第三边长为2cm或cm．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是分类讨论思想的应用，这样答案才会全面．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．
【答案】1.5
【解析】在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C ＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．
7. 如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k=________
【答案】8
【解析】分析：设小长方形的长为x，宽为y，根据正方形的边长相等列方程从而可求得长与宽，从而不难求得k的值．
详解：设小长方形的长为x，宽为y，则根据题意可知：2x=x+2y，
即x=2y，长是宽的2倍，所以当上、下各横排两个时，中间竖排有4个，
故k=8．
点睛：本题主要考查的是正方形的性质、矩形的性质．主要利用了正方形的四边相等的性质作为相等关系
找小长方形的长与宽的比．
8. 如图，正方形ABCD边长为1，动点P沿正方形的边按A→B→C→D逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为_____点
【答案】B
【解析】分析：根据已知发现存在的规律，按规律进行解题即可．
学。

科。

网...学。

科。

网...学。

科。

网...学。

科。

网...学。

科。

网...学。

科。

网...学。

科。

网...
点睛：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
二、选择题
9. 点A(1，－2)关于x轴对称的点的坐标是()
A. (1，－2)
B. (－1，2)
C. (－1，－2)
D. (1，2)
【答案】D
【解析】分析：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
详解：根据题意可得：关于x轴对称的点的坐标为(1，2)，故选D．
点睛：本题主要考查的是关于x轴对称的点的性质，属于基础题型．关于x轴对称的两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点横坐标和纵坐标都互为相反数．
10. 已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是（）
A. 正五边形
B. 正六边形
C. 正七边形
D. 正八边形
【答案】B
【解析】分析：根据多边形的外角和为360°即可得出答案．
详解：360°÷60°=6，即六边形，故选B．
点睛：本题主要考查的是正多边形的外角和定理，属于基础题型．多边形的内角和定理为(n－2)×180°，多边形的外角和为360°．
11. 如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）
A. BE=DF
B. BF=DE
C. AE=CF
D. ∠1=∠2
【答案】C
【解析】A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
12. 在□ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是()
A. ∠E＝∠CDF
B. EF＝DF
C. AD＝2BF
D. BE＝2CF
【答案】D
【解析】试题分析：根据CD∥AE可得∠E=∠CDF，A正确；根据AB=BE可得CD=BE，从而说明△DCF 和△EBF全等，得到EF=DF，B正确；根据中点的性质可得BF为△ADE的中位线，则AD=2BF，C正确；
D无法判定.
考点：(1)、平行四边形的性质；(2)、三角形中位线性质.
13. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是()
A. 165°
B. 120°
C. 150°
D. 135°
【答案】A
【解析】利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．
解：如图，
∵∠2=90°-30°=60°，∴∠1=∠2-45°=15°，∴∠α=180°-∠1=165°．故选A．
14. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为()
A. 2
B. 2
C. ＋1
D. ＋1
【答案】D
【解析】试题解析：∵CD⊥AB，∠B=30°，
∴BC=2CD=2．
∴BD=
∵CD⊥AB，∠A=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD=1．
∴AB=AD+BD=
故选D．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形
CDOE的面积的两倍；③CD＋CE＝OA；④AD2＋BE2＝DE2.其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】分析：结论(1)错误．因为图中全等的三角形有3对；结论(2)正确．由全等三角形的性质可以判断；结论(3)正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论(4)正确．利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．
详解：结论（1）错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，∴S
=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，
四边形CDOE
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．
结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，∴．
故本题选C．
点睛：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．
16. 如图所示，Rt△ABC中，∠ ACB =90°，AC=6，•BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，使CE+EF的和最小，则这个最小值为（）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】分析：过点C作CM⊥AB，从而得出CM的长度就是CE+EF的最小值，根据直角三角形斜边上的高线得出答案．
详解：过点C作CM⊥AB，则CE+EF的最小值就是线段CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∴AB=10，则CM=，故选B．
点睛：本题主要考查的就是三角形中求最值的问题，属于中等难度题型．解决这种问题的关键就是做对称，从而得出答案．
三、解答题
17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连结CE，AF.
求证：AF=CE.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：根据矩形的性质得出求出根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形,即可得出答案.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
点睛：平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
18. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，求∠BAE与∠AEB的大小
【答案】15°
【解析】分析：根据正方形和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，然后根据等腰三角形的性质得出答案．详解：如图，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=AB,∠DAE=60°，∴∠BAE=150°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=15°．
点睛：本题主要考查的是正方形和等边三角形的性质问题，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据性质得出∠BAE的度数．
19. 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.求△ABC的面积与 BD 的长．
【答案】
【解析】分析：首先以BC为底得出△ABC的面积；根据勾股定理求出AC的长度，然后根据等面积法求出BD的长度．
详解：如图，S△BAC=2，由勾股定理得AC=，
∵BC×2=AC⋅BD,即×2×2=×BD，∴BD=．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及等积法的应用，属于基础题型．解答这个问题的关键就是要利用好勾股定理求出边长．
20. 如图，已知BE=DF，AE=CF，AE∥CF，求证：AD∥BC
【答案】证明见解析
【解析】分析：首先根据AE∥CF得出∠AEB=∠CFD，即∠AED=∠CFB，结合已知条件得出△AED和△CFB 全等，从而得出∠ADE=∠CBF，即得出平行线．
详解：∵AE∥CF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AED=∠CFB ∵BE=DF，∴BF=DE
又∵AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC．
点睛：本题主要考查的是平行线的性质与判定以及三角形全等的应用，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出三角形全等．
21. 如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

【答案】36cm2
【解析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．
解：连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD===5（cm），
∵52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：36（cm2）．
“点睛”此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，△BDC是直角三角形．
22. 如图把长方形沿对角线折叠，重合部分为△EBD。

(1) △EBD是等腰三角形吗？为什么？
（2）若AB＝12cm，BC＝18cm，求AE的长。

【答案】（1）等腰三角形（2）5cm
【解析】分析：(1)、根据AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，根据折叠图形得出∠FBD=∠DBC，从而得出
∠FBD=∠ADB，得出答案；(2)、设AE=x，则EB=ED=18-x，根据Rt△ABE的勾股定理得出答案．
详解：（1）是等腰三角形，
∵AD∥CB ，∴∠ADB=∠DBC，∵由折叠得∠FBD=∠DBC，
∴∠FBD=∠ADB，∴△EBD为等腰三角形；
(2)设AE=x，则EB=ED=18-x，，解得：x=5，则AE=5cm．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及折叠图形的性质，属于基础题型．解决折叠问题时，首先要找出对应角和对应边，然后将所求线段放入直角三角形进行计算．
23. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】证明：（1）∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∵∠ACB= 90º，∠BAC= 30º，
∴∠EF A=∠ACB，∠AEF=∠BAC．
∴△AEF≌△BAC．
∴AC = EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴AC = AD，∠DAC= 60º．
由（1）的结论得AC = EF，
∴AD= EF．
∵∠BAC= 30º，
∴∠F AD=∠BAC+∠DAC= 90º．
∵∠EF A= 90º，
∴EF∥AD．
∵EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
24. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．
【答案】MN与PQ互相垂直平分
【解析】分析：连接MP，PN，NQ，QM，根据三角形的中位线的性质得出四边形MPNQ为菱形，然后根据菱形的对角线的性质得出答案．
详解：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM=MD，BP=PD，∴PM=AB，
∴PM是△AB D的中位线，∴PM∥AB；同理NQ=AB,NQ∥AB,MQ=DC，∴PM=NQ,且PM∥NQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形. 又∵AB=DC，∴PM=MQ，∴平行四边形MPNQ是菱形.
∴MN与PQ互相垂直平分.
点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及三角形中位线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是通过辅助线得出三角形的中位线．
25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
【答案】(1)四边形ACEF是平行四边形；(2)当∠B=30∘时，四边形ACEF为菱形；(3)四边形ACEF不可能是正方形
【解析】试题分析：(1)、根据DF为垂直平分线得出BD=CD，DF⊥BC，根据∠ACB=∠BDF=90°得出DF∥AC，则BE=AE，则AE=CE，∴∠1=∠2，得到△ACE≌△EFA，即AC=EF，从而得到平行四边形；(2)、当∠B=30°时，AC=AB，CE=AB，从而得到AC=CE，得到菱形；(3)、根据CE在△ABC内部，∠ACE＜∠ACB=90°，则不可能为正方形.
试题解析：(1)、∵DF是BC的垂直平分线∴DF⊥BC，DB=DC
∴∠ACB=∠BDF=90°∴DF∥AC ∴BE="AE"
∴AE=CE=AB
∴∠1=∠2
∵EF∥BC，AF＝CE=AE
∴∠1=∠2＝∠3=∠F
∴△ACE≌△EFA ∴AC=EF
∴四边形ACEF是平行四边形；
(2)、当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形.证明如下：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝30°
∴AC=AB ∵CE=AB ∴AC=CE
∴四边形ACEF是菱形
(3)、四边形ACEF不可能是正方形，理由如下：由（1）知E是AB的中点
∴CE在△ABC内部，∴∠ACE＜∠ACB=90°∴四边形ACEF不可能是正方形
考点：(1)、平行四边形的判定；(2)、矩形的判定；(3)、正方形的判定.
26. 已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，
求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图① 图②
【答案】（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立
【解析】分析：(1)、根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出
∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；(2)、连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD和△CBF全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC =90°．
详解：（1）在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴．
∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．
证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵ DM=MF，EM=MC，∴四边形CDEF为平行四边形，∴ DE∥CF ，ED =CF，
∵ ED= AD，∴ AD=CF，∵ DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．
∵,，
∴∠BAD=∠BCF，又∵AB= BC，∴△ABD≌△CBF，∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF，
∵∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC =90°．
在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的判定与性质、三角形全等、直角三角形的性质，综合性比较强．本题解题的关键是通过构建全等三角形来得出线段相等，然后根据线段相等得出所求的结论．。