124函数展开成幂级数 (2)共20页

1 1 x x 1 1
n0
0
n0 n1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln 1(x)在 x1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的,于是收敛 域为
利用此题可得
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例6 将
展成
的幂级数.
解: s s 4 x iic n s n x o i 4 4 n ) ( s x c 4 ( ) 4 o sx is n 4 ) (
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f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl i m Rn(x)0.
证明: f(x)n 0f(nn )(!x0)(xx0)n, x(x0)
令 Sn1(x)kn 0f(kk)(!x0)(xx0)k
f( x ) S n 1 ( x ) R n ( x )
nl i mRn(x)n l i m f(x ) S n 1 (x ) 0 , x(x0)
第十二章
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
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一、泰勒级数（Taylor series）
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f(x)f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n Rn(x)
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3*. 将下列函数展开成 x 的幂级数

解:
(1)nx2n, x(1,1)
n0

(1)n
xx2nd x (1)n x2n1
0 n0
n02n1
x＝±1 时, 此级数条件收敛, f (0) ,因此
4
f(x)(1)nx2n1, x[1,1] 4 n02n1
1 x 21.11.2019
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2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数.
例x x2 ( 1 )nxn (1x1) 1 x 把 x 换成 x 2 , 得
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1
x
1 x2 2!

1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
1
R

lim
n
n
!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1x1x21x3 1xn ,
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2 ! 4 ! 6!
(2n)!
x (, ) (1x)m1mx m(m1) x2
2!
m (m1) (mn1)xnx(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1 x 21.11.2019
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
1 1
x
1

1 2
x

13 24
x2
135 x3 1357x4 246 2468
(1x1)
1 1 x x2 x3 (1)nxn
1 x
(1x1)
1 1 x x 2 x n ( 1 x 1 )
1 2 cx o 4 ) s s (i x n 4 )(



( x

)
4

1 (x 3!
)3
4
1(x)5
5! 4

1 1 (x) 1 (x)2 1 (x)3
2 42 ! 4 3 ! 4
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内nl im Rn(x)是否为0.
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例1 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)ex, f(n)(0)1(n0,1, )故, 得级数
f(n)(x)n!an ;
21.11显.201然9 结论成立 .
an n1! f(n)(0)
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二、函数展开成幂级数(Expanding to power series)
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f (x)展开成幂级数的步
3 ! 5 !
( 2 n 1 ) !
类似可推出:
cx o 1 s1 x 2 1 x 4 ( 1 )n 11x 2 n
2 ! 4 !
(2 n )!
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例3 将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f(0)1, f(0)m, f(0 ) m (m 1 ),
f( n ) ( 0 ) m ( m 1 )m ( 2 ) ( m n 1 ) ,
于是得 级数 1mxm(m1)x2 2!
m (m1) (mn1)xn n!
由于 R lim an lim n1 1 n an1 n mn
因此对任意常数

1 3
x
3
1 x4 4


(1)n n 1
xn1
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x(1,1]16
sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
e x 1 x 1 x 2 1 xn , x (, )
2!
n!
ln(1x)x 1 x 2 2
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
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对应 m1 2,1 2,1的二项展开式分别为 1x11x 1 x 2 13 x3 135 x4
2 2 4 246 2468 (1x1)
1 1 x2

1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n (1x1)
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例5 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1x

(1)nxn
n0
(1x1)
从 0 到 x 积分, 得

x
ln1(x) (1)n xndx
(1)n xn1 ,
2 ! 3 !
n !
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例2 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n)(x)
f (n)(0) (01),k ,
n2k n2k1
(k0,1,2, )
得级数:
x
1 3!
x
351!x5 (1)n1(2n1 1)!x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
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思考与练习
1. 函数
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级
提示: 后者必需证明 lim Rn(x)0,前者无此要求.
n
2. 如何求
的幂级数?
提示:
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y 1212n 12 1c(o1s2)xn(24nn12)!x122nn , 0(1x )n ((2 1n)!, )
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m,
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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可以证明，当 x (1,1) 时其余项极限为零(证明略)．
由此得
(1x)m1mxm(m1)x2 2!
m (m1) (mn1)xn n!
上式称为二项展开式 .
注：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 其收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数
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定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0f(0)
f( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)
sin((n1)2) xn1
(n1)!
n
sinx x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 ( 1 ) n 1 ( 2 n 1 1 ) ! x 2 n 1
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sx i n x 1 x 3 1 x 5 ( 1 ) n 1 1x 2 n 1
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n